mot so bai toan hay

một số bài toán đại số và số học

Bài1: Cho các số x, y thỏa mãn:

(x + x 2 2009)(y + y 2 2009) = 2009 (1)

Tính giá trị của biểu thức A = 2009 2009

x y

Lời giải:

+ Ta có: (1)  2009(y + 2

2009

y  ) = 2009( x 2 2009 - x)  (y + 2

2009

y  ) = ( x 2 2009 - x) (2) + Tơng tự ta cũng có:

(x + x 2 2009) = ( y 2 2009 - y) (3)

Từ (2) và (3) ta có: x + y = 0  x = - y

Vậy: A = 2009 2009

x y = 0

Bài2: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:

x2  2y2 + 2xy - 5x- 5y = - 6 (1) để x + y là số nguyên?

Lời giải: (cách1)

(1)  (x + y - 5

2)

2 + y2 - 1

4 = 0 Do

2

y  0 nên: (x + y - 5

2)

2 - 1

4  0  - 1

2  (x + y -

5

2) 

1

2  2  x + y 3

Vậy ta tìm đợc các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 0) và (3;0)

Cách2: Đặt x + y = T  y = T – x thế vào (1) ta đợc phơng trình bậc hai

đối với ẩn x: x2 - 2Tx +2T2- 5T + 6 = 0 (2) Giá trị của T nếu có là điều kiện

có nghiệm của phơng trình (2)  ,

 = - T2+ 5T - 6  0 2  T  3 2 x + y  3

Vậy ta tìm đợc các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 0) và (3;0)

Bài3: Cho các số nguyên dơng khác nhau: a1; a2; ; a900 Chứng minh rằng phơng trình :

a  a   a  vô nghiệm

Lời giải: Ta chứng minh đẳng thức: 1

2( n n 1)

n    với n 1 Thật vậy:

Ta có: 1

n =

2

2 n <

2 1

n n = 2

1

n n = 2( n n 1) Vậy: 1

2( n n 1)

n    (*)

Do a1; a2; ; a900 là các số nguyên dơng khác nhau nên tacó:

a  a   a 

1 2  900 < 2(- 0+

1  1  2  2   899  899  900) = 60 Suy ra:

a  a   a < 60 Vậy phơng trình 1 2 900

a  a   a  vô nghiệm

Bài4: Tìm GTNN của biểu thức

2 2 2008

x

x

x  

(x  0)

Ta có thể giải câu này bằng nhiều cách nh sau:

Cách1:

Do x  0 nên ta có:

C = 1 -

x

2

+ 20082

x Đặt x

1 = t, khi đó: Ta đa về đa thức bậc hai nh sau:

C = 2008t2 – 2t + 1 = 2008(t2 – 2t

2008

1 + 2008

1 ) C= 2008(t2 – 2t

2008

1

2008

1

- 2

2008

1

+ 2008

1 )

C = 2008(t -

2008

1 )2 + 2008

2007



2008 2007

Suy ra: GTNN (C) =

2008

2007

 t =

2008

1

 x = 2008

Cách2: Ta có thể giải cách khác nh sau:

Do x  0 nên C = 2

2 2 2008

x

x

x  

 (C - 1) x2 + 2x – 2008 = 0 (2) + Nếu C = 1 suy ra x = 1004 (*)

+ Nếu C 1 thì giá trị của C nếu có chính là điều kiện có nghiệm của phơng trình (2)

  , = 1 + 2008(C - 1)  0  C 

2008

2007 suy ra GTNN(C) =

2008

2007

  ,

= 0  x = 2008.(**)

Từ (*) và (**) ta tìm đợc GTNN(C) =

2008 2007

Cách3:Với mọi a  R Ta có: C – a = 2 2 2 2008

x

x

x   - a =

2

2 2 2008

)

1

(

x

x

x

a  

Xét f(x) = (1- a)x2 -2x + 2008 Gọi ,

 = 2008a – 2007

Do (3) đúng với mọi giá trị của R nên (3) đúng với giá trị của a làm cho

,

 = 0  a =

2008

2007 Với a =

2008

2007 thì: C -

2008

2007

2

2008

) 2008 (

x

x 

 0 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = 2008  C =

2008

2007 Vậy GTNN(C) =

2008 2007

Cách4:

2 2

2008

2008 2008

2 2008

x

x

2 2

2

2008

2007 2008

2008 2

x

x x

2

2 2

2008

2007 )

2008

(

x

x

2

2008

) 2008 (

x

x  +

2008

2007



2008

2007 (Do x 0) Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi: x = 2008 Vậy GTNN(C) =

2008 2007

Cßn n÷a