Định lý điểm bất động kanan cho các ánh xạ co trong khoogn gian meetric suy rộng và không gian meetric nón suy rộng

Dưới một cái nhìn khác về hướng nghiên cứu điểmbất động, người ta còn thấy rằng việc tìm điểm bất động của một ánh xạ làvấn đề có nhiều ứng dụng trong giải tích nhất là lý thuyết các phư

Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học Vinh

Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học Vinh

Mã số: 60.46.01.02

Cán bộ hướng dẫn khoa họcPGS TS Trần Văn Ân

Nghệ An - 2015

Mục Lục

TrangMục lục 1Lời nói đầu 2Chương I Định lý điểm bất động Kanan cho các ánh xạ co trong không

1.1 Các khái niệm cơ bản 5

1.2 Định lý điểm bất động Kanan cho các ánh xạ co trong không gianmêtric suy rộng 9Chương II Định lý điểm bất động Kanan cho các ánh xạ co trong không

2.1 Không gian mêtric nón suy rộng 22

2.2 Mở rộng định lý điểm bất động Kanan cho các ánh xạ co trongkhông gian mêtric nón suy rộng 27

lời nói đầu

Lý thuyết điểm bất động là một trong những chủ đề nghiên cứu quantrọng của giải tích Nó có nhiều ứng dụng trong toán học và các ngành kỹthuật Kết quả quan trọng đầu tiên phải kể đến trong lý thuyết điểm bất

động là nguyên lý ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của Banach đượcnghiên cứu vào năm 1992 Dưới một cái nhìn khác về hướng nghiên cứu điểmbất động, người ta còn thấy rằng việc tìm điểm bất động của một ánh xạ làvấn đề có nhiều ứng dụng trong giải tích nhất là lý thuyết các phương trình

vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân Người ta đãtìm cách mở rộng nguyên lý này cho nhiều ánh xạ và nhiều loại không giankhác nhau

Đặc biệt năm 2007, theo hướng mở rộng không gian mêtric, Huang Guang và Zhang Xian đã đưa ra khái niệm về không gian mêtric nón bằngcách thay đổi tập số thực trong định nghĩa mêtric bởi một nón định hướngtrong không gian định chuẩn Các tác giả cũng đã xây dựng các khái niệm về

Long-sự hội tụ của dãy, tính đầy đủ của không gian, định lý điểm bất động đối với

ánh xạ co và thu được những kết quả sâu sắc trên lớp không gian này, đồngthời cũng thấy được một số ứng dụng của lớp không gian mêtric nón tronggiải tích phi tuyến, tối ưu véctơ Hiện nay nghiên cứu cấu trúc của khônggian mêtric nón đang thu hút sự quan tâm của một số nhà toán học trong vàngoài nước

Gần đây, Azam, Arshad và Beg đã giới thiệu khái niệm không gian metricsuy rộng bằng cách thay thế bất đẳng thức tam giác của một mêtric nón bởibất đẳng thức hình chữ nhật, Jleli và Samet đã tìm cách ở rộng các định lý

điểm bất động của Kannan trong lớp không gian mêtric nón suy rộng

Để tập dượt nghiên cứu khoa học, chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứunhằm tìm hiểu các kết quả về định lý điểm bất động Kanan cho các ánh xạ cotrong không gian mêtric suy rộng và không gian mêtric nón suy rộng Trêncơ sở các tài liệu tham khảo, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Trần Văn Ân,chúng tôi đã thực hiện đề tài:

"Định lý điểm bất động Kanan cho các ánh xạ co trong không gianmêtric suy rộng và không gian mêtric nón suy rộng".

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu các định lý về điểm bất độngcủa ánh xạ co trong không gian mêtric suy rộng, các định lý điểm bất độngcủa ánh xạ co trong không gian mêtric nón suy rộng; chứng minh chi tiết cácmệnh đề, định lý, hệ quả trong các tài liệu tham khảo chưa chứng minh hoặcchứng minh còn vắn tắt; Đưa ra và chứng minh một vài nhận xét và kết quảmới về điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian mêtric nón suyrộng

Chương 1 với nhan đề Định lý điểm bất động Kanan cho các ánh xạ cotrong không gian mêtric suy rộng Trong chương này, mục 1 chúng tôi giớithiệu qua một số kiến thức làm cơ sở cho việc trình bày của luận văn Bao gồmcác nội dung: Không gian mêtric, không gian mêtric suy rộng, dãy Cauchy,không gian mêtric suy rộng đầy đủ, không gianT-quỹ đạo đầy đủ, chuỗi d-Cauchy, ánh xạ co, Trình bày một số định lý về điểm bất động của các tự

ánh xạ trong không gian mêtric, cần dùng cho các trình bày về sau Mục 2chúng tôi trình bày một số định lý điểm bất động của Kanan và mở rộng củachúng trong không gian mêtric ruy rộng Chứng minh chi tiết về các định lý

đó Ngoài ra còn trình bày các hệ quả và các ví dụ minh họa

Chương 2 với nhan đề Định lý điểm bất động Kanan cho các ánh xạ cotrong không gian mêtric nón suy rộng Trong chương này, mục 1 chúng tôigiới thiệu qua một số kiến thức cơ sở cho việc trình bày luận văn Các nộidung gồm: khái niệm nón, nón chuẩn tắc, nón chính quy, mối quan hệ giữanón chuẩn tắc và nón chính quy, không gian mêtric nón, không gian mêtricnón suy rộng Các tính chất của không gian mêtric nón, các tính chất củakhông gian mêtric nón suy rộng Mục 2 chúng tôi tìm cách mở rộng một số

định lý điểm bất động Kanan cho các ánh xạ co trong không gian mêtric nónsuy rộng Chứng minh chi tiết về các kết quả đó và trình bày một số ví dụminh họa

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng

dẫn tận tình chu đáo của thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân, tác giả xin bày tỏ

sự biết ơn sâu sắc tới Thầy Nhân dịp này em xin chân thành cám ơn Ban chủnhiệm khoa Sư phạm Toán học, Phòng đào tạo Sau đại học, quý thầy, cô giáotrong tổ Giải Tích khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh đã tận tìnhgiúp đỡ em trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn Cuối cùng tôi xinchân thành cám ơn Ban giám hiệu trường THCS Hoằng Phong, Hoằng Hóa,tỉnh Thanh Hóa, các bạn học viên cao học khoá 21 Giải Tích tại Trường Đạihọc Vinh và gia đình, đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để giúptôi hoàn thành tốt nhiệm vụ trong quá trình học tập

Mặc dù đã tích cực đầu tư và có nhiều cố gắng trong nghiên cứu, thựchiện đề tài, song luận văn không tránh khỏi những sai sót Tác giả mongnhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô và bạn đọc để luận văn

được hoàn thiện

Vinh, ngày 30 tháng 8 năm 2015

Lê Thị Việt

chương 1

Định lý điểm bất động Kanan cho

các ánh xạ co trong không gian mêtric suy rộng

Phần này chúng tôi giới thiệu các kiến thức cơ bản làm cơ sở cho việc trìnhbày luận văn, các định lý về điểm bất động của ánh xạ co trong không gianmêtric đầy đủ, không gianT-quỹ đạo đầy đủ

1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợpX Hàmd : X ì X → R được gọi là một

mêtrictrênX nếu thỏa mãn các điều kiện:

(1) d(x, y) ≥ 0với mọix, y ∈ X và d(x, y) = 0nếu và chỉ nếux = y

(2) d(x, y) = d(y, x) với mọix, y ∈ X

(3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)với mọix, y, z ∈ X

Tập X cùng với một mêtric d trên nó được gọi là một không gian mêtric

và kí hiệu là(X, d)hay đơn giản làX Sốd (x, y)gọi làkhoảng cáchtừ điểm x

đến điểmy

1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho các không gian mêtric (X, d) và (Y, ρ) ánh xạ

f : (X, d) → (Y, ρ)được gọi làánh xạ co nếu tồn tạiα ∈ [0, 1) sao cho

ρ[f (x) , f (y)] ≤ αd (x, y) , với mọix, y ∈ X.

1.1.3 Định lý ([1]) (Nguyên lý ánh xạ co)Giả sử (X, d)là không gian mêtric

đầy đủ, f : X → X là ánh xạ co từ X vào chính nó Khi đó tồn tại duy nhất

điểmx∗ ∈ X sao chof (x∗) = x∗

Điểmx∗ ∈ X có tính chất f (x∗) = x∗ được gọi làđiểm bất động của ánh xạ

ψ (d (T x, T y)) ≤ ψ (d (x, y)) − ϕ (d (x, y)) với mọi x, y ∈ X,

trong đóψ, ϕ : [0, +∞) → [0, +∞)là các hàm liên tục, đơn điệu không giảm và

ψ(t) = ϕ(t) = 0nếu và chỉ nếu t = 0 Khi đó T có một điểm bất động duy nhất

1.1.5 Định nghĩa ([6]) Cho tập hợpX 6= φvàd : X ì X → [0, +∞)là một ánhxạ sao cho với mọix, y ∈ X và với mọi cặp điểm phân biệtu, v ∈ X \ {x, y}, tacó

(1) d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếux = y

(2) d(x, y) = d(y, x)

(3) d(x, y) ≤ d(x, u) + d(u, v) + d(v, y)

Khi đó(X, d)được gọi là một không gian mêtric suy rộng

Điều kiện (3) được gọi là bất đẳng thức tứ giác

1.1.6 Nhận xét ([2]) 1) Giả sử(X, d)là một không gian mêtric suy rộng Với

x ∈ X vàε > 0ta ký hiệuB(x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε} Khi đó họB = {B(x, r) :

x ∈ X, r > 0}lập thành một cơ sở của một tôpôτdtrênX

2) Với bất kỳ dãy{a n } ⊂ X sao choa n → akhin → ∞ta cód(a n , y) → d(a, y)

vàd(x, an) → d(x, a)khin → ∞

1.1.7 Ví dụ Cho(X, d)là một không gian mêtric Khi đó, dễ thấy rằng vìdlàmột mêtric, nên các điều kiện (1) và (2) của không gian mêtric suy rộng đượcthỏa mãn Bây giờ với bất kỳx, y ∈ X và bất kỳ các điểm phân biệt z, w ∈ Xsao cho mỗi điểm đó đều khác x và y, do d là mêtric nên áp dụng bất đẳngthức tam giác hai lần ta có

α nếu x, y không đồng thời thuộc{1, 2} vàx 6= y.

Khi đó dễ dàng thử thấy rằng (X, d) là một không gian mêtric suy rộng,nhưng(X, d)không là không gian mêtric, vì ta có

d(1, 2) = 3α > α + α = d(1, 3) + d(3, 2).

1.1.9 Định nghĩa ([6]) Cho (X, d) là một không gian mêtric suy rộng, dãy{xn} ⊂ X được gọi làhội tụ về điểm x ∈ X nếu với mọi ε > 0tồn tại n0 ∈ N ∗sao cho với mọin ≥ n0 ta cód (xn, x) < ε Lúc đó ta kí hiệu là lim

n→+∞ xn = xhay

x n → xkhin → +∞

1.1.10 Định nghĩa ([6]) Cho(X, d)là một không gian mêtric suy rộng và dãy{xn} ⊂ X Ta nói rằng {xn} là dãy d-Cauchy (hay dãy Cauchy) trong khônggian mêtric suy rộng(X, d)nếu với mọi ε > 0, tồn tạinε∈ N ∗ sao cho với mọi

n > m ≥ nε, ta cód(xn, xm) < ε

1.1.11 Định nghĩa ([6]) Không gian mêtric suy rộng (X, d) được gọi là đầy

đủnếu mọi dãy Cauchy trong(X, d)đều hội tụ trong nó

1.1.12 Định nghĩa ([2]) Cho (X, d) là một không gian mêtric suy rộng và

T : X → X là một ánh xạ từ X vào chính nó Với mỗi số n ∈ N∗, ta kí hiệuO(x, n) = {x, T x, , Tnx} Tập hợp O(x, ∞) = {x, T x, , Tnx, } được gọi là

quỹ đạo củaT tạix

Không gian mêtric suy rộngX được gọi làT-quỹ đạo đầy đủnếu mỗi dãyCauchy{xn} ⊂ X mà{xn} ⊂ O(x, ∞)vớix ∈ X, thì xn→ z ∈ X

Rõ ràng, một không gian mêtric suy rộng đầy đủ bất kỳ là một không gian

T-quỹ đạo đầy đủ, nhưng điều ngược lại không đúng

1.1.13 Định lý ([7])Cho(X, d)là một không gian mêtric vàT : X → X là một

ánh xạ sao cho

ρ(T x, T y) ≤ qρ(x, y), với mọix, y ∈ X,

trong đóq ∈ [0, 1) Nếu X là không gianT-quỹ đạo đầy đủ, thìT có một điểmbất động duy nhất trongX

1.2 Định lý điểm bất động Kanan cho các ánh xạ co trongkhông gian mêtric suy rộng

1.2.1 Bổ đề ([9]) Cho(X, d)là một không gian mêtric suy rộng,x i ∈ X, x i−1 6=

xi, 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 3, x0 = x, xn= y Khi đó, hoặc

d(x, y) ≤

n X i=1 d(xi−1, xi),

hoặc

d(x, y) ≤

n−2 X i=1 d(xi−1, xi) + d(xn−2, y).

Chứng minh.Bằng cách sử dụng bất đẳng thức hình chữ nhật, nhờ phépquy nạp theok, với mọik ∈ Nvà với mọiti ∈ X, 0 ≤ i ≤ 2k + 3với ti 6= ti+1, tacó

d(t0, t2k+3) ≤

n−2 X i=1 d(ti−1, ti) (1.1)Bây giờ choxi ∈ X, xi−16= xi và với mọii = 1, , n, n ≥ 3, x0 = x, xn= y.Nếu

n − 3là số chẵn, thì tồn tạik ∈ Nsao cho n = 2k + 3 Do đó, nhờ (1.1) ta có

d(x, y) ≤

n X i=1 d(xi−1, xi)

Nếun − 3là số lẻ thì tồn tại k ∈ Nsao chon − 1 = 2k + 3 Vì thế nhờ (1.1) ta có

d(x, y) ≤

n−2 X i=1 d(xi−1, xi) + d(xn−2, y) 

1.2.2 Định nghĩa Cho không gian mêtric suy rộng(X, d) ánh xạf : X → X

được gọi làánh xạ conếu tồn tạiα ∈ [0, 1)sao cho

d[f (x) , f (y)] ≤ αd (x, y) , với mọix, y ∈ X.

Kết quả sau đây chỉ ra rằng Nguyên lý ánh xạ co Banach vẫn còn đúngcho trường hợp các không gian mêtric suy rộng

1.2.3 Định lý Cho (X, d) là một không gian mêtric suy rộng đầy đủ và T :

X → X là một ánh xạ co Khi đóT có một điểm bất động duy nhất trong X.Chứng minh.Lấy điểm bất kỳ x ∈ X Đặtx0 = x, x1 = T x0, x2 = T x1, x3 =

T x2, , xn = T xn−1, Bằng cách này ta có thể xây dựng được một dãy các

điểm trong X như sau x n+1 = T x n = Tn+1x, n = 0, 1, Nếu tồn tại n 0 ∈ Nsaocho xn0+1 = xn0, thì ta có T xn0 = xn0 và xn0 là điểm bất động của T Vì thếkhông mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằngxn6= xn+1 với mọin ∈ N

αkd(x, x1) (1.2)hoặc

d(Tnx, Tmx) ≤

m−3 X k=n

αkd(x, x1) + d(Tm−2x, Tmx)

≤

m−3 X k=n

αkd(x, x 1 ) + αm−2d(x, x 2 ) (1.3)

Từ (1.3) vớim ≥ n + 3, ta có

d(Tnx, Tmx) ≤

m−2 X k=n

trong đóM = max{d(x, x1), d(x, x2)} Vì vậy từ (1.2) và (1.4) ta có

d(Tnx, Tmx) ≤

m−1 X k=n

với mọi m, n ∈ N, m ≥ n + 3. Vì α ∈ [0, 1), từ (1.5) ta suy ra {xn} là một dãyCauchy Vì X là không gian mêtric suy rộng đầy đủ, nên tồn tại u ∈ X saochoxn → u khin → ∞ DoT là ánh xạ co, nên nhờ Nhận xét 1.1.6 ta suy ra Tliên tục Vì thế ta có

u = lim n→∞ x n = lim

n→∞ T x n−1 = T u.

Do đóulà một điểm bất động củaT

Để chứng minh tính duy nhất ta giả sử rằng tồn tạiw ∈ X sao cho wcũng

là một điểm bất động củaT Khi đó, vì T co nên ta có

có một điểm bất động duy nhất trongX

1.2.5 Bổ đề ([13]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric suy rộng và T :

X → X là ánh xạ sao cho với một sốβ ∈ (0,12)nào đó ta có

d(T x, T y) ≤ β[d(x, T x) + d(y, T y)], với mọi x, y ∈ X (1.6)

Khi đó, với mỗin ∈ N, ta có

d(Tnx, Tn+1x) ≤

 β

1 − β

 n d(x, T x) (1.7)

Bây giờ giả sử (1.7) đúng vớin, nghĩa là

d(Tnx, Tn+1x) ≤

 β

1 − β

 n d(x, T x) (1.8)

Ta sẽ chứng minh rằng bất đẳng thức (1.7) đúng vớin + 1 Thật vậy, từ (1.6),thayxbởiTnxvày bởiTn+1x, ta thu được

1 − β

 n+1 d(x, T x).

1.2.6 Định lý ([13]) Cho(X, d)là một không gian mêtric suy rộng vàT : X →

X là ánh xạ sao cho với sốβ ∈ (0,12) nào đó ta có

d(T x, T y) ≤ β[d(x, T x) + d(y, T y)], với mọi x, y ∈ X (1.9)

NếuX là không gianT-quỹ đạo đầy đủ, thìT có một điểm bất động duy nhấttrongX

Chứng minh.Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử ngược lại rằng ánhxạT không có điểm bất động nào trong X Khi đó, với bất kỳ x ∈ X, ta xétdãy {T n x} Khi đó, với bất kỳ m, n ∈ Nmàm 6= nta có Tmx 6= Tnx Thật vậy,nếu tồn tạix ∈ X và các sốm, n ∈ Nmà m 6= n, m > n, sao choTmx = Tnx, thì

ta suy ra T m−n (T n x) = T n x, nghĩa là ta có T k y = y với y = T n x và k = m − n.Khi đó, nhờ Bổ đề 1.2.5, ta có

d(y, T y) = d(Tky, Tk+1y) ≤

 β

1 − β

 k d(y, T y).

Vì 0 < 1−ββ < 1, từ bất đẳng thức cuối này ta thu được d(y, T y) = 0 Suy ra

T y = y Điều này mâu thuẫn với giả thiết phản chứng T không có điểm bất

động nào cả

Bây giờ ta xác định hàmρ : X ì X → Rcho bởi công thức

ρ(x, y) =

( d(x, T x) + d(y, T y) nếu x 6= y,

Từ giả thiếtdlà mêtric suy rộng vàT không có điểm bất động nào cả trong

X, ta suy ra ρ(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X, ρ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y vàρ(x, y) = ρ(y, x)với mọix, y ∈ X Lại vì

ρ(x, y) = d(x, T x) + d(y, T y)

≤ d(x, T x) + 2d(z, T z) + d(y, T y) = ρ(x, z) + ρ(z, y),với mọix, y ∈ X mà x 6= y Vì thếρ là một mêtric trênX

từ bất đẳng thức sau

d(Tnx, Tn+1x) ≤ d(Tnx, Tn+1x) + d(Tn+1x, Tn+2x) = ρ(Tnx, Tn+1x),

ta suy rad(Tnx, Tn+1x) ≤ 2.ρ(Tnx, Tn+1x) Nếum > n+1, thì từ giả thiếtT không

có điểm bất động nào trongX ta suy raTmx, Tm+1x, Tnx, Tn+1xlà 4 điểm phânbiệt trongX Khi đó, ta có

d(T n x, T m x) ≤ d(T n x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T m+1 x) + d(T m+1 x, T m x)

= [d(T n x, T n+1 x) + d(T m+1 x, T m x)] + d(T n+1 x, T m+1 x)

≤ (1 + β)ρ(T n x, T m x) ≤ 2ρ(T n x, T m x).

Tiếp theo ta chứng minh rằng(X, ρ)là không gianT-quỹ đạo đầy đủ Thậtvậy, vì(X, d)là không gian T-quỹ đạo đầy đủ, nên tồn tạix ∈ X sao cho mỗidãy d-Cauchy {xn}nằm trong O(x, ∞), tồn tại u ∈ X sao cho d(xn, u) → 0 khi

n → ∞ Bây giờ giả sử {xn} là dãyρ-Cauchy bất kỳ nằm trongO(x, ∞), từ bất

đẳng thức (1.11) ta suy ra{x n }cũng là dãyd-Cauchy trongO(x, ∞) Vì thế tồntạiu ∈ X sao chod(xn, u) → 0 khin → ∞ Giả sử rằngxn 6= u với sốn ∈ N nào

đó, vì nếu ngược lại xn = u với mọi n ∈ N, thì {xn} là dãy hằng bằng u, do

đó ta có ρ(xn, u) = 0 với mọi n ∈ N Vì thế,xn → u theoρ Từ lập luận xn 6= uvới sốn ∈ Nnào đó, ta suy rau, xn, T u, T xnlà 4 điểm phân biệt của X Vì nếu

điều này không đúng, thì từ giả thiết phản chứngT không có điểm bất độngnào cả ta suy ra hoặcxn = u, hoặcxn = T u, hoặcT xn = u, hoặcT xn = T u Lạivì{xn} ⊂ O(x, ∞), điều đó kéo theo tồn tại số k ∈ N nào đó sao cho Tkx = uhoặc Tkx = T u Từ các đẳng thức này ta suy ra lim

n→∞ Tnu = u Mặt khác, vớimỗin ∈ N từ (1.9) ta có

d(T n+1 u, T u) ≤ β[d(T n u, T n+1 u) + d(u, T u)]

≤ βd(u, T u) + β[d(T n u, u) + d(u, T u) + d(T u, T n+1 u)].

Khi đó bằng cách chon → ∞trong các bất đẳng thức trên, nhờ Nhận xét 1.1.6,

ta nhận được

d(u, T u) ≤ 2βd(u, T u).

Vì0 < 2β < 1, từ bất đẳng thức cuối này ta suy rad(u, T u) = 0, nghĩa làT u = u

Điều này mâu thuẫn với giả thiết phản chứngT không có điểm bất động.Bây giờ vì với mỗin ∈ N có sốm > n sao choxn 6= xm Do đó, ta có

này ta suy ra ρ(xn, u) → 0 khi n → ∞ Vì thế (X, ρ) là không gian T-quỹ đạo

đầy đủ

Cuối cùng bằng cách áp dụng Định lý 1.1.13 ta suy ra T có một điểm bất

động Điều này lại mâu thuẫn với giả thiết phản chứng làT không có điểmbất động nào cả Mâu thuẫn này chứng tỏ rằngT phải có điểm bất động trong

X

Bây giờ giả sửT có 2 điểm bất độngxvày Khi đó, từ điều kiện (1.9), ta cód(x, y) = d(T x, T y) ≤ β[d(x, T x) + d(y, T y)] = β[d(x, x) + d(y, y)] = 0.

1.2.7 Bổ đề ([9])Choϕ : R + → R +là một hàm không giảm sao cho dãy{ϕ n (t)}

hội tụ tới0với mọit > 0 Khi đó

(i) ϕ(t) < t với mọit > 0

(ii)ϕ(0) = 0

Chứng minh (i) Giả sử ngược lại rằng tồn tại t0 > 0 sao cho ϕ(t0) ≥ t0 Điềunày kéo theo rằngϕ2(t0) ≥ ϕ(t0) ≥ t0 và do đó ta cóϕn(t0) ≥ t0 với mọin ∈ N.Vì vậy, dãy {ϕ n (t 0 )} không hội tụ tới 0, ta gặp phải mâu thuẫn Mâu thuẫnnày chứng tỏϕ(t) < tvới mọit > 0

(ii) Giả sử rằngϕ(0) > 0 Khi đó, vìϕlà hàm không giảm, nên ta có ϕ(0) ≤

ϕ 2 (0) Lại nhờ khẳng định (i), từ lập luận này ta có ϕ(0) ≤ ϕ 2 (0) = ϕ(ϕ(0)) <

Bây giờ ta ký hiệuΦlà tập hợp tất cả các hàm nửa liên tục trên không giảm

ϕ : R + → R + sao cho

∞ X n=1

ϕn(t) < ∞với mọit > 0

1.2.8 Định lý ([9])Cho (X, d)là một không gian mêtric suy rộng,T : X → X

là một ánh xạ thỏa mãn điều kiện

d(T x, T y) ≤ ϕ(max{d(x, y), d(x, T x), d(y, T y), d(y, T x)}), với mọix, y ∈ X, (1.12)

trong đóϕ ∈ Φ Nếu tồn tạix ∈ X sao choO(x)là quỹ đạo đầy đủ, thìT có một

điểm bất động duy nhất trongX

Chứng minh.Theo giả thiết tồn tạix ∈ X sao choO(x)là quỹ đạo đầy đủ Khi

đó ta xác định dãy{xn} theo quy nạp như sau: x0 = x, x1 = T x0, x2 = T x1 =

T2x, xn = T xn−1 = Tnx, với mọin ≥ 1 Do đó, nhờ điều kiện co (1.12) ta có

d(y, T y) = d(Tky, Tk+1y) ≤ ϕk(d(y, T y)).

Doϕ(t) < t với mọi t > 0, nên d(y, T y) = 0và do đó y là một điểm bất độngcủaT

Giả sử rằngxn 6= xm, với mọin 6= m Khi đó, ta có

d(T x, T3x) ≤ ϕ(max{d(x, T2x), d(x, T x), d(T2x, T3x), d(T2x, T x)}),

điều này kéo theo

d(T x, T3x) ≤ ϕ(M ),trong đóM = max{d(x, T2x), d(x, T x)}.

Nói chung, nếun là một số nguyên dương, thì

d(Tnx, Tn+2x) ≤ ϕn(M ) (1.14)Khi đó, theo Bổ đề 1.2.1, với mọim ≥ n + 3, ta có hoặc

d(Tnx, Tmx) ≤ d(Tnx, Tn+1x) + d(Tn+1x, Tn+2x) + + d(Tm−1x, Tmx),

hoặc

d(Tnx, Tmx) ≤ d(Tnx, Tn+1x) + d(Tn+1x, Tn+2x) + + d(Tm−2x, Tmx),