MỘT SỐ BÀI TOÁN HAY VỀ PTLOGARIT

Bài 5: Giải và biện luận phơng trình: a... Giải bất phơng trình.. Giải và biện luận bất phơng trình... Bài 5: Giải và biện luận phơng trình: a... Giải bất phơng trình.. Giải và biện luận

Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

a x 2 x 8 1 3x

2   4

b x2 6x 5

2

c x x 1 x 2 x x 1 x 2

2 2  2  3  3  3 

d x x 1 x 2

2 3  5  12

e 2 x2 1

(x  x 1)  1

( x x )  1

g 2 4 x2

(x  2x2)  1

Bµi 2:Gi¶i ph¬ng tr×nh:

a 4x 8 2x 5

3   4.3  270

b 2x 6 x 7

2  2   170

(2 3) (2 3)  40

2.16  15.4  80

(3 5) 16(3 5) 2 

(74 3)  3(2 3)  2 0

3.16 2.8 5.36

h. 1x 1x 1x

i. 2 3x 3



j x x 1 x 2 x x 1 x 2

5 5  5  3 3  3 

k x 3

(x 1)  1

Bµi 3:Gi¶i ph¬ng tr×nh:

a x x x

3 4 5

b x

3  x 40

x  (3 2 )x 2(1 2 ) 0

d 2x 1 2x 2x 1 x x 1 x 2

Bµi 4:Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh:

a.

x y

3x 2y 3



 









b.

2

x y

(x y) 1



 









b.







d.





e

2

2











với m, n > 1.

Bài 5: Giải và biện luận phơng trình:

a (m 2).2x m.2x m0. b m.3x m.3x 8

Bài 6: Tìm m để phơng trình có nghiệm:

(m 4).9  2(m 2).3 m 1 0

Bài 7: Giải các bất phơng trình sau:

a x x 26

2x 1 3x 1

c x2 x

e 2 x 1x 1





Bài 8: Giải các bất phơng trình sau:

a x x

c.

Bài 9: Giải bất phơng trình sau:

x

0



 





Bài 10: Cho bất phơng trình: 4x 1  m.(2x 1)0

a Giải bất phơng trình khi m=16

9 .

b Định m để bất phơng trình thỏa x R.

Bài 11: a Giải bất phơng trình:

2



(*) b.Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của bất phơng trình:

2  

2x  m2 x 2 3m0

Bài 12: Giải các phơng trình:

a log x5 log5x6  log5x2

b log x5 log x25 log0,2 3

x

log 2x  5x4 2

x 1





e.1

Bài 13: Giải các phơng trình sau:

1

4 lg x 2lg x 

b.

log x 10 log x6 0

c. log0,04x 1  log0,2x 3 1

d.3log 16x  4 log x16 2 log x2

e.log 16x2 log2x643

f.lg(lg x)lg(lg x3 2)0

Bài 14: Giải các phơng trình sau:

a. 3 9 1 x

2

c.  x 1   x 

2

1

8



d.  x x

lg 6.5 25.20  x lg 25

2 lg 2 1 lg 5 1 lg 5 5

f.  x

xlg 4 5 x lg2lg3

g lg x lg5

5 50 x

h.x 1 lg x lg x2  2  x 13

i 2

3

log x log x

Bài 15: Giải các phơng trình:

xlg x  x 6  4 lg x2

b.log x 13   log 2x 15   2

x2 log x 1 4 x 1 log x 1   160

d log x 3 5 

Bài 15: Giải các hệ phơng trình:

a.







b.













d.







e.

x y

y x









f.

y

2

2 log x







Bài 16: Giải và biện luận các phơng trình:

lg mx  2m 3 x m 3  lg 2 x

3

log alog alog a

sin x

d

2 2 a x







Bài 17 : Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất:

3

log x 4ax log 2x 2a 1 0

b  

lg ax

2

lg x 1 

Bài 18: Tìm a để phơng trình có 4 nghiệm phân biệt.

2

2 log x log x  a 0

Bài 19: Giải bất phơng trình:

8

log x  4x3 1

b log x3  log x 33  0

3

log log x  5  0

5

log x  6x8 2 log x 4 0

3

5

2

f  x 

log log 3  9  1

g log 2.logx 2x2.log 4x2 1

h 1

3

x





i log2x3  1 log2x 1 

8

2

3

k 3 1

2

log log x0

l

log 3x4.log 5 1

m

2



2

log xlog x1

2x

p log3x x 2 3 x 1

q

2

2 3x

x 1

5

2



r x 6 2

3

x 1









s 2

log xlog x0

t x x

2 16

1 log 2.log 2





u 2

log x 4 log x92 log x 3

2

Bµi 20: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:

a 2

6

log x log x

b 2 log 2x log x 2 2 3 1

x

x



c  x   x 1 

2

log 2  1 log 2   2  2

d.

2

0



Bµi 21: Gi¶i hÖ bÊt ph¬ng tr×nh:

a

2

2

0









b

x









2 x

4 y











Bµi 22: Gi¶i vµ biÖ luËn c¸c bÊt ph¬ng tr×nh(0 a 1):

a log x 1 a 2

b

2 a a

1 log x

1

1 log x







c

1

5 log x 1 log x 

d

1

2

ễn thi tốt nghiệp và đại học: Mũ - logarit

Bài 23: Cho bất phơng trình:

log x  x 2 log x 2x3 thỏa mãn với: 9

x 4

 Giải bất phơng trình.

Bài 24: Tìm m để hệ bất phơng trình có nghiệm:

2







Bài 25: Cho bất phơng trình:

2

1 2

x  m3 x3m x m log x

a Giải bất phơng trình khi m = 2.

b Giải và biện luận bất phơng trình.

Bài 26: Giải và biện luận bất phơng trình:  x  

a

log 1 8a  2 1 x

Bài 1: Giải phơng trình: e. 2 x2 1

(x  2x2)  1

Bài 2:Giải phơng trình:

a 4x 8 2x 5

2  2   170 c.(2 3)x(2 3)x  40

e.(3 5)x 16(3 5)x 2x 3 f.(74 3)x  3(2 3)x  2 0 l ( 2  3 )x  ( 2  3 )x  4

2 3x 3



Bài 3:Giải phơng trình:

3 4 5

2. x2 (3 2 )x x 2(1 2 ) x 0

3 2 2 5 6 2 1 2 2 2 6 5 1







x

4 x

3  x 40

6 3 2 3 ( 3 10 ) 3 2 3 0











x

x

7  2x2x  2x 1  (x 1 ) 2

8 4x2 3x 2  4x2 6x 5  4 2x2 3x 7  1

9 6x  2x  5x  3x

10 3 8x  4 12x  18x  2 27x  0

x

3 8

1  2 

4 1

15 2  

13 x x



6 5

14 2 2 x  2x 1  0

15 2x  3x  5x  0

16 3x  8x  4x  7x

17 9x  15x  10x  14x







19. x 2x x3  x 22x  1

20 5 2 1 5 3 1 0









x

21 3x2 2x  3 2x 3  1  x 22

22 4x  7x  9x 2

Bài 4:Giải các hệ phơng trình:

1 a.

x y

3x 2y 3



 









2 b.

2

x y

(x y) 1



 









3 b.







4 d.





ễn thi tốt nghiệp và đại học: Mũ - logarit

5 e

2

2











với m, n > 1.

Bài 5: Giải và biện luận phơng trình: a (m 2).2xm.2x m0 b x x

m.3 m.3 8

Bài 6: Tìm m để phơng trình có nghiệm: (m 4).9x  2(m 2).3x m 1 0

Bài 7: Giải các bất phơng trình sau: a x 6

x 2

2x 1 3x 1

2

x x

(x  x 1) 1

e. 2 x 1x 1





Bài 8: Giải các bất phơng trình sau:

3   11 3

5  5 5  5 e.25.2x  10x 5x 25 f. 9x 3x 2 3x  9

Bài 9: Giải bất phơng trình sau:

x

0



 





Bài 10: Cho bất phơng trình: 4x 1  m.(2x 1)0 a Giải bất phơng trình khi m=16

9 .

b Định m để bất phơng trình thỏa x R.

Bài 11: a Giải bất phơng trình:

2



(*)

b.Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của bất phơng trình: 2  

2x  m2 x 2 3m0

Bài 12: Giải các phơng trình:

a log x5 log5x6 log x5 2 b

x

x 1





e.1

Bài 13: Giải các phơng trình sau:

1

4 lg x 2lg x  b.log x2  10 log x2 6 0 c. log0,04x 1  log0,2x 3 1

d.

x

log 16log 643 f.lg(lg x)lg(lg x3 2)0

Bài 14: Giải các phơng trình sau:

2

2

1

8



lg 6.5 25.20  x lg 25

2 lg 2 1 lg 5 1 lg 5  5

ễn thi tốt nghiệp và đại học: Mũ - logarit

xlg 4 5 x lg 2lg3

5 50 x

h. x 1 lg x lg x2  2  x 13

i log 2x log x 3

Bài 15: Giải các phơng trình:

xlg x  x 6  4 lg x2 b.log x 13  log 2x 15   2

x2 log x 1 4 x 1 log x 1   160 d log x 35 

2

5

2 6

g 6x  3 log65x 1 2x 1

Bài 15: Giải các hệ phơng trình:

a.







b. log x3 log y3 1 log 23



















e.

x y

y x









f.

y

2

2 log x







Bài 16: Giải và biện luận các phơng trình:

lg mx  2m 3 x m 3  lg 2 x

sin x

2 2 a x







Bài 17 : Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất:

3

lg ax

2

lg x 1 

2 log x log x  a 0

Bài 19: Giải bất phơng trình:

8

log x  4x3 1

b log x3  log x3  30

3

log log x  5  0

5

log x  6x8 2 log x 4 0

3

5

2

log log 3  9  1

g log 2.logx 2x2.log 4x2 1

h 1 3

x





i log2x3 1 log2x 1 

8

2

3

k

2

log log x0

l

log 3x4.log 5 1

m

2

3 2

x 4x 3

x x 5

 



 

ễn thi tốt nghiệp và đại học: Mũ - logarit

2

log xlog x1

2x

p log3x x 23 x 1

q

2

2

3x

x 1

5

2



3

x 1









s 2

log xlog x0

2 16

1 log 2.log 2





log x 4 log x9 2 log x 3

2

log x  4 log x  2 4  log x

Bài 20: Giải bất phơng trình:a log x26 log x6

3

2 log 2x log x 1 x

x



2

2

0



Bài 21: Giải hệ bất phơng trình:

a

2

2

x 4

0

x 16x 64

lg x 7 lg(x 5) 2 lg 2









x

x 1 lg 2 lg 2 1 lg 7.2 12 log x 2 2







 



2 x

4 y











Bài 22: Giải và biện luận các bất phơng trình(0 a 1):

a log x 1 a 2

2 a a

1 log x

1

1 log x





1

1

2

log x  x  2  log  x  2x  3 thỏa mãn với: 9

x 4

 Giải bất phơng trình.

Bài 24: Tìm m để hệ bất phơng trình có nghiệm:

2







1 2

c Giải bất phơng trình khi m = 2.

d Giải và biện luận bất phơng trình.

Một số phơng pháp hay giải phơng trình và bất phơng trình mũ logarit:

1 Biến đổi thành tích:

VD1: giải pt 2 2 4 2 2 2 2 4 0







x

NX: tuy rằng cùng cơ số 2 nhng không thể bđ để đặt ẩn phụ theo cơ số 2 đợc Nên ta nhóm thành phơng trình tích:

2 2 1.2 2 4 0







x

VD2: giải pt 2log9 x2  log3 x log3( 2x 1  1 )

NX: tuy rằng cùng cơ số 3 nhng không thể bđ để đặt ẩn phụ theo cơ số 3 đợc Nên ta nhóm thành phơng trình tích:

log3 x 2 log3 2x 1  1 log3 x 0

TQ: Trong trờng hợp cùng cơ số nhng không thể biến đổi và đặt ẩn phụ đợc thì ta biến đổi thành tích

II

VD1: Giải pt 9x 2 (x 2 ) 3x  2x 5  0 Đặt t = 3 x , khi đó ta có t2 2x 2t 2x 5 0 t 1 ,t 5 2x





















Bài 26: Giải và biện luận bất phơng trình:

a

log 1 8a  2 1 x

ễn thi tốt nghiệp và đại học: Mũ - logarit

NX: - ta thấy pt vừa có ẩn trên mũ vừa có ở hệ số, nên phần nhiều hs không mạnh dạn đặt ẩn phụ (mặc dù nhìn qua

pt có dạng đặt t = 3 x )

- pp này chỉ sử dụng đợc khi phơng trình có nghiệm t tơng đối đơn giản và dể tính (  là một số chính phơng)

VD2: giải pt log2 ( 1 )  5 log3 1 2 6 0

3 x  x x  x  Đặt t = log 3 (x+1), ta có

t2   5  2  6  0   2 ,  3  Từ đó ta có nghiệm x = 8 và x = 2.

Các tính chất:

Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (giảm) trong khoảng (a; b) thì pt f(x) = k có không quá một nghiệm trong khoảng (a; b)

Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (giảm) trong khoảng (a; b) thì với mọi u, v thuộc (a; b) ta có f(u) f v  uv

Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và hàm g là hàm hằng hoặc hàm giảm trong (a; b) thì pt f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong (a ;b).

ĐL lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên a; b và F’(x) tồn tại trên (a;b) thì luôn ca;b:      

a b

a F b F c F







áp dụng vào giải pt: nếu có F(b) – F(a) = 0 thì ca;b:F' c  0  pt F' x  0 có nghiệm thuộc (a; b)

ĐL Rôn: Nếu hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì pt f(x) = 0 sẽ không có quá 2 nghiệm thuộc D.

áp dụng: vì trong chơng trình THPT không trình bày ĐL Rôn nên để s/d ta làm nh sau:

- CM đồ thị lồi hoặc lõm trên (a;b)

- Nếu lõm thì cm lim 0,lim 0









y

y

b x a

x

Nếu lồi thì cm lim 0,lim 0









y

y

b x a

x

- KL: pt có không quá 2 nghiệm thuộc (a;b)

Lu ý: a Nếu áp dụng để giải pt thì ta phải nhẩm đợc 2 nghiệm ( thờng là dễ nhẩm ) khi đó mới hoàn thành, còn mới nhẩm đợc 1

nghiệm thì cha KL pt có nghiệm duy nhất ( vì ĐL chỉ kl pt có không quá 2 nghiệm thuộc (a;b))

b Nếu áp dụng để CM pt có 2 nghiệm thì trong trờng hợp đồ thị lõm ta phải chỉ ra đợc ít nhất một giá trị x 0 thuộc (a;b) sao cho f(x 0 ) < 0 ( còn khi lồi thì f(x 0 ) > 0 )

VD1: giải pt 2 3 log 2 3



x





 2 3 log 2 3

ta có VT là hàm đb còn VP là hàm nb suy ra pt có nghiệm duy nhất x=1 VD2: giải pt 6x  2x  5x 3x PT tơng đơng 6x  5x  3x  2x, giả sử pt có nghiệm là  khi đó: 6   5   3   2 

xét hàm số f  t t 1 t , với t > 0 Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo đl lagrange tồn tại c2 ; 5 sao cho:

'















c

NX: pt có 4 cơ số khác nhau nhng không bđ về cùng cơ số để đặt ẩn phụ, nên ta s/d pp trên ( ta có thể bđ pt thành 6x  3x  5x  2x) VD3: giải pt  2x2x 2x 1  (x 1 ) 2 Viết lại pt dới dạng x 1 x  x2 xx2  x

2 1



2 là hàm đồng biến trên R ( s/d đạo hàm ) Vậy pt viết lại dới dạng fx 1fx2  x x 1 x2  x x 1

NX: - pt vừa có ẩn trên mũ vừa có ở hệ số nhng không s/d đợc pp Đặt ẩn phụ nh ng hệ số vẩn còn chứa ẩn nên ta

dùng pp trên ( s/d tc 2).

- Để s/d pp này ta bđ pt về dạng f(u) f v uv ( chú ý phải xét f là hàm đb hoặc nb )

VD4: Giải pt 3x  2x  3x 2 Dễ d ng ta nhẫm đ àng ta nhẫm đ ợc 2 nghiệm : 0 và 1 Ta CM không có nghiệm nào khác

xét hàm số f x  3x  2x  3x 2  f '' x  3xln 2 3  2xln 2 2  0  hs lõm, suy ra pt có không quá 2 nghiệm

VD5: CMR hệ



















1 2007

1 2007

2 2

x x e

y y e

y

x

có đúng 2 nghiệm thoã mãn đk x> 0, y > 0.

HD: s/d tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số   2007

1







x

x e

x

Nếu x < -1 thì   1 2007 0





e

x

Nếu x > 1 s/d đl Rôn và chỉ ra với x 0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra đpcm

VD6: Cho ab 0 CM

a b b b a a































2

1 2 2

1

ễn thi tốt nghiệp và đại học: Mũ - logarit

HD: BĐT

b a

a

b a

a

b

b a

a































































1 2 ln 2

1 2 ln 2

1 2 ln 2

1 2

x x

x















1 2 ln

với x > 0

Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến do đó với ab 0 ta có f(a) f b ( đpcm)

IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài về logarit) ta th ờng phải đặt ẩn phụ đ a về pt – hệ pt - bpt mũ rồi s/d các pp trên .

1.Dạng 1: khác cơ số:

VD1: Giải pt log7 x log3( x 2 ) Đặt t = log7x x 7tkhi đó pt trở thành:

t t

t t t



































3

1 2 3

7 1 2 7 3 ) 2 7 ( log3

2 Dạng 2 : Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp

VD1: giải pt log ( 2 2 ) 2 log  2 2 3

5

2 6

Đặt t = x 2 – 2x – 3 ta có pt log6t 1 log5t

VD2: giải pt x x x

6

log

2 3 log

2

3 3 2 3



















t t t t t

3 Dạng 3: a bx c x



 log ( đk: b = a + c ) VD1: giải pt x  x



3 log7

4 Đặt t log7x 3 7t x 3 , pt trở thành 1

7

1 3 7

4 3 7































t t

t t

VD2: Giải pt 2log3 5 4





 x

x Đặt t = x+4 suy ra pt tơng đơng t  t



1 log3

2

VD3: Giải pt 4 log3 1  12 log3 1  0







4 Dạng 4: s  c sdxe x 

b ax

log , với d ac  ,ebc 

Pp: đặt ayb logs(dxe) rồi chuyển thành hệ 2 pt, lấy pt1 trừ pt2 ta đợc s ax b acx s ay b acy





 t s act

f at b



 

VD: Giải pt 7 1 6 log7( 6 5 ) 1







x

Đặt y 1  log76x 5 Khi đó pt đợc chuyển thành hệ

 

y x

y

y x x

6 7 6 7 5 6 7 5 6 7 5 6

log

1

1 1

6

1 1 7

1











































Xét hàm số f t 7t 1 6t



  suy ra x=y, khi đó ta có 7x 1  6x 5  0 Xét hàm số





x

g x áp dụng PP định lí Rôn và nhẩm nghiệm ta tìm đợc 2 nghiệm của pt: x = 1, x = 2.

5 Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển về thành hệ

VD: Giải PT:

2 2 2

18 2

2

2 1 2

8

1 1 1











x x

HD: Viết PT dới dạng

2 2 2

18 2

2

1 1 2

8

1 1 1

1



















Nhận xét u.v = u + v Từ đó ta có hệ:















v u v u

v u v u

.

18 1

8