ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG LÀM TOÁN ĐẠT 9-10 ĐIỂM ĐẠI HOC

WWW.NGUOITHAY.COM

ễN BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ Bài 1

Chứng tỏ rằng với a b, 0 thì:

(ax by bx )( ay)(a b xy )2 (1)

Giải

2 2

2

Bất đẳng thức luôn đúng vì a b, 0

Bài 2

Cho 0    a b c Chứng minh rằng:

a b c b c a

b     c a a b c

Giải

a b c b c a

b     c a a b c 1 2 2 2 2 2 2

(a c b a c b b c c a a b)

abc

1 (a c2 b c2 ) (b a2 a b2 ) (c b2 c a2 )

2

1

1

1

c a b ab b a c b a abc

b a ca cb ab c abc

b a c b c a abc

Vì 0    a b c

Vậy a b c b c a

b     c a a b c

Bài 3

WWW.NGUOITHAY.COM

Với , ,a b c0 chứng minh:

a b c

bc ca  ab  a b c

Giải

a b c

bc ca  ab  a b c

a b c bc ac ba do abc

a b c bc ac ab

2

    Hiển nhiên đúng

Vậy a b c 2(1 1 1)

bc ca ab  a  b c

WWW.NGUOITHAY.COM

Bài 4

Chøng minh r»ng mäi a,b,c,d th× :

a2  b2   c2 d2      1 a b c d (1)

Gi¶i

         

         

        

VËy : a2  b2   c2 d2      1 a b c d

Bài 5

Chøng minh r»ng nÕu: a b   2 th× 3 3 4 4

a  b  a  b (1)

Gi¶i

( 1) ( 1) 0

    

    

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 2 0

            

         

           

Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh

V×:

( 1) 0 ( 1) ( 1) 0

( 1) 0 ( 1) ( 1)

2 2 0

Bài 6

WWW.NGUOITHAY.COM

Chứng minh rằng với mọi số thực d-ơng x,y,z ta có:

xyz x y z x y z

x y z xy yz zx

      

Giải

2 3

3(

3 3

x y z x y z

x y z x y z

x y z xyz

xy yz zx xyz

    

     

   

   

Do đó ta có:

3 3

3

xyz x y z x y z xyz x y z

x y z xy yz zx x y z xyz

xyz xyz



Dấu “=” xảy ra khi x=y=z

WWW.NGUOITHAY.COM

Bài 7

Chứng minh rằng: 19942000 19952000 19962000 (1)

Giải

1994 2000 1996 2000 1 2000

Theo bất đẳng thức Becnuli ta có:

1 2000 2000 1994 2000

1995   1995   1995

Vì: 2000 1994 2000

Bài 8

Cho a b 2 Chứng minh rằng: a4 b4  2

Giải

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a,b ta có:

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a2,b2 ta có:

4 2(a b )

Bài 9

WWW.NGUOITHAY.COM

Cho a,b,c>0 Chøng minh r»ng: 1 1 1 9

a    b c a b c

 

Gi¶i

Ta cã:

V× : a b

2

b  a 

2

2

 

 

Nªn: a b c a b c

WWW.NGUOITHAY.COM

Bài 10

Cho 4 số d-ơng a,b,c,d chứng minh rằng:

a b c d

2

Giải

áp dụng bất đẳng thức phụ:

1 1 2

(x,y>0)



Ta có:

2

4

T-ơng tự:

2

4

Cộng vế theo vế ta có:

2

4

Ta chứng minh:

2

(a b c d)

  

WWW.NGUOITHAY.COM

Bài 11

Cho 3 số d-ơng a,b,c chứng minh rằng:

b  c  a  b   c a

Giải

Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

  

  

3 3

3 3

3 3

3 3

1 3 (1)

b

1 3 (2)

c

c33  c33  1 3 (3)c

a

Cộng vế theo vế (1) (2) và (3) ta có:

        

   

Vậy:

3 3 3

3 3 3

b  c  a  b  c a

Bài 12

WWW.NGUOITHAY.COM

Cho a,b,c >0 thoả mãn 1 1 1

2

1 a  1 b  1 c 

Chứng minh rằng: 1

abc

8



Giải

Ta có: 1 1 1 b c

áp dụng bất đẳng thức Côsi:





2

1 a (1 b)(1 c)

2

1 a (1 a)(1 c)



2

Nhân lại ta đ-ợc: 1 8abc

(1 a)(1 b)(1 c)  (1 a)(1 b)(1 c)

1

abc

8

WWW.NGUOITHAY.COM

Bài 13

Giả sử a,b,c d, là 4 số d-ơng thoã mãn:

1 1 1 1

3

Chứng minh rằng: 1

abcd

81



Giải

Từ giả thiết ta có:

1

1 a 1 a 1 a 1 a

1

áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

2 ab 2ab 2 cd 2cd 2 ab 2 cd

1

1 2 ab ab 1 2 cd cd 1 ab 1 cd

4

4

1

1 abcd

8

 

Bài 14

WWW.NGUOITHAY.COM

Cho a, b, c, dR và a b  2cd

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đây là đúng

c2  a, d2  b

Giải

Giả sử hai bất đẳng thức trên đều sai, có nghĩa ta đ-ợc :

c2  a và d2  b

 c2  a 0 và d2  b 0

Vì a+b =2cd

(c d) 2  0 Mâu thuẫn

Nên sẽ có ít nhất một trong hai bất đẳng thức đã cho là đúng

WWW.NGUOITHAY.COM

Bài 15

Cho 3 số d-ơng a,b,c nhỏ hơn 2 Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất

đẳng thức sau là sai:

a(2 a) 1

b(2 b) 1

c(2 c) 1

 

Giải

Giả sử các bất đẳng thức sau đều đúng, nhân ba đẳng thức lại ta đ-ợc

a(2 a)b(2 c)c(2 c) 1   

Mà 0  a(2 a) 2a a   2  1 (a 1) 2 1

T-ơng tự ta có:

0 b(2 b) 1

Suy ra:

abc(2 a)(2 b)(2 c) 1   

Mâu thuẫn

Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức đã cho là sai

Bài 16

Cho 6 số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 108 Chứng minh rằng có thể chọn đ-ợc 3 trong

6 số đó, chẳng hạn a,b,c sao cho a<bc, b<ca, c<ab

Giải

Giả sử 6 số tự nhiên khác 0 là 1 a 1  a2  a 6 108

Rõ ràng a2 2; a3  3 Với 3 số x,y,z thoã mãn 1  x y z

Ta luôn có x<yz và y<xz Nếu trong các số a1, a2 ,…, a6 không có 3 số nào thoã

mãn a<b<c và c<ab thì có a4  a a2 3  6,

5 4 3

6 5 4

Trái với giả thiết a6 <108 Vậy phải có 3 số a,b,c thoã mãn a<bc; b<ca; c<ab

WWW.NGUOITHAY.COM

Bài 17

Cho các số thực a,b,c thoã mãn điều kiện:

ab+bc+ca>0 (2) abc>0 (3)

   









Chứng minh rằng: a,b,c >0

Giải

Giả sử trong 3 số thực a,b,c đã cho có một số âm hay bằng 0, giả sử số đó là

a  0 mà không làm mất đi tính tổng quát của bài toán Ta có:

b>0 b<0

c<0 c>0



Xét khả năng a  0; b>0; c<0 a+c<0

Ta có:

2

Vì : (a2 ac c 2  0 a,b,c R)

Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Vậy 3 sô a,b,c đều là số d-ơng

Bài 18

Cho a, b, c, dR Với a  c 1 d 2 Và b  d 1 c 2

Chứng minh rằng a  b 1

Giải

Với: a  c 1 d 2 Vàb  d 1 c 2 Ta có:

Do đó ta đặt: d  cos và c  cos với , 0;

2

   

 a  c 1 d 2  cos 1 cos 2  cos sin

Và b  d 1 c 2  cos 1 cos 2  cos sin

a b cos sin cos sin

Vậy: a  b 1

WWW.NGUOITHAY.COM

Bài 19

Chứng minh rằng:

2

2

(1 x )sin a 2x cos a

1 x



Giải

cos

2 2

  Thì

2

2 2

2

sin

1 x

cos

cos 2 sin a sin 2 cos a







 sin(a 2 ) 1 

Bài 20

Chứng minh rằng nếu x 1 và n là số nguyên lớn hơn 1 thì ta có bất đẳng thức:

(1 x) n  (1 x)n 2n

Giải :

Vì: x 1nên ta đặt x  cos t với

 

(2 cos ) (2 sin )

 

Do



(1)

 đúng

Vậy bất đẳng thức đã đ-ợc chứng minh

WWW.NGUOITHAY.COM

Bài 21

Chứng minh rằng: 1 1a2 (1a)3  (1a)32 2 22a2 (1)

Giải:

Từ đk |a|  1 nên

Đặt a=cos với [0,]       ; 1a sin

2 cos 2 a 1

; 2 sin 2 a

(1)

2

cos 2 sin 2 2 2 2 2

sin 2 cos 2 2 2

cos 2 sin 2















2

cos 2 sin 1 2

sin 2

cos 2

sin 2

cos 2

sin 2

cos 2

cos

2































2

sin 2

cos 2

sin 2

cos 2

cos 2



















đúng  (đpcm)