Kiến thức cơ bản sử dụng.. Khai thác bài toán... Ta chuyển thành bài toán... Nhận xét: Đây là bài toán khó đòi hỏi kỹ năng phân tích cao... *Nắm được gốc của bài toán thì không có gì khó
Trang 1I Kiến thức cơ bản sử dụng
1 Hằng đẳng thức đáng nhớ (lớp 8)
(a + b) = a2 + 2ab + b2
(a - b) = a2 - 2ab + b2
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
2 Hằng đẳng thức
0
A khi A
A khi A
≥
= =
II Khai thác bài toán
Ta có bài toán gốc trong SGK toán 9
Bài toán 1: Tính ( )2
2 2
1 −
Bài toán này hầu hết cả lớp đều làm đưụơc và làm rất nhanh, áp dụng
hằng đẳng thức A2 = A
ta có:
(1 − 2 2)2 = 1 − 2 2 = 2 2 − 1
Ta mở rộng những bài toán hay, khó hơn
2 2
2 2 2 4
=
Làm mất vết bình phương đi ( )2
2 2
1 −
2 4 9
8 2 4 1
−
=
+
−
=
Ta có đề sau:
Bài toán 2:
Tính 9 − 4 2
Lúc này ít người làm được, rất ít học sinh làm được nếu không biết tôi biến đổi như thế nào
Cách giải: Ta biến đổi ngược lại người ra đề:
8 2 4 1 2 4
9 − = − + = 1 2 − 2 2 2 + ( 2 2 ) 2
= ( )2
2 2
1 −
Trang 2Từ bài toán 1 suy ra ( )2
2 2
1 − = 1 − 2 2 = 2 2 − 1
Nhận xét: Như vậy ta phải tách 9 = 8 + 1
1 2 2 2 2
4 =
Câu hỏi đặt ra: Nếu không còn vết ra đề làm sao biết tách 9 = 8 + 1? Đâu là gốc? Nhìn vào đâu để tách?
Ta phải dựa vào gốc: 4 2 = 2 2 2 1
2
2 là số thứ nhất; 1 là số thứ 2 trong hằng đẳng thứuc (a – b)2 = a2-2ab + b2
Và 12 + (2 2)2 = 1 + 8 = 9 cho ta tách 9 = 8 + 1
Ghép thêm căn tương tự: 9 + 4 2 ta có bài toán
Bài toán 3: Tính (rút gọn) M = 9−4 2 + 9+4 2
1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2
1 2 2 1
2
M = 2 2 − 1 + 2 2 + 1
M = 2 2 − 1 + 2 2 + 1 = 4 2
Kết hợp với trục căn thức ở mẫu ta có bài toán
Bài toán 4: Tính (rút gọn)
N =
1 5
2 4 9 2 4 9
−
+ +
−
1 5
1 5 2 4 1 5
2 4
−
=
−
−
=
−
Câu hỏi đặt ra: Nếu 4 2 =2.2 2
Số thứ nhất là 2
Số thứ 2 là 2 22+( )2 2 = 4 + 2 = 6
Ta có bài toán 5:
Tính a) 6−4 2
b) 6 + 4 2
Dựa vào gốc 4 2 = 2 2 2(2 2 + 2 2 = 6)
Trang 3Cho ta tách 6 = 4 + 2
a) 6 − 4 2 = 2 2 − 2 2 2 +( )2 2 = ( 2 − 2 ) 2 = 2 − 2 = 2 − 2
b) 6 + 4 2 = 2 + 2
Ngoài ra: 6−4 2 + 6+4 2 = −2 2+ +2 2 =4
6−4 2 − 6+4 2 = −2 2− −2 2 = −2 2
Bài toán 6: Rút gọn: P =
2 3
1 3
7
2 4 6 2 4 6
−
+ +
+ +
−
P =
2 3
2 3 3
7
) 3 7 ( 4 2 3
1 3
7
4
−
+ +
−
−
=
−
+ +
= 7 − 3 + 3 + 2= 7 + 2
Nhận xét: Như vậy 4 2 = 2 2 2
2
2 tách thành tích hai số: 2 2 hoặc 2 2.1
Sẽ cho ta tách số còn lại thành 2 số như thế nào
Ta chuyển thành bài toán
Bài toán 7: Tính
Lời giải:
Ta gọi lại dấu vết 2 lần tích bằng cách đưa một thừa số ra ngoài làm căn
2 4 2 16
32 = =
Ta quay về được bài toán 2
Tương tự như thế ta có loạt bài toán
Lời giải:
a) 8−2 5 − 8+2 5 = 5−2 5 3+ −3 5+2 5 3+3
Trang 4b) 5 24 5 2 6 3 2 = 3 + 2
+
= +
= +
c) 14 + 6 5 = 9 + 2 3 5 + 5 = (3 + 5)2 = 3 + 5
d) 8 − 28 = 7 − 2 7 1 = ( 7 − 1)2 = 7 − 1
Bài toán 8:
Những bài toán rút gọn rồi tính
− +
+
+
−
− +
−
x x
x x x
x x
x
1
1 1
1 : 1
) 1 (
2 2
Khi x = 3+2 2
Rút gọn C = 2
1 x
x
+
x = 3 + 2 2 = ( 2 + 1 ) 2 = 2 + 1
C=
1 1 2 2 2
1 2 2
2 2
2 1 1 2 1
1 2
+
+
= +
+
= + +
+
b) Cho y =
3 2
11
−
−
−
x x
Tính giá trị của y lúc x = 23 - 12 3- 2
Ta có x – 2 = 23 – 12 3
3 3 2 2
3 3 2 3 2 3
12 3 2 3 2 9
3 12 21
2 2
−
=
−
⇒
−
=
−
=
+
−
=
−
=
x
Khi đó y =
6 3 2
3 12 12 3 3 3 2
11 3 12 23 3 2
11
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
x x
3 2 3
3 6 3 6
3 2
12 3 1 3 2
3 1 12 3 3 2
3 1 12
=
=
=
=
−
−
=
−
−
=
Bài toán 9: Chứng minh rằng A ∈ Z và B ∈ Z với
A =
2 12 17
2 2 3 2 12 17
2 2 3
; 5 2 6 5 2 6
+
+
−
−
−
= +
−
Trang 5Bài giải
( 5 1) ( 5 1) 5 1 5 1 2 1
1 5 2 5 1 1 5 2
=
A
Chứng tỏ A ∈ Z
1 2 2 2 3
1 2 2
2 3
1 2 2
2 3
1 2
8 2 2 3 2 9
1 2 2 2 8
2 2 3 2 9
1 1 2 2 2
2 2 2
2
+
+
−
−
−
= +
+
−
−
−
=
+ +
+ +
− + +
−
+
−
=
B B
8 9
2 2 3 4 2 3 2 2 4 3 2 3
=
−
+
− +
−
− +
−
Chứng tỏ B ∈ Z
Bài toán 10: So sánh hai số:
2 7 4 7
* Nhận xét: 4 + 7 và 4 - 7 không thể đưa về dạng (a + b) và (a - b)2 ngay được
Tạo hai lần tích bằng cách 4 + 7 = ( ) ( )
2
1 7 2
2 7
2
1 7 7
⇒
Tương tự
2
1 7 7
⇒
Vậy 4 + 7 − 4 − 7 − 2=0
Bài toán 11: Tính
a) A1 = 3 − 5 − 3 + 5
b) So sánh 3 − 5 − 3 + 5 và - 2
Lời giải:
Trang 6( )
2 2
2 2
1 5 2
1 5 5 3 5 3
2
1 5 5 3 2
1 5 2
5 2 6 5
3
2
1 5 5 3 2
1 5 2
5 2 6 5 3
)
1
2 2
−
=
−
= +
−
−
= +
−
−
=
⇒
+
= +
⇒
+
=
+
= +
−
=
−
⇒
−
=
−
=
−
A
a
Do đó: 3 − 5 − 3 + 5 = − 2
Tương tự như vậy đối với phần b
Bài tập làm thêm Bài 1: Tính
192 16
192 19
)
432 31
)
2 2 3
)
2 1
−
− +
− +
−
D
C
B
A
Bài 2: Cho N =
ab
b a a ab
b b ab
−
+ +
Tính N khi a = 4 + 2 3 ;b= 4 − 2 3
Bài 3: So sánh
5 3 7 5 3 7
35 6 35 6
Bài toán 12: Tính
( )2
1 2 2 2 3 32
9
2
1 2 2
32
9
1 2 32
9
4
+
= +
=
+
+
+
=
+
+
=
−
+
Bài toán 13: Tính
( )2
1 2 2 2
32
9
32
9
2
−
=
=
−
+
+
Bài toán 14: Tính
Trang 732 9 4 2 1
)
32 9 4 2 2
)
− + +
− + + +
b
a
Lời giải:
( 2 1) 3 2 2 2 1 2
1 32 9 4 2 1
)
1 2 2 2 3 1 2 2 2
)
+
= +
= + +
=
− + +
+
= +
= + + +
b
a
Cùng với kỹ năng tách biểu thức trong căn ta có các bài toán thi vào trường chuyên
Xuất phát từ vấn đề:
2
2004
2004 1002
2004 1002
9 9 9 9
10 1 10 1 4 8 4(1 1) 8.(1 1) 4 4 8 8
so so
k
Bài toán tính A =
so
so 1002 2004
8
8 4
Nhận xét: Đây là bài toán khó đòi hỏi kỹ năng phân tích cao
Bài toán: Tính S =
so
so 2004
2 2004
2
) 9
9 , 0 ( 9
99
2 2004 2
2004
2004
2
2004 2004 2 2004 2 2004
2004 2
10
10
(10 )
S
S
=
2004 2 2004 4 2004 2004 2004 2004 2 2004
2
2004 2004 2 2004 2004 2004
2
2004 2004 2
2
2004 2004
2004
2004
1
10
1
10
1
10 0,9 9
so
S
S
S
S
Bài tập làm thêm
Trang 80 9
1
09
100 9
22499
)
56
55 1
11
)
nchuso zchuso
n
chuso n nchuso
b
a
−
−
Ta có bài toán 15: Rút gọn ( )2
1
1 − x−
áp dụng: 2 = A ĐK x ≥ 1
2
)
1
1
( − x− =1 − x− 1
*Nếu 1- x− 1 ≥0 ⇔ 1 ≥ x− 1 ⇔1≥x-1⇔1≤x≤ 2
⇒1− x−1 =1- x− 1
Nếu 1- x− 1 <0⇔x>2 ⇒1− x−1= x− 1-1
Có thể ra đề:Giải phương trình 2
) 1 1
( − x− =2 Cũng làm tương tựta lầm mất dấu vết bình phương một hiệu
(1- x− 1)2=1-2 x− 1+x-1=x-2 x− 1
Ra đề rút gọn x− 2 x− 1chính là bài toán trên
Hoặc giải phương trình : x− 2 x− 1=3.Kết hợp nâng cao bài toán:
Bài toán 16:Giải phương trình: x− 1 + 4 x− 5 + 11 +x+ 8 x− 5=8(Đề Thi vào 10) Bài giải
ĐK:x ≥5
x− 1 + 4 x− 5 + 11 +x+ 8 x− 5 =8
⇔ x− 5 + 2 x− 5 2 + 4+ x− 5 + 2 x− 5 2 + 16=8
) 5 2
) 5 4
( + x− =8⇔2+ x− 5+4+ x− 5=8
⇔2 x− 5=2⇔ x− 5=1⇔x-5=1
⇔x=6(t/m).Vậy x=6 là nghiêm của phương trình
Bài toán 17: Giải phương trình: x+
4
1 2
1
+ +
(Đề thi vào 10 chuyênĐHTHHN)
Hướng dẫn giải
Trang 9x+
4
1 2
1
+ +
-4
1
) 2
1 4
1 ( x+ + =2⇔x+
2
1 4
1
+ +
4
1
+
4
1 4
1
+ +
-4
7
=0
Đặt
4
1
+
x =t ; ĐK t≥0
⇔t2
+t-4
7
=0 ⇔4t2+4t-7=0⇔t1=
4
2 4
2 +
−
;t=
4
2 4
2 −
−
(loại)
⇒
4
1
+
4
2 4
2 +
−
=
2
2 2
1 +
x+
4
1
=
2
2 2
1 +
−
⇒x=2- 2.Vậy x=2- 2là nghiệm của phương trình
*Nắm được gốc của bài toán thì không có gì khó khăn
Bài toán 18:Tìm giá trị nhỏ nhất của: y= x+ 2 x− 1 + x− 2 x− 1
Vẫn là gốc x+2 x− 1=x-1+2 x− 1+1=( x− 1-1)2
Do đó y= x− 1 + 1+ x− 1 − 1
⇔y= x− 1 + 1+1 − x− 1.áp dụng a +b ≥ a+b
⇒ y= x− 1 + 1+ x− 1 − 1 ≥ x− 1 + 11 − x− 1
⇒y≥2 Vậy Min y=2 khi ( x− 1 + 1 )(1 − x− 1 ) ≥0
x≥1 và 1-(x-1) ≥0⇒1≤ x≤ 2
Bài toán 19:(HSG TPHCM 91-92)
Cho M= a+ 3 − 4 a− 1 + a+ 15 − 8 a− 1
a/Tìm điều kiên của a để M xác định
b/Tính giá trị nhỏ nhất của M và giá trị tương úng của a
Bài giải
a/ ĐK a≥1 và a+3≥4 a− 1 và a+15≥8 a− 1
b/ M= a− 1 − 4 a− 1 + 4 + a− 1 − 8 a− 1 + 16
M= ( a− 1 − 2 ) 2 + ( a− 1 − 4 ) 2
M= a− 1 − 2 + a− 1 − 4
Trang 10M= a− 1 − 2 +4 − a− 1 ≥ a− 1 − 2 + 4 − a− 1
M≥2 Min y=2 khi ( a− 1 − 2 )(4 − a− 1 ) ≥0
⇔5≤ x≤ 17
Với phương pháp tương tự ta có các bài toán:
1
1 1 ( 4
4
1 1 2 1 1
1 2 1
+
− +
− + +
−
−
−
x x
x
x x
x x
a/Với x bằng bao nhiêu thì A có nghĩa
b/Rút gọn A
Bài toán 21: Cho A=
2
16 8 1
4 4 4
4
x x
x x x
x
+
−
−
− +
− +
Rút gọn rồi tìm các giá tri nguyên của x để A có giá trị nguyên
Bài toán 22:Cho A =
1 2
2 2 1
−
−
−
−
−
x
x x
Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
2/Tính A2 3/Rút gọn A
TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 9
MỚI NHẤT-NH: 2019-2020
Trang 11Bộ phận bán hàng: 0918.972.605
Đặt mua tại: https://xuctu.com/
Email: sach.toan.online@gmail.com
Đặt trực tiếp tại:
https://forms.gle/ooudANrTUQE1Yeyk6
Quý thầy cô nhận bạn file WORD tại Zalo
0918.972.605