BẤT ĐẲNG THỨC HAI SỐ PHẦN THỨ NHẤT – ĐỀ BÀIBài 1.. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P... Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S= +x y... Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
Trang 1BẤT ĐẲNG THỨC HAI SỐ PHẦN THỨ NHẤT – ĐỀ BÀI
Bài 1 Với mọi a b,
Bài 7 Cho biểu thức P =a4+ -b4 ab Với a b, thỏa mãn a2+b2+ab=3.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P .
Bài 8 Cho x y, ³ 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y (x )(y )
Bài 11 Cho a+ b=3 Tìm giá trị nhỏ nhất của P =(a- 1) (2+ -b 1)2
82
2+ £ Tìm giá trị nhỏ nhất của
x y K
Trang 2Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P =x2+y2.
Bài 31 Cho x y,
là các số thực thỏa mãn x2+2y2+2xy=24 5- x- 5y.Tìm giá trị lớn nhất của P =x2+y2- x y- +2xy- 2
Trang 3Bài 39 Cho x y, Î ¡
thỏa mãn (x2+y2)3+4x2+y2+6x+ =1 0
.Tìm giá trị lớn nhất của x2+y2
Bài 40 Cho x y, Î ¡
thỏa mãn x2+xy y- 2=3.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A=x2- xy+y2
Bài 41 Cho x y,
là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện x+ =y 2020.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =x x( 2+y) +y y( 2+x)
Bài 42 Cho x y, Î ¡
thỏa mãn x2+y2=1.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của M =y2+ 3xy.
Bài 43 Cho x y, Î ¡
thỏa mãn x2+y2- xy=4.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A=x2+y2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S= +x y.
Bài 48 Chứng minh rằng với mọi a b,
ta có: a2 b2 ab 2020(a b)2
22021
=
Trang 4Bài 52 Cho a b, > 0
thỏa mãn a+ + 1 b+ = 1 4.Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a2+ab b+ 2.
Bài 55 Cho các số không âm x y,
Bài 56 Cho hai số dương x y,
thay đổi thỏa mãn x- y 1³ .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 57 Cho hai số thực không âm thỏa mãn 2ab+ £1 2a.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2a+2b ab+ =12.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =a2+b2.
Bài 59 Cho các số thực không âm a b,
thỏa mãn a b 1
2
+ =
.Tìm giá trị lớn nhất của P =a3+ -b3 a4- b4.
Trang 52 2
(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2020 - 2021)
(ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Quảng Ninh, năm học 2020 - 2021)
Bài 74 Cho x y, >0 thỏa mãn x y
Trang 6(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Cao Bằng, năm học 2020 - 2021)
(ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Điện Biên, năm học 2020 - 2021)
PHẦN THỨ HAI – HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 Với mọi a b,
x y
2+ 2
=
Trang 7Bài 7 Cho biểu thức P =a4+ -b4 ab Với a b, thỏa mãn a2+b2+ab=3.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P .
Trang 8Hướng dẫn giải Phân tích dự đoán điểm rơi: x= =y 1.
Theo bất đẳng thức Cô si, ta có: x2+ ³1 2xÞ x2³ 2(x+ -1) 3
Hướng dẫn giải Phân tích dự đoán điểm rơi là a= 0
Bất đẳng thức cần chứng minh tương tự với:
Trang 10Bài 13 Cho x y, >0 thỏa mãn
x y
82
2+ £ Tìm giá trị nhỏ nhất của
x y K
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
Trang 11y x
7
43
3.4
+ TH2 x£ 3.
Từ giả thiết x> Þy y 3< thì M <32+32=18 25< .
Vậy
x M
ïî
Bài 18 Cho x y,
thỏa mãn x2+y2- xy=4.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P =x2+y2
min
2 4
3
ìïï = ± ï
Trang 12Viết lại biểu thức
Vậy
1max
Trang 13Vậy maxP =3 khi và chỉ khi a=2,b=1.
Trang 14+ với 0< £x 1 Ta có f(1)=2021.
Trang 151 01
99
é =ê
Bài 31 Cho x y,
là các số thực thỏa mãn x2+2y2+2xy=24 5- x- 5y.Tìm giá trị lớn nhất của P =x2+y2- x y- +2xy- 2
Hướng dẫn giải Ta có P =(x+y) (2- x+y)- 2
Từ giả thiết ta có (x+y)2+y2 + 5(x+y) = 24
Đặt a= +x y; từ y2 ³ 0 Þ a2 + + 0 5a£ 24
Trang 17Hướng dẫn giải Từ giả thiết
Trang 18Hướng dẫn giải Đặt M =x2+y2 Từ giả thiết, ta có 2=(x2+y2) (3+ x2+y2) (+3 x2+2x+1)
Trang 19-A A A
33
33
ìï = ïï
là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện x+ =y 2020.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =x x( 2+y) +y y( 2+x)
Hướng dẫn giải Với A B" , Î ¡ Ta có: (A B)2 0 AB 1(A2 B2)
2
Trang 20
Áp dụng với a>0, ta có: xy x ( )a y x ay
a a
3212
-ïï =ïïíï
b b
ïï
Û íï
=ïïî
x y
1232
x y
1232
ìïï =ïïïíï
ï =
Bài 43 Cho x y, Î ¡
thỏa mãn x2+y2- xy=4.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A=x2+y2
Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có x2+y2= +4 xyÛ 2(x2+y2) = +8 2xy
Trang 21Tìm giá trị nhỏ nhất của A =x2+y2.
Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi là x y 3= = .
Ta có x2+32³ 6 ;x y2+32³ 6 ;3y (x2+y2) ³ 6xy
.Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta có: 4A+18 6³ (x y xy+ + ) =6.15=90
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S= +x y.
Hướng dẫn giải Từ giả thiết: x2+y2=xy+ +x yÞ (x+y)2- 3xy= +x y
Trang 23Hướng dẫn giải Biến đổi giả thiết ta có:
(x+ x2+9)(y+ y2+9) = Û9 ( x2+ +9 x)( x2+ -9 x)( y2+ +9 y) (=9 x2+ -9 x) (x2 9 x2) ( y2 9 y) 9 x2 9 9x y2 9 y x2 9 x (1)
Bài 55 Cho các số không âm x y,
Trang 242 2
ìï = ïï
= Û = Û íï =
ïïî hoặc
x y
2 0
ìï = ïï
íï = ïïî .Xét hiệu ( ) ( ) (t ) (t t) (t )
Bài 56 Cho hai số dương x y,
thay đổi thỏa mãn x- y 1³ .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
y y
2
1
1 11
Bài 57 Cho hai số thực không âm thỏa mãn 2ab+ £1 2a.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trang 25Do đó
b
t a
++
ìï = ïïï
= Û = Û í
ï ³ ïïïî
Bài 58 Cho a b,
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2a+2b ab+ =12.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =a2+b2.
Hướng dẫn giải Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:
a2+ ³4 2 a2.4=4 ;a b2+ ³4 4 ;b a2+b2³ 2ab
.Suy ra 2(a2+b2) + ³8 2 2( a+2b ab+ ) =24Þ P =a2+b2³ 8
.Vậy minP = Û8 a= =b 2
Bài 59 Cho các số thực không âm a b,
thỏa mãn a b 1
2
+ =
.Tìm giá trị lớn nhất của P =a3+ -b3 a4- b4.
Trang 28P =P t( ) = 2t2 - 4t+ 7 với tÎ ê úé ùë û0;4 .
P =P t( )=2t- 1 + =5 2t- 12+5
.Xét các điểm đặc biệt trên é ùê ú0;4
Vệc xét P t( )- P a( ) để làm xuất hiện nhân tử t- a, tức là dùng
phương pháp biến đổi tương đương để tìm min,max
Trang 29thay vào ta được b.12 9 3 b 3
6 =12= Þ4 = 8 Ta có a b a
51
* Nhận xét: Việc tách như trên để dấu bằng xảy ra ở tất cả các vị trí, khi đó mới có min thực sự
Hướng dẫn giải Từ giả thiết xy=12 nên
(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, năm học 2019 - 2020)
Phân tích và định hướng giải:
Trang 30Biểu thức đối xứng với x y,
ï > > ³ ïïî
(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, năm học 2020 - 2021)
Phân tích và định hướng giải:
Từ đề bài ta liên tưởng đến việc phân tích đa thức thành nhân tử
Trang 312 2
Trang 32+ Nếu x>5 thì P >25 với mọi y.
Dự đoán điểm rơi: x 4 ,y xy 1 x 2,y 1
Để căn sẽ kho nhìn Do Q>0, ta tìm maxQ2 hay maxP .
Từ dự đoán maxP đạt được khi x=4y Thay x=4y vào P
59
x
2 2
(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2020 - 2021)
Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho bốn số
y
x x x
2
2 2 2
2 2
Trang 33Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Quảng Ninh, năm học 2020 - 2021)
Phân tích bài toán:
4 4 4 4 1 é 2 ù 2 2 2 4 4 1
Trang 34(ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Khánh Hòa, năm học 2020 - 2021)
Phân tích bài toán Bất đẳng thức có dạng
Trang 35Muốn vận dụng giả thiết a b 3+ £ thì 1+ = -x y 1 0> .
Ta có hệ điều kiện dấu bằng xảy ra
a xa
a a
Trang 36(ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Điện Biên, năm học 2020 - 2021)
Phân tích bài toán:
Biến đổi tìm điểm rơi