ÔN tập bất ĐẲNG THỨC

ÔN TẬP BĐT VÀ BPT CUỐI NĂM I.. Cho các số thực dương x, y.. Đẳng thức xảy ra khi nào?... Chứng minh rằng mọi tam giác với ba góc nhọn, tổng của một cạnh với đường cao tương ứng thì lớn

ÔN TẬP BĐT VÀ BPT CUỐI NĂM

I DẠNG: 1/ DÙNG ĐỊNH NGHĨA A B  A B 0

2/ DÙNG BĐT x2y22xy

3/ DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC x y z  2 x2y2z22xy2yz2xz0

1.Cho 3 số x, y, z bất kỳ Chứng minh rằng :

a) x2y2z2 xy yz zx  ; b) (x y z  )2 3(xy yz zx  ) ;

c)(xy yz zx  )2 3xyz x y z(   ); d)

2

2 2 2

x y z  x y z  

* Áp dụng: Cho x + y + z = 1 CMR: 2 2 2 1

3

x y z 

2 Cho 2 số x, y bất kỳ Chứng minh rằng:

a) 2 2  2

2

x y

x y   ; b) 3 3  3

4

x y

x y   ( với x + y > 0 ); c) 4 4  4

8

x y

x y   ;

*Áp dụng : Cho x + y = 1 Chứng minh rằng:

i/ 2 2 1

2

x y  ; ii/ 3 3 1

4

x y  ; iii/ 4 4 1

8

x y  ; iv/  4 4 1

xy

   ( với x > 0, y > 0 )

3 Cho ab 1, chứng minh rằng : 1 2 1 2 2

1a 1b 1ab

4 Chứng minh rằng: Nếu a > 0, b > 0 thì a b a b

b  a  

* Áp dụng: CMR : 2017 2018 2017 2018

2018 2017  

5 a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau: x2y2z2t2 x y z t   

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

b) Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau:

2 2

2 2 4 3

     

6 Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có:

a) x2y2 1 xy x y  ; b) x4y4 xy3x y3

7 Chứng minh rằng: x1 x 3 x 4 x 610 1 với mọi x

8.Cho xyz =1 và x y z 1 1 1

x y z

     Chứng minh rằng: x1 y1 z10 9.Với mọi x, y, z, chứng minh rằng: x21y2y21z2z21x2 6xyz

10 Cho các số thực dương x, y Chứng minh bất đẳng thức sau:

1

1x  1y  xy

* Áp dụng: Cho a, b, c, d > 0 và abcd = 1 Chứng minh rằng:

1

1a  1b  1c  1d  11.Cho a, b, c là ba số dương , chứng minh rằng: 3

2

b c c a a b      ( BĐT Nesbit )

12 Cho các số a b c  , ,  2;5 thoả mãn điều kiện a + 2b + 3c 2

Chứng minh rằng a + 2b + 3c2 2 2 66 Đẳng thức xảy ra khi nào?

II BĐT CAUCHY ( CÔ SI )

Tổng quát: Cho n số a a1, , ,2 a không âm, ta có BĐT: n 1 2

1 2

n

a a a n

  

 Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a1a2   a n

13.a)Chứng minh BĐT Cô si cho hai số x, y không âm

b) Từ đó suy ra BĐT Cô si cho 4 số, 3 số không âm

14 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

a) a b 2

b a  ; b) a b c 1 1 1 9

a b c

     

c) a b c 3

b c a   ; d)  

1

3

a

b a b

 ( Với a > b > 0 )

15 Cho a, b, c > 0 và a + b + c =1 Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 64

     

     

     

16 Cho 5 số dương a a a a a có tổng bằng 1 Chứng minh rằng :1, , , ,2 3 4 5

        

17 Cho a1,b1, chứng minh rằng: a b1b a1ab

18 a) Cho , ,a b c  chứng minh rằng: 0 a b b c c a        8abc

b) Cho ba số x, y, z không âm sao cho x + y + z = a

Chứng minh: a x a y a z       8xyz

19 Giả sử ai 0,i1,n và a a a  , chứng minh rằng: 1 .2 n 1 1 1 1 2  1  2n

n

20 Cho a, b, c là 3 số không âm, chứng minh rằng: 1a 1b 1c  1 3 abc3

21 Cho a, b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a.b = 1, chứng minh rằng:

2 2

2 2

a b

a b







22 Cho a, b, c 0, chứng minh rằng: 4 4 4  

a b c abc a b c 

23 Cho x, y là các số thực thoả mãn x + y = 2 Chứng minh rằng:

a)  2 2

xy x y  ; b) 2 2  2 2

x y x y  ; c) 3 3  3 3

x y x y 

24 Cho các số dương x, y thoả mãn 2 2

1 1

2

x  y  Chứng minh rằng: x y 2

25 Cho biểu thức

 

4 2 2

1 1

x M

x





 với x > 0, chứng minh: 1

2

M 

26 Cho x, y là các số không âm thoả mãn 2 2

2

x y  Chứng minh: x 3x x 2y y 3y y 2x 6

27 a) Cho c > 0 và ,a b c Chứng minh rằng c a c    c b c    ab

b) Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh răng ab cd  a d b c    

28 Cho các số dương x, y, z thỏa x3y3x3 1 Chứng minh:

x  y  z 

III BĐT BUNHIACOPXKI

Tổng quát: Cho 2n số a a1, , , ; , , ,2 a b b n 1 2 b ta luôn có: n

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

a b a b  a b  a a  a b b  b

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 1 2

1 2

n n

a

a a

b b  b

29 Cho bốn số thực a, b, x, y, chứng minh: ax+by2a2b2 x2 y2

Dấu bằng xảy ra khi nào?

30 Cho 2 2 2

1

a b c  , chứng minh rằng: a2b3c  14

31 Cho , ,a b c  có 0 a b c  1, chứng minh rằng: a b  b c  c a  6

32 Cho x2y2 u2v2 1, chứng minh u x y  v x y    2

33 Cho 3 số x, y, z thỏa  1  1  1 4

3

x x y y z z  Chứng minh: x y z  4

34 Giả sử a, b, c là 3 số thỏa mãn các điều kiện : 3; 3; 3; 3

a b c a b c   Chứng minh: 4a 3 4b 3 4c 3 3 7

35 a) Cho x, y là một cặp nghiệm của phương trình: 3x + 5y = 7

Chứng minh: 2 2 49

34

x y  b) Cho x, y là một cặp nghiệm của phương trình: 3x - 4y = 7

Chứng minh: 3x2 4y2 7

36 Cho a a1, , ,2 a bất kì, chứng minh rằng: n

 2  2 2 2

1 2 n 1 2 n

a a  a n a a  a

37 Cho a > b > c > 0, chứng minh: c a c(  ) c b c(  ) ab

38 Cho   1 a 1, chứng minh: 2

3a4 1 a 5

39 Cho 2 số a, b thỏa a12b 22 5, chứng minh: a2b10

40 Cho ,a b1;a b 6, chứng minh: a 1 b 1 4

41 Cho x, y > 0 và x + y = 1, chứng minh:

2 2

2

    

IV BĐT VỀ BA CẠNH CỦA TAM GIÁC

Tổng quát: a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta luôn có: b c a b c 

42 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:

ab bc ca a   2b2c22ab bc ca  

43 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:

a b c a2   b c a b2   c a b c2    3abc

44 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:

a b c  2b c a  2c a b  2 a3b3c3

45 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, với a b c  thì:

a b c  2 9bc

46 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:

3 3 3

3

a b c  abc

47 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:

3 3 3

a b c

ab bc ca

b  c  a   

48 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:

a b c a c b 1

b c a c b a     

49 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:

bc ac ab a b c

a  b  c   

50 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:

a b b c c a ca2  2  2  2bc2ab2 a3 b3 c3 0

51 Chứng minh rằng mọi tam giác với ba góc nhọn, tổng của một cạnh với đường cao tương ứng thì

lớn hơn nửa chu vi của tam giác đó

52 Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1 và độ dài ba cạnh là a, b, c a b c   Chứng minh: b  2

53 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi thì:

p  p a  p b  p c  3p

54 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, với c > b > a thì:

a b3 2 c2b c3 2 a2c a3 2 b20

55.a)Cho x > 0, y > 0 Chứng minh: 1 1 4

x y x y Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

b) Chứng minh 1 1 1 2 1 1 1

p a p b p c a b c

    , với p là nửa chu vi của tam giác ABC, a, b, c là ba

độ dài Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC là tam giác gì?