LUAN văn HOAN CHINH QUOC

Học sinh chưa thực sự thấy được nhu cầu chuyển đổi hệ thống biểu đạt” Theo Nguyễn Thị Hồng Duyên-2012 Dạy học hàm số là giúp học sinh thấy được vai trò của nó trong thực tế và tập cho h

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thành Quốc

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH THÔNG QUA MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC VÀ GIẢI QUYẾT

TÌNH HUỐNG GỢI VẤN ĐỀ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chi Minh – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thành Quốc

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH THÔNG QUA MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC VÀ GIẢI QUYẾT

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập,những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực

Nguyễn Thành Quốc

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thị Nga, người

đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương đã nhiệt tình giảng dạy cho chúng tôi những kiến thức về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu Xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong suốt khóa học

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến vợ và những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên tôi hoàn thành khóa học

Nguyễn Thành Quốc

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

MỞ ĐẦU 1

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 1

2 Câu hỏi nghiên cứu 4

3 Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu 4

3.1 Nghiên cứu thể chế 4

3.3 Tiểu đồ án dạy học 4

4 Tổ chức của luận văn 4

CHƯƠNG 1- CƠ SỞ LÝ LUẬN 6

1 Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số 6

2 Tư duy hàm 10

3 Quá trình mô hình hóa toán học 12

4 Dạy học đặt và giải quyết vấn đề 14

4.1 Những khái niệm cơ bản 14

4.2 Dạy học đặt và giải quyết vấn đề 15

5 Phát triển tư duy hàm cho học sinh nhờ vào mô hình hóa và giải quyết các tình huống gợi vấn đề 16

CHƯƠNG 2 - TƯ DUY HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 17

2.1 Giai đoạn hàm số được giảng dạy như đối tượng tiền toán học (tiểu học đến đầu năm lớp 7) 17

2.2 Giai đoạn hàm số được giảng dạy như đối tượng toán học (từ lớp 7 trở đi) 21

2.2.1 Lớp 7 21

2.2.2 Lớp 9 25

2.2.3 Lớp 10 28

2.3 Kết luận 33

Chương 3 - THỰC NGHIỆM 35

3.1 Mục đích thực nghiệm 35

3.2 Thực nghiệm : Tiểu đồ án didactic 36

3.2.1 Nội dung thực nghiệm 36

3.2.2 Dàn dựng kịch bản 38

3.2.3 Đối tượng thực nghiệm 39

3.2.4 Phân tích tiên nghiệm 39

3.2.5 Phân tích hậu nghiệm 46

3.3 Kết luận 59

KẾT LUẬN 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

PHỤ LỤC 65

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Bảng thống kê số lƣợng bài tập liên quan đến hoạt động 1 ở lớp 7 22

Bảng 2.2 Bảng thống kê số lƣợng bài tập liên quan đến hoạt động 2 ở lớp 7 24

Bảng 2.3 Bảng thống kê số lƣợng bài tập liên quan đến hoạt động 2 ở lớp 9 27

Bảng 2.2 Bảng thống kê số lƣợng bài tập liên quan đến hoạt động 2 ở lớp 10 31

Bảng 3.1 Bảng giá trị của các biến đƣợc lựa chọn trong các tình huống 40

Bảng 3.2 Bảng thống kê số câu trả lời theo từng câu hỏi 47

Bảng 3.3 Bảng thống kê các câu trả lời của các nhóm 48

qua nhiều cấp lớp Khái niệm hàm số được định nghĩa đầu tiên ở lớp 7 Sau đó được định nghĩa một cách đầy đủ ở lớp 10 Cụ thể:

Cho một tập hợp khác rỗng DR

Hàm số xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là ; số đó gọi là giá trị của hàm số tại

Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), gọi là biến số hay đối số

của hàm số (Trích SGK Đại số 10 nâng cao)

Sau khi đưa ra định nghĩa, SGK còn lưu ý “ Trong ký hiệu hàm số ,

ta còn gọi x là biến số độc lập, y là biến số phụ thuộc của hàm số f Biến số độc lập

và biến số phụ thuộc của một hàm số có thể được kí hiệu bởi hai chữ cái tùy ý khác nhau.”

Định nghĩa này làm nổi bật đặc trưng tương ứng của hàm số Tuy nhiên, các

thuật ngữ “quy tắc”, “tương ứng”, “biến số”, “ biến số độc lập”, “ biến số phụ thuộc” được coi là những khái niệm không được định nghĩa Phải chăng việc chính

xác hóa các khái niệm này là phức tạp và không cần thiết đối với học sinh? Điều này có ảnh hưởng như thế nào trên việc học tập của học sinh?

Sự ảnh hưởng của định nghĩa khái niệm hàm số này đã được thể hiện trong các luận văn khoá trước Cụ thể:

 “Đối với học sinh, hàm số luôn gắn liền với một biểu thức giải tích Vì vậy,

họ gặp nhiều khó khăn khi đối diện với các tình huống trong đó hàm số xuất hiện dưới dạng bảng hay đồ thị”( Theo Nguyễn Thị Nga- 2003)

 “Mối quan hệ cá nhân giữa học sinh và khái niệm hàm số dựa trên cách biểu diễn hàm số bằng biểu thức giải tích xuất hiện các quy tắc hợp đồng: R 1 : y

kí hiệu dùng để chỉ biến phụ thuộc, x kí hiệu dùng để chỉ biến độc lập.”( Theo

Đỗ Thị Thuý Vân-2010)

 “ Hai hệ thống biểu đạt hàm số được đề cập chủ yếu là biểu thức giải tích và

đồ thị Tuy nhiên, biểu thức giải tích vẫn chiếm ưu thế, vai trò công cụ của

đồ thị khá mờ nhạt Học sinh chưa thực sự thấy được nhu cầu chuyển đổi hệ thống biểu đạt” (Theo Nguyễn Thị Hồng Duyên-2012)

Dạy học hàm số là giúp học sinh thấy được vai trò của nó trong thực tế và tập cho họ khả năng sử dụng nó vào giải quyết các vấn đề của thực tế Để làm được điều này, phải giúp học sinh nhận thấy rằng: hàm số không chỉ xuất hiện trong toán học mà còn được sử dụng như công cụ để giải quyết các vấn đề của thực tiễn và của nhiều lĩnh vực khác như vật lí, kinh tế, trắc địa, tin học, …Trong các giáo trình, sách giáo khoa toán, hàm số thường xuất hiện trước hết với tư cách là đối tượng nghiên cứu, sau đó với tư cách là một công cụ để giải quyết nhiều bài toán thuộc những nội dung toán học khác như phương trình, bất phương trình…Trong chương hàm số bậc nhất và bậc hai, SGK Đại số 10 nâng cao cũng cố gắng thực hiện mục tiêu này Tuy nhiên, chúng tôi thống kê được trong chương này chỉ có 4 bài toán có tính thực tế (bài 25 tr54, bài 37,38 tr61, bài 46 tr64) Trong các bài toán nói trên,

các “ biến số độc lập”, “ biến số phụ thuộc” và mối liên hệ giữa chúng đã được đề

cập tường minh trong đề toán

Như vậy, câu hỏi đặt ra: khi gặp một bài toán thực tế, học sinh có quan tâm đến mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các đại lượng trong sự vận động của chúng hay không? Học sinh có xác định được đại lượng biến thiên nào là biểu diễn sự phụ thuộc cho đại lượng biến thiên khác? Nói cách khác, học sinh có thể nhìn bài toán theo quan điểm hàm và sử dụng các kiến thức về hàm số để giải quyết các vấn đề thực tế hay không?

 Ghi nhận 2

Kiến thức hàm số có vai trò quan trọng trong toàn bộ chương trình môn toán phổ thông Điều này được khẳng định không chỉ ở nước ta mà còn được đề cập đến trong nhiều ý kiến của các nhà khoa học nước ngoài Ta có thể thấy được điều này qua các ý kiến sau đây:

- Ý kiến của Kơlanh khi khởi xướng phong trào cải cách việc dạy học toán ở trường phổ thông đầu thế kỉ 20 đã đề nghị: Đưa cái mới vào giáo trình toán phổ thông, lấy tư tưởng hàm số và biến hình làm tư tưởng quan trọng nhất Kiến nghi của Hội nghị Quốc tế về giáo dục họp tại Giơnevơ (tháng 7 năm 1956) gửi các vị

Bộ trưởng Giáo dục các nước nêu rõ: Nên xây dựng chương trình sao cho việc dạy Toán dựa trên các cơ sở hàm số…

- Ở Việt Nam, chương trình Toán trong cải cách giáo dục và các chương trình đổi mới trong những năm gần đây đều chú trọng đến kiến thức hàm số Trong tài liệu

“Phương pháp dạy học bộ môn Toán”, GS Nguyễn Bá Kim cho rằng “Đảm bảo khái niệm trung tâm của hàm số” là một trong ”những tư tưởng cơ bản” của chương trình môn Toán bậc THPT Khi phân tích tư tưởng này tác giả đã nhấn mạnh:

 Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ xuyên suốt trong chương trình bậc Phổ thông Trung học

 Phần lớn chương trình Đại số và Giải tính dành cho việc trực tiếp nghiên cứu hàm số và công cụ khảo sát hàm số

 Cấp số cộng và cấp số nhân được nghiên cứu như những hàm số đối số tự nhiên

 Lượng giác chủ yếu nghiên cứu hàm số lượng giác còn công thức lượng giác được giảm nhẹ

 Phương trình và bất phương trình được trình bày liên hệ chặt chẽ với hàm số

Gắn bó chặt chẽ với khái niệm hàm là tư duy hàm Phát triển tư duy hàm có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán, nó vừa là yêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện để nâng cao chất lượng dạy học nhiều tuyến kiến thức môn Toán Việc dạy học các kiến thức môn Toán được trình bày theo tư tưởng hàm số có tác dụng tốt trong việc phát triển tư duy hàm cho học sinh đồng thời có thể rèn luyện nhiều kỹ năng giải toán và ứng dụng kiến thức toán cho học sinh trong sự kết hợp

phát triển tư duy hàm Như vậy, có những hoạt động nào đặc trưng cho tư duy hàm được đề cập trong chương trình và SGK phổ thông?

2 Câu hỏi nghiên cứu

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đưa một số câu hỏi để định hướng cho nghiên cứu như sau:

Q1: Trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông, việc phát triển tư duy hàm

có được chú trọng hay không? Hoạt động đặc trưng nào của tư duy hàm được nhấn mạnh? Có những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế trên các kiểu nhiệm vụ gắn với các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm? Vấn đề dạy học bằng mô hình hóa có được thể chế quan tâm khi đưa vào các hoạt động phát triển tư duy hàm cho học sinh hay không?

Q2: Liệu có thể tổ chức dạy học nhắm đến việc phát triển tư duy hàm cho học

sinh THPT thông qua mô hình hóa và và giải quyết các tình huống gợi vấn đề trong

đó có tính đến các điều kiện và ràng buộc của thể chế?

3 Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu

3.1 Nghiên cứu thể chế

Trên cơ sở nghiên cứu các hoạt động đặc trưng của tư duy hàm, chúng tôi sử dụng các khái niệm tổ chức toán học, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân để phân tích chương trình toán trung học phổ thông để trả lời các câu hỏi Q1

3.3 Tiểu đồ án dạy học

Dựa trên kết quả nghiên cứu thể chế cho phép chúng tôi dự đoán những khó khăn của học sinh khi đối diện với một tình huống thực tế Từ đó, dựa vào khái niệm đồ án dạy học trong lý thuyết tình huống kết hợp với lý thuyết mô hình hóa chúng tôi sẽ xây dựng các tình huống dạy học nhằm phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua mô hình hóa và giải quyết tình huống gợi vấn đề Các tình huống này được xây dựng theo các ràng buộc thể chế

4 Tổ chức của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và các chương sau:

Chương 1: Cơ sở lý luận

1.1 Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số

1.2 Tư duy hàm

1.3 Quá trình mô hình hóa toán học

1.4 Dạy học đặt và giải quyết vấn đề

Chương 2: Vấn đề phát triển tư duy hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông

2.1 Giai đoạn khái niệm hàm số chưa xuất hiện (tiểu học đến đầu năm lớp 7) 2.2 Giai đoạn khái niệm hàm số đã được định nghĩa tường minh (từ lớp7 trở đi)

CHƯƠNG 1- CƠ SỞ LÝ LUẬN

1 Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số

Chúng tôi sẽ tổng hợp lại các nghiên cứu khoa học luận khái niệm hàm số trong

khóa luận của Nguyễn Thị Nga (2003) Có thể tóm tắt một số điểm chính của luận

văn như sau:

 Ba đặc trưng cơ bản của hàm số là: tương ứng, phụ thuộc và biến thiên

 Biểu diễn hàm số: Trong lịch sử toán học, người ta sử dụng các phương tiện khác nhau như bảng số, hình hình học, biểu thức giải tích và đồ thị

Trong từng thời kỳ khác nhau của lịch sử toán học, khái niệm hàm số cùng ba đặc trưng và các cách biểu diễn xuất hiện một cách ngầm ẩn hay tường minh Cụ thể, theo tài liệu của Nguyễn Thị Nga (2003) chúng tôi có bảng tóm tắt như sau:

PHƯƠNG TIỆN BIỂU DIỄN

 Tương ứng (ngầm ẩn)

 Bảng số

 Đường cong hình học

 Biến thiên (tường minh)

 Tương ứng (ngầm ẩn)

 Biểu thức giải tích

Nửa đầu

thế kỉ 19

+ có tên

+ có định nghĩa (dựa

vào khái niệm tương

ứng giữa hai đại

 Biến thiên (tường minh)

 Tương ứng (tường minh)

 Bảng

 Biểu thức giải tích

(dựa vào khái niệm

tương ứng hay quan

 Đồ thị

 Biểu đồ Ven

 Các cặp phần tử

Từ sự tổng hợp trên, chúng tôi nhận thấy rằng: Qua từng giai đoạn khác nhau của lịch sử, các cách biễu diễn hàm số có sự thay đổi Bảng số là phương tiện biểu diễn hàm số đầu tiên Cách biểu diễn bằng bảng thường chỉ được áp dụng khi tập xác định của hàm số là hữu hạn và quy tắc tương ứng khó diễn đạt bằng một biểu thức giải tích Kể từ thế kỷ 18, cách biểu diễn hình hình học rất ít xuất hiện Hai cách biểu diễn đồ thị và biểu thức giải tích vẫn luôn được ưu tiên Như vậy, trong từng cách biểu diễn thì đặc trưng hàm số được thể hiện như thế nào?

Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi sẽ sử dụng lại kết quả nghiên cứu của

Nguyễn Thị Hồng Duyên (2012) Chúng tôi có bảng tóm tắt như sau:

Đại số (biểu thức giải

tích hay công thức)

+ Cô đọng và chính xác mối tương quan hàm + Làm nổi bật đặc trưng tương ứng của khái niệm hàm số

+ Dễ tính toán, biến đổi + Có thể dùng các công cụ giải tích để nghiên cứu tính liên tục, sự biến thiên, cực trị…

+ Không thấy được đặc trưng phụ thuộc của hàm

số

Hình học (đồ thị, biểu

đồ)

+ Xác định nhanh một số tính chất của hàm số

+ Tìm được giá trị (đúng hay gần đúng) của hàm số tại 1 điểm

+ Không phải hàm số nào cũng có thể mô tả chính xác bằng đồ thị

+ Cơ sở cho việc đọc được tính chất của đồ thị là những chứng minh chặt chẽ được thực hiện ở hệ thống biểu đạt đại số

Bảng số

+ Tìm được giá trị của hàm nhanh chóng

+Công cụ tiện lợi để ghi kết quả nghiên cứu thực nghiệm

+ Tập xác định của hàm

số phải hữu hạn + Xác định giá trị của hàm tại một giá trị ngoài bảng cũng như muốn biết quy luật phát triển của chúng thì cần phải thực hiện sự chuyển đổi

Ngoài 3 hệ thống biểu đạt nêu trên, hàm số còn được biểu đạt bằng lời Cách biểu đạt này được đề cập trong

“Tài liệu bồi dưỡng giáo viên Toán trung học phổ thông tỉnh Bình Thuận” của Trần Lương Công Khanh (2007)

Về tính ưu việt của hệ thống biểu đạt bằng lời, tác giả Trần Lương Công Khanh nói rõ:

“Rõ ràng trong hai ví dụ trên, cách biểu đạt bằng lời là cách biểu đạt tối ưu vì hiện nay toán

học chưa tìm được cách biểu đạt nào khác đối với f và g Giả sử sẽ tìm được biểu thức giải tích của f và g trong tương lai, cách biểu đạt bằng lời vẫn là cách biểu đạt gọn nhất Điều

này cũng cho thấy tồn tại những hàm số mà ta không thể thực hiện sự chuyển đổi hệ thống

biểu đạt.” (Theo Nguyễn Thị Hồng Duyên - 2012)

Từ những nghiên cứu trên, chúng tôi nhận thấy rằng: khái niệm hàm số phát sinh, phát triển, ngày càng mở rộng chính xác hóa và hoàn thiện do nhu cầu của thực tiễn Cho nên, việc dạy học khái niệm hàm số không chỉ nên dừng lại ở việc đưa vào định nghĩa của nó, mà phải nắm vững các đặc trưng và các hệ thống biểu đạt của nó, cách chuyển đổi giữa các hệ thống biểu đạt và đặc biệt là áp dụng nó vào việc giải quyết các bài toán của thực tế hay của khoa học Bởi vì các vấn đề thực tế sẽ làm nảy sinh nhu cầu sử dụng hàm số và thực hiện sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt

Liên quan đến vấn đề phát triển tư duy hàm, tác giả Nguyễn Bá Kim (1996) cho

rằng: “phát triển tư duy hàm là tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và vận dụng sự tương ứng trong khi và nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng toán học” Như vậy, đặc trưng cho tư duy hàm có thể liệt kê các hoạt

động sau đây:

 Phát hiện hoặc thiết lập những sự tương ứng

 Nghiên cứu những sự tương ứng

 Vận dụng những sự tương ứng

a) Hoạt động 1

Phát hiện những sự tương ứng tức là nhận ra một mối liên hệ tương ứng tồn tại

khách quan, ví dụ như sự tương ứng giữa độ dài cạnh và diện tích một hình vuông, giữa thời gian đi và quãng đường đi được, giữa các số hạng và tổng của chúng…

Thiết lập sự tương ứng có nghĩa là tự tạo ra những sự tương ứng theo quy định chủ

quan của mình để thuận lợi cho một mục đích nào đó, chẳng hạn sự tương ứng giữa các số thực và các điểm trên một đường thẳng, giữa tập con của tập các số tự nhiên

và những que đếm…

b) Hoạt động 2

Nghiên cứu những sự tương ứng nhằm phát hiện ra những tính chất của những mối

liên hệ nào đó, ví dụ như diện tích của hình vuông luôn luôn bằng bình phương độ dài của cạnh

Hoạt động này bao gồm nhiều phương diện khác nhau nhưng có thể cụ thể hoá thành ba tình huống sau:

Tình huống 1 Xác định giá trị ra khi biết giá trị vào; xác định giá trị vào khi biết giá trị ra; nhận biết quy tắc tổng quát của một mối liên hệ (trong các trường hợp

có thể) khi cho biết các cặp phần tử tương ứng của mối liên hệ đó (hay khi cho cặp giá trị vào và giá trị ra); nhận biết tính đơn trị của sự tương ứng

Tình huống 2 Đánh giá sự biến thiên mong muốn của giá trị ra khi thay đổi giá trị vào; thực hiện một sự biến thiên mong muốn đối với giá ra bằng cách thay đổi giá trị vào; dự đoán sự phụ thuộc

Tình huống 3 Phát triển và nghiên cứu những bất biến; những trường hợp đặc biệt và những trường hợp suy biến

Ba loại hoạt động này gắn bó chặt chẽ với nhau, hoạt động trước là tiền đề cho hoạt động sau và hoạt động sau là mục đích, cơ sở hình thành hoạt động trước Như vậy, rèn luyện tư duy hàm là rèn luyện cho học sinh những khả năng, những hoạt động sau:

(1) Có khả năng xem xét, nhìn nhận các đối tượng toán học dưới con mắt động, nhìn trong sự vận động, biến đổi

(2) Phát hiện được sự tương ứng hay những mối liên hệ giữa các đối tượng,

sự kiện toán học trong sự vận động và biến đổi của chúng

(3) Từ việc tìm hiểu rồi nghiên cứu được những tương ứng hay những mối liên hệ nào đó, ở mức độ cao hơn, có khả năng thể hiện (hay diễn đạt) được nội dung của các đối tượng, sự kiện toán học bằng ngôn ngữ hàm

3 Quá trình mô hình hóa toán học

Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi

mà người ta đặt ra trên hệ thống này

Quá trình mô hình hóa vấn đề thực tiễn được trình bày theo sơ đồ sau (Theo Nguyễn Thị Nga (2011))

Sơ đồ này chia quá trình mô hình hóa thành 4 bước: (Tham khảo Nguyễn Thị Nga (2011))

- Bước 1: Chuyển hệ thống ngoài toán học thành một mô hình trung gian Xây dựng mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng phải tuân theo Mô hình trung gian giữa tình huống ngoài toán học và mô hình toán học cần xây dựng biểu thị một cấp

độ trừu tượng hóa đầu tiên của “thực tiễn” Mô hình này tiến triển từ từ qua việc mô hình hóa: một mô hình trung gian có thể gần về ngữ nghĩa ít hoặc nhiều hơn so với tình huống thực tế được xem xét hoặc so với mô hình toán học cần xây dựng

- Bước 2: Chuyển mô hình trung gian thành mô hình toán học, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính Khi có mô hình trung gian

ta chọn các biến đặc trưng cho các yếu tố của tình huống đang xét Từ đó dẫn đến việc lập mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến số và các tham số của tình huống Như vậy mô hình toán học là trừu tượng hóa dưới dạng ngôn ngữ toán học của hiện tượng thực tế, cần phải được xây dựng sao cho việc phân tích nó cho phép ta hiểu được bản chất của hiện tượng

- Bước 3: Hoạt động toán học trong mô hình toán học Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết mô hình toán học hình thành ở bước thứ hai Căn

cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp

- Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba Trở lại tình huống được nghiên cứu để chuyển câu trả lời của vấn đề toán học thành câu trả lời của những câu hỏi ban đầu và đối chiếu chúng với thực tiễn được mô hình hóa

Trong bước này có hai khả năng:

* Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế

* Khả năng 2: Mô hình và các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế Khi đó cần xem xét các nguyên nhân sau:

- Tính chính xác của lời giải toán học, thuật toán, quy trình

- Mô hình định tính đã xây dựng chưa phản ánh đầy đủ vấn đề đang xét

- Tính thỏa đáng của mô hình toán học đang xây dựng

- Các số liệu ban đầu không phản ánh đúng thực tế

Có thể phải thực hiện lại quy trình cho đến khi tìm được mô hình toán học thích hợp cho tình huống đang xét

Như thế, mô hình hóa toán học là quá trình cấu trúc lại vấn đề cần giải quyết nhờ những khái niệm toán học được lựa chọn một cách phù hợp Quá trình ấy được thực hiện thông qua việc xây dựng mô hình phỏng thực tế bằng cách “cắt tỉa” – hay ngược lại, bổ sung thông tin - để có thể gắn vấn đề ban đầu với các quy trình toán

học Trong bước tìm kiếm mô hình phỏng thực tế này người ta thường phải thực hiện những việc như đặt giả thuyết, tổng quát hóa, hình thức hóa,… Bài toán toán học cuối cùng được xây dựng phải đại diện trung thực cho bối cảnh thực tế

(Theo Vũ Như Thư Hương – 2013)

4 Dạy học đặt và giải quyết vấn đề

Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt một số nội dung về dạy học đặt và giải quyết

vấn đề trong tài liệu“ Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông” của tác giả Lê Văn Tiến (2005)

4.1 Những khái niệm cơ bản

4.1.1 Vấn đề

Thuật ngữ Bài toán được hiểu là “tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một

kết quả chưa biết cần tìm bắt đầu từ một số dữ liệu, hoặc về phương pháp cần khám phá, mà theo phương pháp này sẽ đạt được kết quả đã biết” (Từ điển “Petit

Robert”)

Xét bài toán T và một chủ thể X có ý thức về T và tiếp nhận T để giải quyết

Khi đó có hai khả năng xảy ra:

- Chủ thể X có thể giải quyết được bài toán T chỉ nhờ vào việc áp dụng đơn thuần hệ thống kiến thức đã có của mình mà không có khó khăn gì

- X không thể giải quyết được T nếu chỉ dựa vào hệ thống kiến thức đã có, hoặc chỉ giải quyết được T sau một quá trình tích cực suy nghĩ để đồng hóa đối tượng nhận thức vào mô hình kiến thức cũ của mình, hoặc để điều chỉnh lại kiến thức hay phương pháp hành động cũ (nghĩa là kiến tạo kiến thức mới)

Nói cách khác bài toán T đặt ra trước chủ thể X những khó khăn nhận thức, những mâu thuẫn giữa cái đã biết và cái chưa biết, được chủ thể ý thức một cách rõ ràng hay mơ hồ, nhưng chưa có một phương pháp có tính thuật toán nào để giải

quyết Khi đó ta nói, bài toán T là một vấn đề đối với chủ thể X

Cần nhấn mạnh rằng, để bài toán T là một vấn đề đối với chủ thể X, thì trước

hết X phải có ý thức về T và tiếp nhận T để giải quyết (tự nguyện hay bắt buộc)

4.1.2 Tình huống có vấn đề và tình huống gợi vấn đề

Tình huống có vấn đề là tình huống trong đó tồn tại một vấn đề (theo nghĩa

ở trên)

Tình huống gợi vấn đề là tình huống thỏa mãn ba điều kiện sau:

a) Tồn tại một vấn đề

b) Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu tình huống có vấn đề, nhƣng vì một lí do nào

đó nào đó mà họ không có hứng thú tìm hiểu, suy nghĩ để tìm cách giải quyết (chẳng hạn vì họ cảm thấy chẳng có ích gì cho mình, hay vì quá mệt mỏi, ) thì đó cũng không phải là tình huống gợi vấn đề Tình huống gợi vấn đề phải là tình huống tao ra cho HS một cảm xúc hứng thú, mong muốn giải quyết vấn đề

c) Gây niềm tin ở khả năng: Nếu vấn đề trong tình huống rất hấp dẫn, lôi cuốn và HS có nhu cầu giải quyết, nhƣng nếu họ mau chóng cảm thấy vấn đề là quá khó, vƣợt quá khả năng của mình, thì họ cũng không còn hứng thú, không còn sẵn sàng giải quyết vấn đề Tình huống gợi vấn đề phải bộc lộ mối quan hệ (có thể khá

mờ nhạt) giữa vấn đề cần giải quyết và vốn kiến thức sẵn có của chủ thể, và tạo ra ở

họ niềm tin rằng nếu tích cực suy nghĩ thì sẽ thấy rõ hơn mối quan hệ này và có nhiều khả năng tìm ra cách giải quyết

Tóm lại, tình huống gợi vấn đề là tình huống gợi ra cho HS những khó khăn

về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vƣợt qua, nhƣng không phải ngay thức thì nhờ vào một quy tắc có tính thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để đồng hóa nó hay điều chỉnh hệ thống kiến thức sẵn có nhằm thích nghi với điều kiện hành động mới

4.2 Dạy học đặt và giải quyết vấn đề

Dạy học đặt và giải quyết vấn đề ( DHĐ&GQVĐ) là hình thức dạy học trong

đó GV (hay cùng HS) tạo ra một hay nhiều tình huống gợi vấn đề, tổ chức, điều khiển HS trình bày vấn đề và hoạt động giải quyết các vấn đề, qua đó giúp HS lĩnh hội kiến thức, rèn luyện kĩ năng, phát triển tƣ duy và đạt đƣợc các mục đích dạy học khác

Một trong các mục đích chủ yếu của DHĐ&GQVĐ là làm cho HS lĩnh hội được kiến thức mới như là kết quả của quá trình giải quyết vấn đề Nói cách khác, kiến thức không được truyền thụ trực tiếp từ GV, dưới dạng có sẵn, mà được khám phá dần theo quá trình giải quyết vấn đề

Một mục đích cốt yếu khác của hình thức dạy học này là giúp HS phát triển các khả năng khác, như: khả năng phát hiện và trình bày vấn đề, khả năng tìm kiếm cách giải quyết vấn đề, khả năng tổ chức quá trình giải quyết vấn đề, khả năng kiểm tra đánh giá kết quả và phương pháp tiến hành giải quyết vấn đề, Nói cách khác,

nó cũng cung cấp cho HS những tri thức phương pháp

 Các bước chủ yếu của DHĐ&GQVĐ:

a) Tạo tình huống gợi vấn đề (phát hiện vấn đề)

b) Trình bày vấn đề và đặt mục đích giải quyết vấn đề

c) Giải quyết vấn đề: khám phá các phương pháp giải, chọn phương pháp giải thích hợp, trình bày lời giải

d) Kiểm tra, đánh giá lời giải, kết quả và cả cách thức tìm kiếm lời giải e) Thể chế hóa kiến thức cần lĩnh hội

5 Phát triển tư duy hàm cho học sinh nhờ vào mô hình hóa và giải quyết các tình huống gợi vấn đề

Qua phân tích các đặc trưng tư duy hàm và các bước của quá trình mô hình hoá, chúng tôi nhận thấy việc phát triển tư duy hàm không thể thiếu hoạt động mô hình hóa một tình huống thực tế bởi một hàm số nhờ vào một trong các hệ thống biểu đạt của nó Đặc biệt, việc nhìn nhận sự phụ thuộc, tương ứng giữa các đối tượng trong sự vận động giữa chúng để thiết lập nên mối quan hệ hàm cần phải được nhấn mạnh Hơn nữa, cũng cần quan tâm đến việc khai thác, sử dụng các tính chất của hàm số như một công cụ để phân tích một hiện tượng thực tế Như vậy, việc dạy học toán ở trường phổ thông vấn đề phát triển tư duy hàm được quan tâm ở mức độ nào, có mối liên hệ gì với mô hình hóa toán học Vấn đề này sẽ được chúng tôi làm rõ trong chương tiếp theo

CHƯƠNG 2 - TƯ DUY HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở

TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Mục đích nghiên cứu của chúng tôi trong chương này là đi tìm câu trả lời cho

câu hỏi: Trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông việc phát triển tư duy hàm

có được đề cập hay không? Hoạt động đặc trưng nào của tư duy hàm được nhấn mạnh? Vấn đề dạy học bằng mô hình hóa có được thể chế quan tâm khi đưa vào các hoạt động phát triển tư duy hàm cho học sinh hay không?

Tư duy hàm được bồi dưỡng xuyên suốt ở trường phổ thông và hiện diện trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là đại số (chủ đề các tập hợp số, hàm số) và hình học (các phép biến hình) Việc phát triển tư duy hàm có thể khai thác trong nhiều chủ đề khác nhau Tuy nhiên trong phạm vi giới hạn của luận văn, chúng tôi chỉ quan tâm đến việc phát triển tư duy hàm trong lĩnh vực đại số

Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các sách giáo khoa và sách giáo viên toán hiện hành từ lớp 1 cho đến lớp 10, nhưng tập trung chủ

yếu là ở các lớp 7, 9, 10 do ở các lớp này khái niệm hàm số được định nghĩa

2.1 Giai đoạn hàm số được giảng dạy như đối tượng tiền toán học (tiểu học đến đầu năm lớp 7)

Khái niệm hàm số không được định nghĩa trong giai đoạn này Tuy nhiên, đặc trưng “tương ứng” của hàm số đã hiện diện và được khai thác một cách ngầm

ẩn Đó là sự tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp như tương ứng giữa số chén và số dĩa, tương ứng giữa các con số từ 1 đến 10 với tích số trong bảng nhân, tương ứng giữa giá trị của tổng và số hạng, sự tương ứng giữa diện tích và độ dài một cạnh, tương ứng giữa quãng đường đi được và thời gian chuyển động… Cụ thể qua từng lớp, chúng tôi minh họa một số kiểu nhiệm vụ xuất hiện như sau:

Ví dụ: Viết giá trị của biểu thức vào ô trống:

“Ví dụ: Có 100 kg gạo được chia đều vào các bao Bảng dưới đây cho biết

số bao gạo có được khi chia hết số gạo đó vào các bao, mỗi bao đựng 5 kg, 10 kg,

ra khi biết giá trị vào Ở đây cũng hình thành ở học sinh biểu tượng ban đầu về sự phân biệt giữa những sư tương ứng đơn trị với những sự tương ứng không đơn trị và

có thể làm cho học sinh biết nhìn nhận một phép tính như một quy tắc tương ứng thể hiện bởi một bảng giá trị Như vậy việc rèn luyện các kĩ năng tính toán và đào

m x 78

Thời gian đi 1 giờ 2 giờ 3 giờ

Quãng đường đi được 4 km 8 km 12 km

Số ki-lô-gam gạo ở mỗi bao 5 kg 10 kg 20 kg

Số bao gạo 20 bao 10 bao 5 bao

sâu những hiểu biết về những phép tính góp phần phát triển tư duy hàm cho học sinh

Đầu chương trình lớp 7, SGK đưa vào khái niệm đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch với các mục tiêu cụ thể sau:

“- Hiểu được công thức đặc trưng của hai đại lượng tỉ lệ thuận, của hai đại lượng tỉ

Bài 2/54: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận Điền số thích hợp vào ô trống

trong bảng sau:

Bài 5/55: Hai đại lượng x và y có tỉ lệ thuận với nhau hay không, nếu:

Bài 15/58:

Cho biết đội A dùng x máy cày (có cùng năng suất) để cày xong một cánh đồng hết

y giờ Hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau không?

Cho biết x là số trang đã đọc xong và y là số trang còn lại chưa đọc của một

quyển sách Hỏi x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?

Cho biết a(m) là chu vi của bánh xe, b là số vòng quay được của bánh xe trên đoạn đường xe lăn từ A đến B Hỏi a và b có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?

Bài 22/62: Một bánh răng cưa có 20 răng quay một phút được 60 vòng Nó khớp

với một răng cưa khác có x răng Giả sử bánh răng cưa thứ hai quay một phút được

y vòng Hãy biểu diễn y qua x

Bài 23/62: Hai bánh xe nối với nhau bởi một dây tời Bánh xe lớn có bán kính

25cm, bánh xe nhỏ có bán kính 10cm Một phút bánh xe lớn quay được 60 vòng Hỏi một phút bánh xe nhỏ quay được bao nhiêu vòng?

(SGK Toán 7 tập 1) Qua các bài tập trên, mục tiêu mà SGK nhắm đến là giúp học sinh phát hiện và

sử dụng các tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận và nghịch

Các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm được đề cập ở đây là:

- Nghiên cứu sự tương ứng: xác định giá trị ra khi biết giá trị vào (bài tập 2/54), nhận biết quy tắc tổng quát của một mối liên hệ (bài 5/55, 15/58, 22/62)

- Vận dụng sự tương ứng: bài tập 23/62 Để giải quyết bài toán này học sinh phải phát hiện sự tương ứng giữa số vòng quay và bán kính- tỉ lệ nghịch nhau Sau đó, học sinh dựa vào tính chất của tỉ lệ nghịch thiết lập nên công thức, đi tìm kết quả và

sử dụng kết quả này trả lời câu hỏi của bài toán

Tóm lại, giai đoạn này khái niệm hàm số chưa xuất hiện nhưng các hoạt động đăc trưng cho tư duy hàm bước đầu được đề cập Hoạt động nghiên cứu sự tương ứng được đề cập nhiều hơn Hai hoạt động còn lại chỉ xuất hiện trong một vài bài tập Trong các bài toán thực tế liên quan đến hoạt động phát triển tư duy hàm, các đại lượng đóng vai trò là biến độc lập, biến phụ thuộc luôn được xác định và được

đề cập tường minh trong đề toán Hơn nữa, các biến này liên hệ với nhau bởi một công thức mà việc tìm ra mối liên hệ đó bằng một công thức được thực hiện khá dễ dàng

2.2 Giai đoạn hàm số được giảng dạy như đối tượng toán học (từ lớp 7 trở đi) 2.2.1 Lớp 7

SGK trình bày định nghĩa khái niệm hàm số bằng con đường quy nạp: xuất phát

từ những ví dụ cụ thể và rút ra những đặc trưng của khái niệm, sau đó nêu định

nghĩa

Định nghĩa hàm số được SGK trình bày như sau:

“Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x

ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của

x và x gọi là biến số” (SGK, Toán 7, tập một, trang 63)

Hàm số trình bày ở đây theo quan điểm: coi hàm số là khái niệm toán học

mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên Khái niệm này đã thể hiện tường minh sự biến thiên của hai đại lượng Tuy nhiên, SGK đã nêu ra chú ý:

“Khi y là hàm số của x ta có thể viết y = f(x), y = g(x)… Chẳng hạn, với hàm số được cho bởi công thức y = 2x +3, ta còn có thể viết y=f(x)=2x+3 và khi đó, thay cho câu”khi x bằng 3 thì giá trị tương ứng của y là 9” hoặc câu” khi x bằng 3 thì y bằng 9”) ta viết f(3)=9” Khi đó, đặc trưng tương ứng của hàm số được thể hiện rõ nét Việc phát triển tư duy hàm được quan tâm như thế nào? Các hoạt động đặc

trưng cho tư duy hàm có được khai thác trong các bài toán thực tiễn hay không?

Điều này chúng tôi sẽ phân tích trong phần hoạt động và bài tập

Chúng tôi nhận thấy có các kiểu nhiệm vụ liên quan đến việc phát triển tư duy hàm như sau:

 Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 1 (Phát hiện và thiết lập sự tương ứng): 1) Tnhan dang : Nhận dạng hàm số

Kĩ thuật: Kiểm tra xem với mỗi giá trị của x có tương ứng với duy nhất giá trị của y

không

Ví dụ minh họa:

Bài 24/63: Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong bảng

sau:

X -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Y 16 9 4 1 1 4 9 16 Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không ?

2) Tgiaitich : Tìm biểu thức giải tích của hàm số

Kĩ thuật: Dựa vào một số công thức đã biết như: chu vi, diện tích,… để thiết lập

biểu thức giải tích

Ví dụ minh họa : Bài 45/73: Hai cạnh của hình chữ nhật có độ dài là 3m và x(m)

Hãy viết công thức biểu diễn diện tích y(m 2 ) theo x

Bảng 2.1 Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến hoạt động 1 ở lớp 7 Kiểu nhiệm vụ

Tgiaitich, hai đại lượng biến được nêu tường minh và mối liên hệ giữa chúng được biểu thị bằng một công thức đơn giản dựa trên kiến thức mà học sinh đã biết

 Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 2 (Nghiên cứu sự tương ứng)

1) Tgiaitich : Tìm biểu thức giải tích của hàm số

2) Ttinh : Tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước

 Ttinh.1 : Dựa vào biểu thức giải tích

Với mỗi giá trị của x, thay vào biểu thức giải tích tính được giá trị y tương ứng (và ngược lại)

 Ttinh.2: Dựa vào đồ thị hàm số

Với mỗi giá trị x trên trục Ox dựng đường thẳng song song trục Oy, cắt đồ thị tại một điểm Qua điểm đó, dựng đường thẳng song song trục Ox cắt Oy tại giá trị y

x

Bài 46/73: Đồ thị trong hình 28 được sử dụng để đổi đơn vị độ dài từ in-sơ sang

xentimét Xem đồ thị hãy cho biết 2in (in-sơ), 3in (in-sơ), bằng khoảng bao nhiêu xentimét?

3) Tve : Vẽ đồ thị hàm số

Tve.1 : Vẽ đồ thị hàm số y = ax

- Tìm điểm thuộc vào đồ thị và khác điểm gốc O

- Nối điểm đó với O ta được đồ thị cần vẽ

Tve.2 : Vẽ đồ thị hàm số cho bằng bảng

- Dựa vào bảng giá trị xác định các cặp số (x;y)

- Xác định các điểm có tọa độ là các cặp số trên

b) Vẽ một hệ trục tọa độ Oxy và xác định các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng của x và y ở câu a

Bài 39/71: Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số:

a) y = x c) y = -2x

b) y = 3x d) y = -x

4) Tbpt : Tìm x để y dương hoặc âm

 Tbpt.1 : Dựa vào đồ thị

- y > 0 ứng với phần đồ thị phía trên trục hoành

- y < 0 ứng với phần đồ thị phía dưới trục hoành

 Tbpt.2: Dựa vào biểu thức y = ax

- y nhận giá trị dương: Nếu a>0 thì x>0, nếu a<0 thì x<0

- y nhận giá trị âm: Nếu a>0 thì x<0, nếu a<0 thì x>0

Ví dụ minh họa: Bài 44c/73: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = -0,5x Bằng đồ thị hãy tìm:

Các giá trị của x khi y dương, khi y âm

Bảng 2.2 Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến hoạt động 2 ở lớp 7

học Chẳng hạn, đối với kiểu nhiệm vụ Ttinh cho giá trị đầu vào tính giá trị đầu ra và các biến được nêu tường minh, học sinh chỉ việc tính toán trên công thức của một hàm số cho trước

 Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 3 (Vận dụng sự tương ứng): không được

đề cập

Tóm lại, qua phân tích các kiểu nhiệm vụ gắn với các hoạt động đặc trưng cho

tư duy hàm, chúng tôi nhận thấy việc phát triển tư duy hàm chỉ dừng lại ở mức độ phát hiện, thiết lập và nghiên cứu những sự tương ứng, sự phụ thuộc của hai đại lượng thông qua các bài toán toán học Hơn nữa, việc xác định các biến số không tự học sinh phát hiện mà SGK đã làm thay bằng cách cho sẵn Bên cạnh đó, hoạt động vận dụng sự tương ứng, sự phụ thuộc và vấn đề sử dụng mô hình hóa trong việc phát triển tư duy hàm không được đề cập Sự thiếu sót này là do những ràng buộc khách quan của tổ chức toán học( như yếu tố công nghệ, lý thuyết còn thiếu) Để làm rõ hơn vấn đề này, chúng tôi sẽ đi phân tích chương trình và nội dung trình bày

ở lớp 9 Vì ở chương trình lớp 9, khái niệm hàm số được trình bày ở mức độ sâu rộng hơn

2.2.2 Lớp 9

Định nghĩa hàm số trong SGK Toán 9 như sau:

“Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm

số của x và x gọi là biến số” (SGK, Toán 9, tập một, trang 42)

Như vậy, khái niệm hàm số được đưa vào chương trình Toán 9 vẫn giữ nguyên như ở lớp 7 Tuy nhiên, SGK Toán 9 đã bổ sung thêm các thuật ngữ “biến số”, “ tập xác định”, “sự đồng biến”, “sự nghịch biến” của hàm số và đưa ra các định nghĩa tường minh cho các thuật ngữ này thông qua các hoạt động tính toán Tuy nhiên, đặc trưng biến thiên chỉ được nhắc đến nhằm cho học sinh làm quen với thuật ngữ này Đặc trưng tương ứng của hàm số vẫn là đặc trưng nổi bật được xem xét

Việc tiếp cận hai khái niệm hàm số và

được hình thành theo con đường quy nạp, đều xuất phát từ sự tương ứng giữa quãng đường đi được và thời gian chuyển động …

Tiếp tục nghiên cứu SGK để tìm các kiểu nhiệm vụ liên quan đến các hoạt

động đặc trưng cho tư duy hàm, chúng tôi thấy có các kiểu nhiệm vụ như sau:

 Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 1 (Phát hiện và thiết lập sự tương ứng) Tìm biểu thức giải tích của hàm số (Tgiaitich) xuất hiện ở bài tập số 10 trang 48

SGK toán 9 tập một: “Một hình chữ nhật có các kích thước là 20cm và 30cm Người ta bớt kích thước của hình đó đi x (cm) được hình chữ nhật mới có chu vi là y (cm) Hãy lập công thức tính y theo x” Đây là một bài toán trong toán học, SGK

nêu sẵn sự tương ứng của hai đại lượng biến là x và y học sinh chỉ cần biết công

thức tính chu vi để thiết lập nên công thức

 Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 2 (Nghiên cứu sự tương ứng)

1) Ttinh : Tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước thuộc tập xác định 2) Tgiaitich : Xác định biểu thức giải tích của hàm số

3) Tve : Vẽ đồ thị hàm số (Tve)

4) Tdb-nb : Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Trong 4 kiểu nhiệm vụ trên, 3 kiểu nhiệm vụ đầu tiên kĩ thuật tương tự như ở lớp 7 nhưng các hàm số cho ở lớp 9 tổng quát hơn (hàm bậc nhất và bậc hai) Còn kiểu nhiệm vụ Tdb-nb như sau:

 Tdb-nb.1: Dựa vào đồ thị

Nếu đồ thị hàm số đi lên (đi xuống) trong khoảng K thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K

 Tdb-nb.2: Dựa vào bảng giá trị

Khi x lần lượt nhận các giá trị tăng lên (giảm xuống) thuộc khoảng K mà giá trị tương ứng của hàm số y tăng (giảm) thì hàm số đã cho đồng biến (nghịch biến) trong khoảng K

 Tdb-nb.3: Dựa vào biểu thức giải tích

- x x1, 2 K x, 1 x2 ta có f x( )1 f x( )2 hayf x( )1 f x( )2 0 thì hàm số đồng biến

trên K

- x x1, 2 K x, 1 x2 ta có f x( )1 f x( )2 hay f x( )1 f x( )2 0 thì hàm số nghịch biến trên K

Bảng 2.3 Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến hoạt động 2 ở lớp 9

 Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 3 (Vận dụng sự tương ứng): không thấy xuất hiện

Tóm lại

So với SGK lớp 7, việc phát triển tư duy hàm trong SGK toán 9 chỉ tập trung

ở hoạt động nghiên cứu sự tương ứng, sự phụ thuộc trong nội bộ toán học Việc xác định các biến luôn được cho sẵn, vấn đề mô hình hóa thì hoàn toàn vắng mặt Vấn

đề này sẽ được chúng tôi làm rõ thông qua việc phân tích lời giải một trong các bài toán có nội dung thực tiễn được đưa vào SGK toán 9 Chúng tôi xin trích dẫn ra đây bài tập số 3 trang 30 SGK toán 9 tập 2:

“Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc v của gió, tức là F av 2(a là hằng số) Biết rằng khi vận tốc gió

bằng 2m/s thì lực tác động lên cánh buồm của một con thuyền bằng 120N (Niu-tơn) a) Tính hằng số a

b) Hỏi khi v10 /m s thì lực F bằng bao nhiêu? Cùng câu hỏi này khi v20 /m s c) Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12000N Hỏi con thuyền có thể đi trong gió bão với vận tốc gió 90 km h hay không?” /

Với câu a) chỉ cần thay giá trị của F và v đã cho ban đầu vào công thức 2

F av Suy ra a

Và với a vừa tìm được ta có công thức F30v2 Để giải quyết câu b) học sinh chỉ việc lần lượt thế v10&v20 vào công thức để tìm F

Qua câu c) học sinh chỉ cần nhận xét gió bão có vận tốc 90 /km h25 /m ssau

đó tính ra lực F rồi so sánh với kết quả với áp lực của cánh buồm để kết luận

Phân tích trên cho thấy công việc của học sinh chỉ là làm việc với biểu thức toán học Các biến số (lực và vận tốc của gió) cũng như mối liên hệ giữa chúng (tỉ

lệ thuận) đã được nêu tường minh trong bài toán Các bài tập có nội dung thực tiễn được đưa vào SGK toán 9 đều được viết dưới dạng tương tự, công việc của học sinh chỉ là giải toán Không có bài tập nào yêu cầu thực hiện bước 1 và bước 2_ bước chuyển từ hệ thống hay tình huống ngoài toán học vào trong mô hình toán học, điều này cho thấy vấn đề mô hình hóa toán học đã không được tính đến Cụ thể, chúng tôi không thấy một bài toán nào yêu cầu học sinh phải tự xác định các biến trong tình huống và xác định mối liên hệ giữa chúng Chúng tôi sẽ tiếp tục phân tích và làm rõ vấn đề này trong chương trình đại số lớp 10- nơi mà khái niệm hàm số được định nghĩa một cách chặt chẽ và đầy đủ

2.2.3 Lớp 10

Định nghĩa hàm số đã được giới thiệu một cách tổng quát ở lớp 7 và hình thành bằng con đường quy nạp Và nó được mô tả thông qua tương quan phụ thuộc giữa hai đại lượng biến thiên Ở lớp 10, khái niệm hàm số được định nghĩa ngay mà không xuất phát từ các ví dụ Cụ thể:

“Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng

của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x

Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.” (SGK, Đại số 10 Cơ Bản)

Hay

“Cho một tập hợp khác rỗng

Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f(x); số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x

Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm

số f.” (SGK, Đại số 10 Nâng cao, trang 35)

Như vậy ở chương trình lớp 10, SGK đã củng cố và bổ sung đầy đủ định nghĩa khái niệm hàm số Khái niệm hàm số được định nghĩa dựa trên lý thuyết tập hợp và định nghĩa này làm nổi bật đặc trưng tương ứng của hàm số

Sau khi định nghĩa, SGK Đại số 10 còn trình bày thêm:

“Để chỉ rõ kí hiệu biến số, hàm số f còn được viết là y = f(x), hay đầy đủ hơn

Như đã đề cập ở chương 1, việc xác định biến số là hết sức quan trọng trong quá trình mô hình hóa vấn đề thực tiễn Chúng tôi tự hỏi rằng khi gặp một bài toán thực tế cần giải quyết thông qua mô hình hóa hàm số thì liệu học sinh có xác định được đâu là biến độc lập đâu là biến phụ thuộc hay không? Học sinh có thiết lập được mối liên hệ hàm giữa chúng và khai thác mối liên hệ đó để giải quyết bài toán hay không?

Trong quyển sách Đại Số 10 Cơ bản, chúng tôi nhận thấy có các kiểu nhiệm

vụ gắn với các hoạt động tư duy hàm như sau:

 Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 1 (Phát hiện và thiết lập sự tương ứng ): Chúng tôi nhận thấy không có có bài tập nào liên quan đến việc xác định các biến

và thiết lập sự tương ứng, sự phụ thuộc giữa hai đại lượng biến

 Kiểu nhiệm vụ gắn liền với hoạt động 2 (Nghiên cứu sự tương ứng):

1) Ttinh : Tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước thuộc tập xác định

Về kĩ thuật tính thì vẫn giống như ở lớp 9 nhưng các hàm số ở lớp 10 đa dang hơn Ngoài các hàm bậc nhất, bậc hai còn xuất hiện thêm hàm trị tuyệt đối, hàm phân nhánh… Do đó, đòi hỏi học sinh phải biết xác định giá trị đầu vào để tính giá trị đầu ra thích hợp Tuy nhiên 2 biến này được cho sẵn trong một công thức, học sinh chỉ việc kiểm tra biến x nằm trong miền xác định nào sau đó thay vào công thức để tính giá trị y

2) Tgiaitich : Xác định biểu thức giải tích của hàm số

Kiểu nhiệm vụ Tgiaitich cũng tương tự như ở lớp 9 với yêu cầu là xác định

hệ số a, b đối với hàm bậc nhất và hệ số a, b, c đối với hàm bậc hai khi cho biết trước một số yếu tố liên quan như: qua 2 điểm, qua 3 điểm, qua 1 điểm và có trục đối xứng…Trong đó hai hàm số được cho sẵn bởi công thức học sinh không cần phải xác định các biến Trong 36 bài tập liên quan đến kiểu nhiệm vụ này, không có bài toán thực tế nào, chỉ có các bài thuần toán học

3) Tve : Vẽ đồ thị hàm số

Kĩ thuật vẽ đồ thị hàm số bậc nhất ở lớp 10 giống như lớp 9 Tuy nhiên việc

vẽ đồ thị hàm số bậc hai và hàm phân nhánh thì phức tạp hơn

4) Tdb-nb : Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Giống như ở lớp 9 kĩ thuật sử dụng đồ thị vẫn còn được sử dụng xét sự đồng biến, nghịch biến Tuy nhiên, kĩ thuật sử dụng tỉ số biến thiên được sử dụng nhiều hơn và đối với mỗi hàm (bậc nhất, bậc hai) thì việc xét sự đồng biến, nghịch biến được cho sẵn công thức

5) Tchan-le: Xét tính chẵn - lẻ của hàm số.

 Tchan-le.1: Dựa vào đồ thị (C) nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng: hàm số là

hàm số lẻ

- (C) nhận trục Oy là trục đối xứng: hàm số là hàm số chẵn

- (C) không có hai tính chất trên: hàm số không chẵn không lẻ

 Tchan-le.2: Dựa vào biểu thức giải tích

Tồn tại a, b mà f a( ) f a( )và f b( ) f b( ): hàm số không chẵn không lẻ

Bảng 2.2 Bảng thống kê số lƣợng bài tập liên quan đến hoạt động 2 ở lớp 10