Một vài kinh nghiệm đưa các bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn vào dạy chương phương trình, hệ phương trình đại số 10 thpt

Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sảnxuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông.Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tă

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT VÀI KINH NGHIỆM ĐƯA CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN VÀ LIÊN MÔN VÀO DẠY CHƯƠNG

I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dụctiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới Mục tiêucủa giáo dục trong thế kỉ 21 là học để biết, học để làm, học để cùng chung sống,học để khẳng định mình Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực

tế trong dạy học toán là rất cần thiết

Toán học có vai trò quan trọng không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sựliên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển và là mụctiêu phục vụ cuối cùng Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất củacon người và ngược lại toán học là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục vàkhám phá thế giới tự nhiên

Để đáp ứng được những đòi hỏi càng cao của nền kinh tế tri thức và sựphát triển của khoa học thì ngay từ bây giờ khi ngồi trên ghế nhà trường chúng taphải dạy cho học sinh chủ động chiếm lĩnh tri thức thông qua các trải nghiệm thực

tế, gắn bài học với thực tế cuộc sống làm cho bài giảng thêm sinh động, lí thú Qua

đó có thể tạo ra những con người lao động tự chủ, năng động, sáng tạo và cónăng lực để đáp ứng được những yêu cầu về nguồn lực nhằm thúc đẩy cho mụctiêu phát triển kinh tế - xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc Chính vì thế dạyhọc toán ở trường THPT phải luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn đời sống

Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ tậpchung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học toán ở kỹ năng vận dụng tưduy tri thức trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ năng vận dụng tri thức toánhọc vào môn khác, vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thườngxuyên Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sảnxuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông.Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và

ý thức ứng dụng toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm viứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thườngxuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho toánhọc không trừu tượng và nhàm chán Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học đểgiải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại, qua đó càng làmnổi bật nguyên lý: “ Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sảnxuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình

và giáo dục xã hội ” Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “ Một vài kinh nghiệm đưacác bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn vào dạy chương phương trình, hệphương trình Đại số 10 – THPT ”

Mục đích nghiên cứu của SKKN là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn vận

dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học chương Phương trình, hệ

phương trình môn toán 10 - THPT

Phân tích và hướng dẫn giải bài toán có nội dung thực tiễn thể hiện mối

liên hệ với phương trình, hệ phương trình đã được đưa vào giảng dạy ở THPT qua

đó thấy được ý nghĩa “ Học đi đôi với hành ”

Biết vận dụng phương trình, hệ phương trình trong toán học để giải một số

bài toán trong thực tế, góp phần nâng cao tính thực tế, chất lượng dạy học môntoán ở trường THPT

3 Đối tượng nghiên cứu.

Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, những đối tượng nghiên cứu củaSKKN là:

a Nghiên cứu về tính thực tiễn và tính ứng dụng của toán học

b Toán học liên hệ với thực tiễn đựơc thể hiện như thế nào trong nội dungchương phương trình, hệ phương trình – Đại số 10 THPT

c Thực tiễn dạy học môn toán 10 và vấn đề vận dụng phương trình, hệphương trình vào giảng dạy các bài toán có nội dung thực tiễn

d Đề xuất một số bài toán thực tiễn, liên môn có thể áp dụng vào dạy họcchương phương trình, hệ phương trình – Đại số 10 THPT

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:

 Nghiên cứu và phân tích các tài liệu giáo khoa và các tài liệu tham khảo

có liên quan

 Phương pháp tạo tình huống có vấn đề

 Phương pháp quan sát sư phạm

 Phương pháp thống kê, tổng hợp, so sánh

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Thực tế cho thấy, toán học đã đưa lại nhiều kết quả đáng kể, trong đó có kinh

tế học Đó là những ứng dụng hàng ngày thông qua vấn đề tổ chức và quản lí sảnxuất Ai cũng biết rằng không phải chỉ cần có kỹ thuật cao, máy móc hiện đại làsản xuất tốt mà trọng tâm của vấn đề là phải biết tổ chức và quản lí sản xuất mộtcách khoa học để phát huy được đầy đủ hiệu quả của kỹ thuật và máy móc ấy.Đứng trước một vấn đề tổ chức sản xuất người ta có thể đưa ra rất nhiềuphương án giải quyết khác nhau và đương nhiên bao giờ cũng chọn phượng ántốt nhất Bài toán về “ sự lựa chọn” ấy đã được một số nhà khoa học chú ýnghiên cứu tỉ mỉ, chi tiết và kết quả nghiên đó có ý nghĩa rất lớn đối với sản xuấtđồng thời có thể áp dụng trong hầu hết các lĩnh vực kinh tế: công nghiệp, nôngnghiệp, giao thông vận tải…

Trong công nghiệp việc đưa vào lý thuyết phương trình tuyến tính để

đặt kế hoạch sản xuất hợp lý nhằm tập trung thiết bị, tiết kiệm thời gian, giảmnguyên liệu

mỗi ngày phân xưởng phải may xong 90 áo Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật, phân xưởng đã may được 120 áo mỗi ngày Do đó, phân xưởng không những đã hoàn

thành kế hoạch trước thời hạn 9 ngày mà còn may thêm được 60 áo Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải may bao nhiêu áo?

Phân tích:

Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện Mối quan hệ giữa chúng :

+ Số lượng áo may trong một ngày x Số ngày may = Tổng số áo may + Toán học hoá các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng

+ Chọn ẩn là một trong các đại lượng chưa biết

+ Ta chọn x là số ngày may theo kế hoạch

Khi đó tổng số áo may là 90x, nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật nên số ngàymay là x - 9 và tổng số áo may là: 120(x - 9)

Từ đó ta có, quan hệ giữa tổng số áo đã may được và số áo may theo kếhoạch được biểu thị bởi phương trình:

120 ( x - 9) = 90x + 60  x = 38

Vậy kế hoạch may áo ban đầu của xưởng may là 38 ngày

Trong nông nghiệp có thể áp dụng phương trình tuyến tính để cải tiến các

kế hoạch trồng trọt, chăn nuôi nhằm tận dụng năng xuất các loại đất, nâng caomức thu hoạch…

cũ Thu hoạch tất cả được 460 tấn thóc Hỏi năng xuất mỗi loại lúa trên 1 ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ

là một tấn

Giải:

+ Gọi năng xuất trên 1 ha của lúa giống mới là x ( tấn), x > 0

+ Gọi năng xuất trên 1 ha của lúa giống cũ là y ( tấn), y> 0

Năng suất 1 ha lúa giống mới là 5 tấn

Năng suất 1 ha lúa giống cũ là 4 tấn

Trong giao thông vận tải dùng phương trình tuyến tính để chọn phương án

vận chuyển tiết kiệm nhất, giảm bớt các quãng đường chạy không, chọn phương

án hợp lí để giảm bớt thời gian quay vòng…

Ví dụ 3: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong một thời gian nhất

định Nếu chạy với vận tốc 45 km/h thì đến B chậm mất1

2 giờ Nếu chạy với vận tốc 60 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 45 phút Tính quãng đường AB và thời gian

dự định lúc đầu

Giải:

+ Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0), thời gian dự định là t giờ ( t > 0 )

+ Như vậy thời gian đi lúc ban đầu là

Những mối liên hệ giữa những đại lượng trong bài toán có thể chia thànhhai loại: loại thứ nhất là những mối liên hệ cụ thể ở bài toán đó và loại thứ hai lànhững mối liên hệ tổng quát có tính chất qui luật

Thuộc về loại thứ nhất có thể kể :

- Năng xuất dự kiến + 5 = năng xuất thực tế

- Thời gian dự kiến - 6 = Thời gian thực tế

…Thuộc loại liên hệ thứ hai có thể nêu:

- Tổng sản lượng = năng xuất x thời gian sản xuất

- Đường đi = vận tốc x thời gian (trong chuyển động thẳng đều)

- Nửa chu vi hình chữ nhật = chiều dài + chiều rộng

…

Ta xét ví dụ sau;

“ Một xí nghiệp dự định sản suất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất

định Do thi đua xí nghiệp đó đã tăng năng suất thêm 5 sản phẩm mỗi ngày và

do đó đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 6 ngày Tính năng suất dự định của xí nghiệp đó”

Phân tích:

Trước hết ta có thể hướng dẫn học sinh kí hiệu x là năng suất dự kiến của

xí nghiệp Bằng cách gọi ra mối liên hệ “ năng suất dự kiến cộng thêm 5 bằngnăng suất thực tế, ta có thể dẫn họ đi đến biểu thị năng suất thực tế qua năngxuất dự kiến là: x + 5 Trên cơ sở giúp học sinh phát hiện mối liên hệ “ Tổngsản lượng bằng năng suất nhân với thời gian sản xuất, có thể dẫn dắt học sinhbiểu thị thời gian dự kiến là 600

x và thời gian sản xuất thực tế là

6005

x  ” Bằng

cách gợi ý mối liên hệ “ Thời gian dự kiến bớt đi 6 ngày bằng thời gian sản xuấtthực tế”, ta có thể giúp học sinh đi đến lập phương trình: 600 6 600

5

x  xTrong khi những mối liên hệ loại thứ nhất được nêu ra trong đề toán thìnhững mối liên hệ loại thứ hai được coi là những kiến thức học sinh phải nắmvững, những mối liên hệ này không được nêu ra trong bài toán, học sinh cần dựavào vốn kiến thức của mình để phát hiện ra chúng

Người thầy giáo cần nhấn mạnh cho học sinh, thấy rằng phát hiện nhữngmối liên hệ giữa những đại lượng trong bài toán là cơ sở để lập phương trìnhgiải bài toán đó Làm như vậy cũng là tập dượt cho học sinh biết xem xét sự vậttrong mối liên hệ với nhau chứ không tách rời nhau một cách cô lập, đó là mộtyếu tố của tư duy biện chứng

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Việc dạy học toán ở nhà trường phổ thông hiện nay đang rơi vào tìnhtrạng bị coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học vào đời sống Mối liên hệ toánhọc với thực tế là còn yếu, học sinh ít được toán học hoá các tình huống trongthực tiễn cuộc sống Thực trạng ấy, theo tôi có thể do những nguyên nhân sau:

+ Tất cả các sách giáo khoa môn toán và tài liêu tham khảo ít đề cập đếncác ứng dụng trong các lĩnh vực ngoài toán học mà hầu như chỉ tập trung chú ýtới các ứng dụng có tính chất nội bộ môn toán

+ Các đề thi toán còn hạn chế trong việc đưa các bài toán thực tiễn nênkhi gặp các bài toán này học sinh thường lúng túng không biết chuyển ngôn ngữ

từ đề bài sang ngôn ngữ toán học dẫn đến bế tắc trong quá trình tìm lời giải

Từ những nguyên nhân đó mà trong quá trình giảng dạy giáo viên còn dèdặt trong việc dạy học sinh giải bài toán có nội dung thực tế nói chung và dạyhọc sinh giải bài toán thực tế bằng cách lập phương trình và hệ phương trình nóiriêng

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Tóm tắt kiến thức cơ bản của chương III

- Khái niệm phương trình

- Điều kiện của một phương trình

- Phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương

- Phương trình hệ quả

- Giải và biện luận phương trình ax + b = 0

- Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2

+ bx + c = 0 (a 0)

- Định vi- ét ( thuận và đảo)

- Phương trình qui về phương trình bậc nhất, bậc hai

- Phương trình, hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

2.3.2 Các ví dụ về bài toán có nội dung thực tế - liên môn được ứng dụng trong lí thuyết và bài tập.

Trong thực tế đời sống, kỹ thuật, sản xuất có nhiều đại lượng biến đổi vàphụ thuộc lẫn nhau và ta phải tìm ra cụ thể hoặc là tất cả, hoặc là một trong các

đại lượng ấy Để giải quyết các vấn đề ấy ta cần “ toán học hoá” các mối quan

hệ phụ thuộc giữa các đại lượng thành các phương trình, hệ phương trình Khi

đó việc giải các phương trình, hệ phương trình, sẽ giúp ta giải quyết được nhữngvấn đề mà thực tiễn đòi hỏi

Chúng ta quan tâm đến vấn đề: trong toán học phương trình, hệ phương trình

giúp con người giải quyết các bài toán thực tế như thế nào và việc hình thành kỹ năng chuyển bài toán của thực tiễn thành các phương trình, hệ phương trình ở học sinh

Trong việc dạy giải bài toán bằng cách lập phương trình khâu mấu chốt làdạy cho học sinh biết lập phương trình xuất phát tình huống thực tế của bài toán

Để làm được điều đó, điều quan trọng là tập cho học sinh biết xem xét những đạilượng trong những mối liên quan với nhau, phát hiện ra những mối liên quan vềlượng giữa chúng để trên cơ sở đó mà lập được phương trình

Rèn luyện cho học sinh khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến đểbiểu thị những tình huống thực tế Trong dạy học cần chú trọng cho học sinh lậpphương trình là tập luyện cho học sinh biểu thị những tình huống thực tế bằngnhững biểu thức có chứa những biến đại diện cho những đại lượng chưa biết.Cần tập cho học sinh một mặt biết chuyển từ những tình huống thực tế sangnhững biểu thức biểu thị chúng và mặt khác biết chuyển từ những biểu thứcsang những tình huống thực tế phù hợp với chúng, chính vì thế ta nên tiến hànhtheo từng bước sau:

Bước 1: Đặt ấn số

Ẩn số là cái chưa biết, cái phải tìm.Thông thường bài toán yêu cầu tìm cái

gì ( các cái gì ) thì ta đặt cái đó (các cái đó ) làm ẩn ( các ẩn) Cũng có khi vớicách đặt ẩn mà phương trình lập nên quá phức tạp hoặc khó khăn thì cần thayđổi cách chọn ẩn hoặc chọn thêm ẩn Ẩn mà ta chọn phải liên quan đến cái cầntìm và cho phép ta lập phương trình dễ dàng hơn

Bước 2: Lập phương trình

Sau khi đặt ẩn ( nêu điều kiện cho ẩn nếu có) ta tiến hành biểu thị các đạilượng qua các số đã biết và ẩn số Để lập được phương trình ( các phương trình)ứng với bài toán cần giải, ta cố gắng hình dung thật cụ thể và rõ ràng điều kiệncủa bài toán ( quan hệ giữa cái cần tìm, cái chưa biết và những cái đã cho)

Trong những trường hợp phức tạp, ta phải phân tích, tách ra từng phần,phiên dịch mỗi phần theo ngôn ngữ đại số, sắp xếp chúng theo một trình tự hợp

lí, sau đó kết hợp những phần đã nói để có thể biểu diễn cùng một lượng bằnghai cách khác nhau thành một đẳng thức Như vậy ta sẽ có phương trình

Thông thường ở mỗi bài toán ta đưa ra bao nhiêu ẩn, cần thiết lập bấynhiêu phương trình Cũng có những trường hợp ngoại lệ: ta đưa thêm ẩn phụ vào

và sau đó khử được ẩn đó đi hoặc có trường hợp dẫn đến phương trình nghiệm

nguyên Cũng có khi với cách đặt ẩn như thế mà phương trình lập nên quá phứctạp hoặc khó khăn thì cần thay đổi cách chọn ẩn hoặc chọn thêm ẩn Ẩn mà tachọn phải liên quan đến cái cần tìm và cho phép ta lập phương trình dễ dànghơn

Chú ý: Trong những bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình, hệ phương

trình có những đại lượng liên quan chặt chẽ với nhau, khi nói đến đại lượng này

ta phải nghĩ ngay đến đại lượng kia dù trong bài toán không nói đến đại lượngquan hệ đó

Bước 3: Trình tự các bước trong lời giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

- Chọn ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn ( nếu có)

- Biểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho

- Lập phương trình ( hệ phương trình)

- Chọn nghiệm thích hợp trả lời

Vai trò của phương trình, hệ phương trình đối với đời sống thực tiễn đượcthể hiện rất phong phú, đa dạng ở nhiều lĩnh vực, giúp con người giải quyết cácbài toán trong cuộc sống như về kinh tế, kỹ thuật,… Giáo viên có thể giúp họcsinh thấy rõ điều này thông qua một số ví dụ trích dẫn sau:

2.3.2.1 Toán năng xuất

Bài toán 1 Hai công nhân cùng làm một công việc thì sau 5giờ 50 phút

sẽ hoàn thành.Sau khi làm chung được 5 giờ thì một người phải điều đi làm việckhác nên người kia phải làm tiếp trong 2 giờ nữa mới xong công việc Hỏi nếumột mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu ?

Phân tích tìm lời giải:

Gọi x, y là số giờ mà mỗi người phải làm một mình sẽ xong công việc thìtrong giờ một người thứ nhất làm được 1

x công việc và người thứ hai làm được

6

 công việc

Từ đó ta lập hệ phương trình để giải

Giải: Gọi số giờ mà mỗi người phải làm một mình xong công việc là x

giờ, y giờ ( x > 0, y > 0) Thì trong một giờ người thứ nhất làm được 1

x công

việc, người thứ hai làm được 1

y công việc Cả hai người cùng làm xong công

việc trong 5giờ 50 phút bằng 35

6 giờ thì trong một giờ làm được

1356 công việc

người còn lại làm một trong hai giờ tức là làm được 2

ycông việc, ta có phương

trình ( 2): 5 1 1 2 1

x  y  y ( )

Theo đầu bài ta có hệ phương trình:

Bài toán 2 Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu

đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất

và 8% đối với loại hàng thứ hai Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàngthì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng Hỏi nếu không kể thuế VAT thìngười đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng ?

Phân tích tìm lời giải:

Giả sử không kể thuế VAT, người mua hàng phải trả x triệu đồng cho loạihàng thứ nhất; y triệu đồng cho loại hàng thứ hai

+ Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất ( kể cả thuế VAT 10%) là110

100x (triệu đồng) , cho loại hàng thứ hai ( kể cả thuế VAT 8%) là 108

109

2 18

100( x y ) , hay 1,09 x + 1,09 y = 2,18 (2)

+ Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Bài toán 3: Hai cần cẩu lớn bốc rỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn Sau 3 giờ

có thêm năm cần cẩu bé ( công suất bé hơn) cùng làm việc Cả bảy cần cẩu làmviệc 3 giờ nữa thì xong Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xongviệc Biết rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong 4 giờ xongviệc

Phân tích tìm lời giải:

+ Gọi thời gian nếu chỉ có một cần cẩu lớn làm xong việc là x ( giờ), x > 0 + Gọi thời gian một cần cẩu bé làm một mình đến khi xong việc là y( giờ)

+ Theo đầu bài hai cần cẩu lớn làm trong 6 giờ, còn năm cần cẩu bé làmtrong 3 giờ thì xong việc Do đó ta có phương trình (1): 12 15 1

Giải hệ gồm hai phương trình (1) và (2) ta được (x ; y) = ( 24;30)

Vậy cần cẩu lớn làm một mình trong 24 giờ thì xong công việc, cần cầu bélàm một mình trong 30 giờ thì xong việc

Bài toán 4 ( Bài toán cổ ): Một người nói với bạn: “ Nếu anh đưa tôi 7

đina thì tôi sẽ giàu gấp anh 5 lần”, người bạn trả lời: “ Nếu anh cho tôi 5 đina thìtôi sẽ giàu gấp anh 7 lần !” Hỏi mỗi người có bao nhiêu đina ?

Phân tích tìm lời giải:

Bài toán có hai người khi đó gọi số đina của người đầu là x, số đina củangười thứ hai là y ( x > 0, y > 0)

Với điều kiện đầu bài dẫn đến hệ phương trình:

27

917

Vậy người đầu có 7 2

17 đina, người thứ hai có 9

14

17 đina

Bài toán này được lấy trong cuốn “Liberabaci” của nhà toán học ItaliaLeonađơ Pizaxnki phibonaxi