Một số bài toán hay ôn tập cho đội tuyển Toán

Một số bài toán hay ôn tập cho đội tuyển Toán.Bài 1.. Cho n là số nguyên dương.

Một số bài toán hay ôn tập cho đội tuyển Toán.

Bài 1 Cho các tam thức bậc hai f, g, h Hỏi đa thức f(g(h(x))) có thể nhận tất cả

các giá trị 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 làm nghiệm hay không?

Bài 2 Hãy tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực, thỏa mãn hệ thức

( ) ( )2 ( ( ) )2 ( )

P x +P x = P x +P −x

với mọi x ∈ R

Bài 3 Chứng minh rằng nếu đa thức

n

P x =a x +a x − +a x − + +a

có n nghiệm thực đơn thì

2

1

−

Bài 4 Hãy tìm tất cả các nghiệm nguyên dương (x, y) của phương trình

3

1 + = +

Bài 5 Có tồn tại hay không các số hữu tỉ x, y, z thỏa mãn hệ thức

x +y + +z x y z+ + + =

Bài 6 Chứng minh rằng tồn tại 8 số tự nhiên liên tiếp sao cho không có số nào

trong 8 số đó có thể biểu diễn được dưới dạng 7x2 + 9xy− 5y2 , trong đó x và y là

các số nguyên

Bài 7 Cho n là số nguyên dương Hỏi có tất cả bao nhiêu dãy số (a1, a2, …, a2n)

mà ai = + 1 với mọi i= 1, 2n và

2

2 1

2

l i

i k

a

= −

≤

∑

với mọi i k l n≤ ≤ ≤

Bài 8: Tim tất cả các bộ số nguyên dương (x,y,z) thoả mãn đồng thời các điều

kiện sau:

i) y là số nguyên tố;

ii) z không chia hết cho y và 3;

iii) x3 −y3 =z2