Chuyen de can bac hai can bac ba moi nhat rat hay

Định nghĩa: Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.. Hằng đẳng thức căn bậc hai.. So sánh hai căn bậc hai Phương pháp : A B ABTính chất này rất hữu ích cho việc so

Phần I: CĂN BẬC HAI-CĂN BẬC BA

A Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa:

Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a Số 0 cũng được

gọi là căn bậc hai số học của 0

2 Các phép toán về căn bậc hai

a Hằng đẳng thức căn bậc hai

2

A  A

b Khai phương một tích

Cho A, B là những biểu thức không âm ta có tính chất:

A B  A B

c Khai phương một thương

Cho A là biểu thức không âm, B là biểu thức dương ta có tính chất:

B  B

B Phương pháp giải toán

Chủ đề 1: Hằng đẳng thức căn bậc hai A2  A

1 So sánh hai căn bậc hai

Phương pháp : A B AB(Tính chất này rất hữu ích cho việc so sánh hai số căn

bậc hai và việc xét dấu một biểu thức có chứa căn bậc hai trong dấu trị tuyệt đối)

Ngoài ra, khi tiến hành so sánh những số căn bậc hai ta cần thành thạo những

phép tính như bình phương của một số Đưa một số vào trong dấu căn, đưa một

số ra ngoài dấu căn Từ đó, áp dụng công thức tính A B AB để so sánh

Hướng dẫn giải

a Ta có biến đổi: 3  9, mà 10  9 do đó 10  3

b Ta có biến đổi:4  16 mà 16 15  do đó 4  15

c Ta có biến đổi : 2

2 2  2 2  4.2  8 và3  9

Mà 9  8 do đó 3  2 2

Hướng dẫn giải

a Xét 3  2 2  3  3 2   2 3   1 2  3

Giả sử 1  2  3  0   1 3  2   1  3  22

Biểu thức này đúng

Vậy 3  2 2  3 0 hay 3  2   2 3

Bài tập mẫu 2: So sánh các cặp số sau

a 3  2 và 2  3 b 6  5 và 4  3

Bài tập mẫu 1: So sánh các cặp số sau

a 10 và 3 b 4 và 15 c 3 và 2 2

b Xét 6  5 4  3  6 5   4 3   2 5  3

Giả sử 2  5  3  0  2  5  3  4   5 2 15      3 4 2 15  2  15  4  15

Biểu thức này đúng 6  5   4 3

2 Hằng đẳng thức căn bậc hai A2  A

Áp dụng hằng đẳng thức căn bậc hai để tìm ra gia trị của biểu thức Tuy nhiên

trong chủ đề này khi các em biến đổi thành A thì xác định dấu của biểu thức A

cho đúng để từ đó xác định

Nhắc lại về trị tuyệt đối của một số:

0

A khi A A

A khi A





 



Do đó, việc xác định dấu của biểu thức A rất quan trọng trong việc giải quyết bài

toán

Mặc khác, do những đặc trưng của những hằng đẳng thức đáng nhớ Đặc biệt là

hằng đẳng thức bình phương các em phải năm vững để từ đó ta có thể nhóm lại

cho phù hợp với từng bài

Ngoài ra, các em cũng cần nắm vững phép so sánh hai số chứa căn bậc hai để từ

đó xác định dấu của biểu thức trị tuyệt đối

Hướng dẫn giải

a Theo hằng đẳng thức căn bậc hai ta có:  2 1  2  2 1 

Do 2 1 0   nên 2 1   2 1 

Vậy  2 1  2  2 1 

Bài tập mẫu 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a  2 1  2 b  3  22 c 3 4 3  2 d 4  2 3

b Theo hằng đẳng thức căn bậc hai ta có:  3  22  3  2

Do 3   2 0 nên 3  2   3  2  2 3

Vậy  3  22   2 3

c Theo hằng đẳng thức căn bậc hai ta có: 3 4 3  2  3 4 3 

3 4 3   3  4 3  9  4.3  9  12  0

Nên 3 4 3   3 4 3   4 3  3

(Thật vậy: ta xét 3 4 3   9  16 3  9  16.3  9  48 vì 9  48 nên3 4 3   0)

Vậy: 3 4 3  2  4 3  3

d Ta có biến đổi tương đương sau theo hằng đẳng thức căn bậc hai

 2  2

2

4 2 3   1 2 3   3  1  2 3  3  1  3  1  3

Do 1  3  0nên 1  3  1  3 3 1  (lý luận tương tự như trên)

Vậy: 4 2 3   3 1 

Hướng dẫn giải

3 2 2   1 2 2   2  1  2 2  2  1  2

Theo hằng đẳng thức căn bậc hai ta có: 1  22  1  2

Do 1  2  0

Nên 1  2  1  2 2 1  (lý luận tương tự như trên)

Vậy: 3 2 2   2 1 

Bài tập mẫu 2: Tính giá trị các biểu thức sau:

a 3 2 2  b 7  4 3 c 21 8 5   21 8 5  d 29 12 5 

b Ta có biến đổi:  2 2  2

7 4 3   3 2.2 3 4    3  2.2 3 2   3 2 

Theo hằng đẳng thức căn bậc hai ta có:  3  22  3  2

Do 3   2 0nên 3  2   3  2  2 3

Vậy: 7  4 3   2 3

c Ta có biến đổi: 21 8 5   21 8 5   16  2.4 5  5  16  2.4 5  5

 2  2  2  2  2  2

Theo hằng đẳng thức căn bậc hai ta có:

4  52  4  52  4  5  4  5   4 5   4 5  8

Vậy: 21 8 5   21 8 5   8

d Ta có biến đổi:

29 12 5   29 2.3.2 5   9  2.3.2 5  20  3 2  2.3.2 5 2 52  3 2 5  2

Theo hằng đẳng thức căn bậc hai ta có: 3 2 5  2  3 2 5 

Do: 3  2 5

Nên: 3 2 5   3 2 5   2 5  3

Vậy: 29 12 5   2 5  3

Hướng dẫn giải

Bài tập mẫu 3: Tính giá trị của các biểu thức

a A  8  2 15 d A  3  72  2 7  52

b A   5  32  2  52 e A  21 8 5   21 8 5 

c A  8 2 15   8  2 15 f A  2  3 6  2

a Ta có biến đổi: A  8  2 15  3 2 3 5   5  32 2 3 5  52   3  52

Theo hằng đẳng thức căn bậc hai:  3  52  3  5  3  5 (Do: 3  5  0)

Nên A  3  5

b Theo hằng đẳng thức căn bậc hai ta có: A   5  32  2  52  5  3  2  5

Do 5  3 và 2  5

Nên: 5  3  2  5   3 5  5   2 1

Do đó: A   5  32  2  52  1

c Ta có biến đổi:A  8 2 15   8 2 15   3 2 3 5    5 3 2 3 5   5

Theo hằng đẳng thức căn bậc hai có: A   3  52   3  52  3  5  3  5

Do: 3  5 và 3  5  0 nên 3  5  3  5  5  3  3  5   2 3

Vậy: A  2 3

d Theo hằng đẳng thức căn bậc hai có: A  3  72  2 7  52  3  7  2 7  5

Do: 3  7  0 và 2 7   5 0

Nên 3  7  2 7  5   3 7  2 7   5 7  2

Vậy A  7  2

e Ta có biến đổi: A  21 8 5   21 8 5  A 16 2.4 5    5 16 2.4 5   5

 2  2

Theo hằng đẳng thức căn bậc hai ta có: A  4  52  4  52  4  5  4  5

Do: 4  5  0 và 4  5  0

Nên: 4  5  4  5   4 5   4 5  8

Vậy: A 8

f Ta có: A  3 1   6  2 A 3 1 2   3 1   A 3 1 2   3 1  2

 3 1 2 3 1 2 2. 3 1 2 2 3 1

Vậy: A 2 3 1 

Hướng dẫn giải

Ta có biến đổi: A  12 6 3   21 12 3  A 9 2.3 3    3 9 2.3.2 3 12  

 2  2  2

2

Theo hằng đẳng thức căn bậc hai: A 3  32  3 2 3  2  A 3  3  3 2 3 

Do: 3  3  0 và 3 2 3   0

Nên 3  3  3 2 3    3 3  2 3    3 3 3

Vậy A  3 3

Hướng dẫn giải

Ta có biến đổi: A  5  3  29 12 5 

 

2

Bài tập mẫu 5: Tính giá trị của biểu thức A  5  3  29 12 5 

(Chuyên Quảng Trị)

Bài tập mẫu 4: Tính giá trị của biểu thức A  12 6 3   21 12 3 

(Tuyển sinh 10 TPHCM)

Do: 2 5 3   0 Nên A 5  3  2 5  3 A 5  3 2 5  3

Tương tự ta có: A  5  6  2 5 A 5   5 1  2

Vậy A 1

Hướng dẫn giải

Ta có biến đổi 2 3 5 13 48





 2

 2

2

Vậy P 2

Hướng dẫn giải:

Ta có biến đổi 15a2  8a 15 16    152a2  2.4.a 15  4 2

 a 152 2.a 15.4  4 2  a 15  42  a 15  4

Bài tập mẫu 7: Tính giá trị của biểu thức 2

15a  8a 15 16  với 3 5

a  

Bài tập mẫu 6: Tính giá trị của biểu thức 2 3 5 13 48



(Chuyên Quảng Bình)

với 3 5

a   thay vào ta được 15 4 3 5 15 4

a      

3 15 5 15 4 15.3 15.5 4

 9  25  4  3 5 4    8 4   4  4

Vậy giá trị của biểu thức là 4

Hướng dẫn giải

Ta có biến đổi: 1 12 1 18 1 4.3 1 9.2

Đối với biểu thức B, ta có: B  5  2 2 3  2  2 2 3  3   2 2 2 2 3  3 2

 2 32 2 3 2 3 2 3 0

Tính A.B, ta có A B .  3  2 2  3   3 2 1

Vậy A B  1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Hướng dẫn giải:

a Đáp số: 3 2  7 b Đáp số: 6 2  2 6

c Đáp số: 3  5   6 2 d Đáp số: 1 2 5    5 4 2

Bài tập 1: Không dùng máy tính, hãy so sánh các cặp số sau:

a 3 2 và 7 b 6 2 và 2 6 c 3  5 và 6  2 d 1 2 5  và 5 4 2 

Bài tập mẫu 8: Cho các biểu thức: 1 12 1 18,

dùng máy tính cầm tay, rút gọn các biểu thức A B, và A B.

(Hệ chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị)

Hướng dẫn giải

a Ta có: 3 5  2 3 3 5  2 3 3 5 2 2 32  45 12   33

b Ta có: 5 48  4 27  2 12 : 3  5 48 : 3  4 27 : 3  2 12 : 3  5 16  4 9  2 4

 5 4  4 3  2 2  5.4  4.3 2.2   20 12   4  28

c Ta có: 3 6

2  3

6



2 3





d Ta có biến đổi: 18 2 1  2  4 2  32  3  3 2 2 1   4 2  3  3

 3 2 2 1    4 2  3 3  12 3 2    9 4 3  3  3

Hướng dẫn giải

4  2.2 3  3  2  2.2 3  3  2  3  2  3   2 3

b Ta có biến đổi:

12  2.3.2 3  9  12  2.3.2 3  9  2 32 2.3.2 3  3 2  2 32 2.3.2 3  3 2

c Ta có biến đổi: 19  4 15  19 4 15 

Bài tập 3: Thực hiện các phép tính sau:



Bài tập 2: Thực hiện các phép tính

a 3 5  2 3 3 5  2 3 b 5 48  4 27  2 12 : 3

   

d Ta có biến đổi: 1 1



3

Hướng dẫn giải

Ta có biến đổi: 3   2 7  4 3  3   2 4 4 3   3  3   2 22 2.2 3  32

 3   2 2  3  4  2

Vậy: 3   2 7  4 3 là số nguyên

Bài tập 4: Chứng minh rằng: 3   2 7  4 3 là một số nguyên

Chủ đề 2: Trục căn thức ở mẫu

Phương pháp: Trục căn thức ở mẫu số là dạng toán làm cho mẫu số của phân số

không còn chứa dấu căn thức bằng các phép toán

Dạng 1: Mẫu chỉ chứa đơn thức là căn thức:

+

2

.

a a A a A a A

A

A  A A  A 

+

2

.

b A

b A b A A b A 

Dạng 2: Mẫu chứa đa thức là căn thức:

2 2

a

A B



2 2

a

A B



Hướng dẫn giải

a Ta có biến đổi: 2 2 3 2 3

3

3 3 3 

b Ta có biến đổi: 3 2 1 3 2 1 2 6 2

6



c Ta có biến đổi: 1 1 1 1 2 2

50  505 2 5 2 2  10

d Ta có biến đổi: 3 1 37 37 37 37 3 111

12  12  12 2 3 2 3 3  6

Bài tập mẫu 1: Trục căn thức ở mẫu căn biểu thức sau:

a 2

3 2



c 1

50 d 31

12

Hướng dẫn giải

a Ta có biến đổi:  

  

2 1

2 1



b Ta có biến đổi:  

3 2 3

3 2



c Ta có biến đổi:   

  



3





 

2 2





Hướng dẫn giải



3 2



2 6 4 3 3 3 2 2 6 4 3 3 3 2

1



Bài tập mẫu 3: Trục căn thức ở mẫu căn biểu thức sau:

a 6

3  2 b 2 2 3



 c 5 3



 d 1

2 5  5 2

Bài tập mẫu 2: Trục căn thức ở mẫu căn biểu thức sau:

a 1

3  2 c 3 1

3 1



 d 3

6  2 3

d Ta có biến đổi:  

      2 2

2 5 5 2 2 5 5 2 5 2 2 5

Hướng dẫn giải

a Ta có biến đổi : 1 1

 2  2

1

Vậy A 1

b Ta có biến đổi: 5 3 5 3

   

   

Vậy B 2 15

c Ta có biến đổi: 5 3 1 : 5 3

C        

Bài tập mẫu 4: Thực hiện các phép tính:

C        

 

2

2

1



 

   

2 2











Vậy C  5 15

d Áp dụng hằng đẳng thức căn bậc hai ta có:  

 

2

2

1



  

 

  







Vậy: 3 3 3

2

D 

Hướng dẫn giải

A



 2 2  2 2

3 7 6 3 7 6 3 7 6 3 7 6 12

Vậy: A 4

b Ta có biến đổi: 1 1

Bài tập mẫu 5: Tính giá trị các biểu thức

 

A

A 5 2 3 5 2 3

25 12





Vậy: 4 3

13

A

   2 2  2 2

Vậy: A 1

Hướng dẫn giải a) Ta có biến đổi: A   3  22  3  3  2  3   2 3  3  2

Vậy A 2

2 3

B



6 2 6 2 6 6 2 6 2 6 6 2 6 2 6 6



Vậy: B 6

Bài tập mẫu 6:

a) Rút gọn biểu thức A   3  22  3

b) Trục căn ở mẫu rồi rút gọn biểu thức : 2 3 24



(Tuyển sinh 10-Thành phố Huế)

Hướng dẫn giải

a Ta có biến đổi: 3 2 27 75 3 12

2

A    

3

2

A A

Vậy A 12

b Ta có biến đổi:

 

  

B

 

  2

2

 2  34  2 3  8 4 3   4 3  6  2

Vậy B  2

Hướng dẫn giải

a Ta có biến đổi: 5( 20  45  80 )  20 5  45 5  80 5

b Ta có biến đổi:

2 3

3 2



Bài tập mẫu 8: Tính giá trị các biểu thức

3  2  3  2

(Tuyển sinh 10-Hưng Yên)

Bài tập mẫu 7: Tính giá trị của biểu thức

2

A    

3 1

B 



(Tuyển sinh 10-Hải phòng)

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 9 MỚI NHẤT

Bộ phận bán hàng:

0918.972.605

Xem thêm nhiều sách tại:

http://xuctu.com/

Hổ trợ giải đáp: sach.toan.online@gmail.com

Đặt mua tại biểu mẫu:

https://goo.gl/forms/m3Fb6I1EFq4PRamg2