Lý thuyết điểm bất động trong không gian metric xác suất

Lý thuyết điểm bất động trong không gian metric xác suất.

Lý thuyết điểm bất động trong không gian metric xác suất có thể được coi như làmột phần trong giải tích ngẫu nhiên Hơn nữa, đây là một hướng tổng quát tốt, tiệm cậntốt tới các định lý về điểm bất động ngẫu nhiên Một hướng nghiên cứu trong nhómXemina khoa học do GS TSKH Đặng Hùng Thắng chủ trì.

Cấu trúc của luận án gồm phần mở đầu, 3 chương (chương 1-2-3), tài liệu thamkhảo Nội dung chính của các chương được tóm tắt như sau:

Chương 1 trình bày về không gian metric xác suất Chương 1 chủ yếu trình bày về

định nghĩ không gian metric xác suất, topo trong không gian metric xác suất và một số

ví dụ

Chương 2 là chương chính của luận văn Chương trình bày một số định lý điểm bất

động trong không gian metric xác suất Đầu tiên là một số định lý về điểm bất độngtrong không gian metric xác suất đầy đủ cho ánh xạ co xác suất Trong phần này cótrình bày hai xu hướng về nghiên cứu định lý điểm bất động trong không gian metricxác suất Xu hướng đặt điều kiện lên t-chuẩn của không gian, xu hướng thứ hai là đặt

điều kiện lên hàm phân phối khoảng cách của không gian Sở dĩ có hai xu hướng nhưvậy, nguyên nhân là tồn tại một không gian metric xác suất đủ, và một ánh xạ co màkhông có điểm bất động trên đó Đây chính là định lý nổi tiếng của H Sherwood Kế

đến, luận văn trình bày các định lý điểm bất động khi đặt điều kiện lên hàm phân phốikhoảng cách với các t-chuẩn T
TL Các định lý này tìm được ứng dụng cho một số

định lý về điểm bất động của ánh xạ ngẫu nhiên Phần tiếp theo, luận văn trình bày các

định lý điểm bất động cho các ánh xạ qư co xác suất và một số tổng quát hóa của ánh

1

xạ co Phần tổng quát hóa chủ yếu theo các hướng Hướng thứ nhất, phát biểu định lý

điểm bất động cho ánh xạ co tổng quát Hướng thứ hai là các định lý cho ánh xạ qư

mà thầy hết lòng hướng dẫn tôi từ cách đọc sách đến khả năng tìm tài liệu

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Tin đZ luôn quan tâm và tạonhiều điều kiện thuận lợi cho tôi cũng như các học viên cao học khác trong quá trìnhhọc tập

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các bạn bè đồng nghiệp ở Bộ môn Đại

Số và Xác Suất Thống Kê, Đại học Giao Thông Vận Tải đZ động viên và tạo điều kiệnthuận lợi để tôi có điều kiện tập trung hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thành viên của Xê mi na do GS.TSKH Đặng HùngThắng chủ trì, tôi đZ học tập được rất nhiều về kinh nghiệm học tập và nghiên cứu khoahọc từ Xemina

Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đZ động viên tôi hoànthành luận văn này

Hà Nội, tháng 11 năm 2009

Người thực hiện

Ngô Quang Quỳnh

Mở đầu 1

1.1 Hàm tam giác 5

1.1.1 Chuẩn tam giác và đối chuẩn tam giác 5

1.1.2 Hàm tam giác 7

1.2 Các định nghĩa về không gian metric xác suất và các không gian liên quan 10 1.3 Không gian Menger 11

1.4 Topo trên không gian metric xác suất, tính đầy đủ của không gian metric xác suất 14

1.4.1 Topo mạnh 14

1.4.2 Sự hội tụ trong không gian metric xác suất 14

1.4.3 Không gian metric xác suất đầy đủ 15

1.5 Không gian định chuẩn ngẫu nhiên và không gian tiền chuẩn 17

1.6 Không gian metric liên quan tới độ đo tách đ−ợc 22

1.6.1 Độ đo tách đ−ợc 22

1.6.2 Các không gian metric xác suất liên quan 26

2 Các định lý điểm bất động trong không gian metric xác suất 31 2.1 Các nguyên lý B− co xác suất 31

3

2.2 Một số tổng quát hóa của các nguyên lý B− co xác suất cho ánh xạ

đơn trị 502.2.1 Các định nghĩa liên quan 502.2.2 Các định lý 53

3 áp dụng vào các định lý điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên 683.1 Một số định lý áp dụng trong E-không gian 683.2 Hai lớp đặc biệt của q− co xác suất 72

Không gian metric xác suất

1.1 Hàm tam giác

1.1.1 Chuẩn tam giác và đối chuẩn tam giác

Định nghĩa 1.1.1 Một chuẩn tam giác( t- chuẩn) là một toán tử nhị phân trên đoạn

đóng [0, 1], có nghĩa là, một hàm T : [0, 1]2 → [0, 1] sao cho với mọi x, y, z ∈ [0, 1] cáctiên đề sau đ−ợc thỏa m'n:

1 T (x, y) = T (y, x) (Giao hoán);

3 Hä t- chuÈn Sugeno -Weber cho bëi

max(0,x+y−1+λxy1+λ ) tr−êng hîp kh¸c

4 Hä lòy linh minimum TnM ®−îc cho bëi

§Þnh nghÜa 1.1.4 Mét t-chuÈn T ®−îc gäi lµ Archimedean nÕu víi mäi (x, y) ∈ (0, 1)2

tån t¹i mät sè tù nhiªn n ∈ N sao cho

Ta ký hiệu △ là họ tất cả các hàm phân phối trên [−∞, ∞].

Định nghĩa 1.1.7 (Hàm Dirac) Ta có với a ∈ [−∞, ∞) thì

Trong △ chúng ta đặt vào đó một thứ tự sau: nếu F và G là hai hàm phân phối thì

ta nói F  G khi và chỉ khi F (x)  G(x) ∀x ∈ [−∞, ∞] Khi đó, ta có (△+, ) làsắp thứ tự bộ phận với H−∞ là phần tử lớn nhất và H∞ là phần tử bé nhất Chúng ta

τ1 τ2, nếu với mọi F, G trong △+ và với x in R+

τ1(F, G)(x)  τ2(F, G)(x)

Ví dụ 1.1.3. Cho T là một t-chuẩn liên tục trái Khi đó hàm T : △+ì △+ → △+

Một hàm tam giác là liên tục, nếu nó liên tục trong topo hội tụ yếu trong △+

Ví dụ 1.1.6. Nếu F, G ∈ △+ khi đó tích chập F ∗ G trên [0, ∞) định nghĩa bởi(F ∗ G)(0) = 0, (F ∗ G)(∞) = 1 và

1 L ánh xạ [0, ∞)2 vào [0, ∞);

2 L là không giảm theo cả hai tọa độ;

3 L là liên tục trên [0, ∞)2 ( ngoại trừ có thể tại hai điểm (0, ∞) và (∞, 0))

Định nghĩa 1.1.10 Với một t-chuẩn T và L ∈ L, hàm τT,L định nghĩa trên △+ì △+

và với giá trị trong [0, ∞) cho bởi

τT,L(F, G)(x) = sup{T (F (u), G(v))|L(u, v) = x}

Trong trường hợp đặc biệt L(x, y) = x + y chúng ta nhận được τT,L= τT

Định lý 1.1.2 Nếu T là một t-chuẩn liên tục trái và L từ L là giáo hoán, kết hợp, có

0 là phần tử đơn vị và thỏa m'n điều kiện

nếu u1 < u2 và v1 < v2 thì L(u1, v1) < L(u2, v2), (1.1)khi đó τT,L là một hàm tam giác

Điều kiện (1.1) là yếu hơn tính tăng ngặt của L theo mỗi biến

Tài liệu tham khảo về chuẩn tam giác có thể xem tại [6]

1.2 Các định nghĩa về không gian metric xác suất và các

không gian liên quan

Định nghĩa 1.2.1 Một không gian metric xác suất theo nghĩa của Serstnev là một bộ

ba (S, F, τ ) với S là một tập khác rỗng, F : S ì S → △+ cho bởi (p, q) → Fp,q, τ làmột hàm tam giác, sao cho điều kiện sau đây được thỏa m'n với mọi p, q, r trong S :

1 Fp,p = H0;

2 Fp,q= H0, với p = q;

3 Fp,q= Fq,p;

4 Fp,r
τ (Fp,q, Fq,r).

Định nghĩa 1.2.2 (S, F, τ ) được gọi là tốt nếu τ (Ha, Hb)
Ha+b(a, b ∈ [0, ∞))

Định nghĩa 1.2.3 Nếu tiên đề 1 và tiên đề 3 của định nghĩa (1.2.1) đúng thì cặp (S, F)

là một không gian tiền metric xác suất

Định nghĩa 1.2.4 Nếu chỉ có tiên đề 1, 3 và tiên đề 4 trong định nghĩa (1.2.1) đúngthì cặp (S, F, τ ) là một không gian giả metric xác suất và (S, F) là một không giantiền metric xác suất với τ

Định nghĩa 1.2.5 Nếu tiên đề 1, 2 và 3 trong định nghĩa (1.2.1) đúng thì cặp (S, F)

được gọi là không gian nửa metric xác suất

1.3 Không gian Menger

Định nghĩa 1.3.1 Cho T là một t-chuẩn liên tục trái Khi đó, không gian metric xácsuất (S, F, τ ) là không gian metric xác suất với τ = τT, được gọi là không gian Menger,

ta cũng ký hiệu là (S, F, T )

Nhận xét 1.3.2. Nếu một t-chuẩn T là liên tục trái khi đó τT trong định nghĩa (1.3.1)

là một hàm tam giác Khi đó ta có

Fp,r(x + y)
T (Fq,q(x), Fq,r(y)) (1.2)với mọi p, q, r trong S và x, y là các số thực Khi đó bất đẳng thức trên đương nhiêncũng kéo theo tiên đề 4 trong định nghĩa không gian metric xác suất theo nghĩa củaSerstnev Thật vậy, lấy x ∈ [0, ∞) chúng ta có với mọi u, v ∈ [0, ∞) sao cho u + v = x

Fp,r(x)
T (Fp,q(u), Fq,r(v))

Vì thế mà ta có

Fp,r(x)
(τT(Fp,q, Fq,r))(x)

Ta có thể giải thích bất đẳng thức (1.2) theo ngôn ngữ không gian metric cổ điển nhưsau: cạnh thứ ba của một tam giác phụ thuộc vào hai cạnh còn lại của tam giác theonghĩa nếu khi thông tin về độ dài hai cạnh kia tăng thì thông tin về độ dài của cạnh thứ

ba cũng tăng hay nếu ta biết được cận trên của hai cạnh thì ta cũng có một cận trêncho cạnh thứ ba

Nhận xét 1.3.3. Nếu bất đẳng thức Fp,r(x + y)
T (Fp,q(x), Fq,r(y)) được thay bởibất đẳng thức

Fp,r(max(x, y))
T (Fp,q(x), Fq,r(y))thì bộ ba (S, F, T ) là không gian Menger không có tính Arrchimedean

Ta xét một trường hợp đặc biệt của không gian Menger để thu được không gianmetric cổ điển

Ví dụ 1.3.7. Nếu ta giả sử tồn tại một hàm d, d : M ì M → [0, ∞), sao cho

Fp,q(x) = Hd(p,q) (p, q ∈ M, x ∈ R) (1.3)khi đó ta nhận được không gian Menger (M, F, τT), với F(p, q) = Hd(p,q), với bất kỳt-chuẩn T là một không gian metric cổ điển Ta có với p, q, r ∈ M sao cho d(p, q) < x

và d(q, r) < y với x, y > 0, khi đó theo (1.3) ta có Fp,q(x) = 1 và Fq,r(y) = 1 Khi đótheo (1.2) và tính bị chặn của t-chuẩn T ta có d(p, r) < x + y, tức là ta có bất đẳngthức tam giác

Ngược lại, nếu (M, d) là một không gian metric cổ điển thì ta lấy Fp,q định nghĩabởi (1.3) chúng ta nhận được với bất kỳ t-chuẩn T nào ta có Fp,q là hàm phân phối thỏamZn cả bốn tiên đề về không gian metric xác suất

Ví dụ 1.3.8 (Drossos). Cho (M, d) là một không gian metric khả ly và (Ω, A, P ) làmột không gian xác suất Chúng ta sẽ ký hiệu S là tập hợp tất cả các lớp tương đươngcác ánh xạ đo được X : Ω → M Nếu X, Y ∈ S và x ∈ R khi đó FX,

Y(x) định nghĩabởi:

FX,

Y(x) = P ({ω|ω ∈ Ω, d(X(ω), Y (ω)) < x}) (X ∈ X, Y ∈ Y )

Khi đó, ta có bộ ba (S, F, TL) là một không gian Menger và đ−ợc gọi là E-không giantrên không gian metric (M, d).

Định nghĩa 1.3.2 Một không gian metric xác suất mà (S, F, τ ) với τ là một tích chập

đ−ợc gọi là không gian Wald

Định lý 1.3.1 Một không gian metric xác suất (S, F, τ ), là không gian Wald thì làkhông gian Menger (S, F, TP)

Chứng minh Trong một không gian Wald, với bất kỳ x, y
0 và p, q, r ∈ S chúng tacó

1.4 Topo trên không gian metric xác suất, tính đầy đủ

của không gian metric xác suất

định trên S một topo metric hóa đ−ợc

1.4.2 Sự hội tụ trong không gian metric xác suất

Định nghĩa 1.4.1 Một d'y (pn)n∈N trong S hội tụ theo (ǫ, λ)- topo tới p ∈ S khi vàchỉ khi với mọi ǫ > 0 và λ ∈ (0, 1) tồn tại n0(ǫ, λ) ∈ N sao cho

Fp n ,p(ǫ) > 1 − λ với mọi n
n0(ǫ, λ)

Trong không gian Menger (S, F, T ) với sup

a<1

T (a, a), thì họ {N (ǫ, λ)|ǫ > 0, λ ∈(0, 1)} là cơ sở cho cái đều Hausdorff UF trong S, với

N (ǫ, λ) = {(p, q)|(p, q) ∈ S ì S, Fp,q(ǫ) > 1 − λ}

Định nghĩa 1.4.2 Một d'y (pn)n∈N trong S là một d'y Cauchy nếu với mọi ǫ và

λ ∈ (0, 1) tồn tại n0(ǫ, λ) ∈ N sao cho Fp n ,p m > 1 ư λ, với mọi n, m
n0(ǫ, λ)

1.4.3 Không gian metric xác suất đầy đủ

Định nghĩa 1.4.3 (Định nghĩa không gian metric xác suất đủ) Không gian metric xácsuất (S, F, T ) được gọi là đầy đủ nếu mọi d'y Cauchy trong (S, F, T ) đều có giới hạntrong (S, F, T )

Mệnh đề 1.4.2 Cho (S, F, TL) là một Eư không gian trên không gian metric đủ (M, d).Khi đó ta có các khẳng định sau tương đương:

1 {xn} ⊆ S hội tụ tới x0 trong S

2 lim

n→∞Fxn,x0(t) = H0(t) với mọi t ∈ R

3 {xn} hội tụ theo xác suất tới x0

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh sự tương đương giữa 1 và 3 Giả sử, có xn hội tụtới x0 trong S Khi đó, theo định nghĩa ta có với mọi ǫ > 0, λ > 0 chúng ta có tồn tạimột số tự nhiên N (ǫ, λ) thỏa mZn:

Mệnh đề 1.4.3 Mọi Eưkhông gian đều là không gian đầy đủ.

Chứng minh Sử dụng mệnh đề trên và sự kiện mọi dZy Cauchy theo hội tụ xác suất

đều có duy nhất một giới hạn

Nếu (S, F, ∗) là không gian Wald khi đó:

d(p, q) = ư log

 ∞ 0

eưxdFp,q(x)

là một metric trên S Cái đều sinh bởi d, tương đương với cái đều UF

Cho M là họ tất cả các ánh xạ m : R → R(F = [0, ∞] sao cho các điều kiện sau

1.5 Không gian định chuẩn ngẫu nhiên và không gian

tiền chuẩn

Trong phần này ta sẽ ký hiệu K là trường số R hoặc C

Định nghĩa 1.5.1 Cho S là một không gian vector trên trường K, F : S → D+ và T

là một t-chuẩn với T
TL Bộ ba (S, F, T ) được gọi là một không gian định chuẩnngẫu nhiên khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa m'n, với F(p) = Fp, với mọi

3 Fp+q(x + y)
T (Fp(x), Fq(x)), với mọi p, q ∈ S và với mọi x, y > 0

Mọi không gian định chuẩn (S,  ã ) là một không gian định chuẩn ngẫu nhiên(S, F , TL), với

FX(ǫ) = P ({ω|ω ∈ Ω, X(ω) < ǫ}) (ǫ > 0, X ∈ S, X ∈ X),

khi đó (S(Ω, A, P ), F, TL) là một không gian định chuẩn ngẫu nhiên

Mọi không gian định chuẩn ngẫu nhiên (S, F, T ) , với t-chuẩn T liên tục, là mộtkhông gian vector topo với một cơ sở lân cận đếm được tại 0 của S Khi đó tồn tại một

F ư chuẩn  ã  : S → [0, ∞) thỏa mZn các tiên đề sau và sinh ra (ǫ, λ)ư topo:

1 Với mọi x ∈ S : x
0 và x = 0 ⇐⇒ x = 0;

2 Với mọi x ∈ S và với mọi a ∈ K

|a|  1 ⇒ ax  x;

3 Với mọi (x, y) ∈ S ì S : x + y  x + y;

4 Với mọi x ∈ S và với mọi (an) ∈ KN

n→∞xn= 0 ⇒ co{xi|i ∈ N} là bị chặn

.Khi đó X là một không gian lồi địa phương

Mệnh đề 1.5.4 Cho (S, F, T ) là một không gian định chuẩn ngẫu nhiên với T là mộtt-chuẩn liên tục kiểu H Khi đó S với topo (ǫ, λ) là một không gian vector topo lồi địaphương

Chứng minh Xét (xi) ∈ SN với lim

n→∞xn = 0 Khi đó ta chứng minh co{xn|n ∈ N} là

bị chặn, có nghĩa là với mọi ǫ > 0 và với mọi λ ∈ (0, 1) tồn tại ρ(ǫ, λ) > 0 sao choco{xn|n ∈ N} ⊆ ρ(ǫ, λ)N (ǫ, λ), có nghĩa

Fx(ρ(ǫ, λ)ǫ) > 1 − λ với mọi x ∈ co{xn|n ∈ N} (1.4)Chọn ǫ > 0 và λ ∈ (0, 1) và δ = δ(ǫ, λ) ∈ (0, 1) thỏa mZn

u ∈ (δ, 1) ⇒ u(n)T > 1 − λ với mọi n ∈ N

Do T là t-chuẩn kiểu H nên δ(ǫ, λ) nh− thế tồn tại Theo giả thiết lim

n→∞xn = 0, nêntồn tại n(ǫ, λ) ∈ N sao cho

Fx n(ǫ) > δ với mọi n
n(ǫ, λ)

Chọn M1 = {xn|n
n(ǫ, λ)} và M2 = {xn|n < n(ǫ, λ)} Vì Fx là một hàm phân phốinên tồn tại ρ′(ǫ, λ)
1 sao cho

Fx(ρ′(ǫ, λ)ǫ) > δ với mọi x ∈ M2.Chúng ta sẽ chứng minh (1.4) đúng cho ρ(ǫ, λ) = 2ρ′(ǫ, λ)

Nếu x ∈ co{xn|n ∈ N} khi đó

δ > 0 sao cho ǫ

2δ < 1 vµ

Fp(δ) > λ′, Fq(δ) > λ′.NÕu pi = (1 − λi)p + λiq, i ∈ {0, 1, , n}, víi n =

2δ

ǫ + 1



vµ λi = i ǫ

2δ, i ∈

, Fq



ǫ2(λi+1ư λi)

2δǫ

, Fq

ǫ

2.

2δǫ



T (λ′, λ′)

> 1 ư λvới mọi i ∈ {0, 1, , n ư 1}

Định nghĩa 1.5.3 Cho E là một không gian vector trên trường K và p : E → [0, ∞)thỏa m'n các điều kiện sau:

Khi đó (E, p) được gọi là không gian tiền chuẩn và p được gọi là một tiền chuẩn.Một không gian tiền chuẩn (E, p) là một không gian vector topo nếu hệ cơ bản các lâncận tại 0 được cho bởi V = (Vǫ)ǫ>0, với Vǫ= {x|x ∈ E, p(x) < ǫ}

Không gian S(0, 1) tât cả các lớp tương đương các biến ngẫu nhiên trên (0, 1) làkhông gian tiền chuẩn nếu tiền chuẩn p : S(0, 1) → [0, ∞) cho bởi

là một không gian xác suất và X là một biến ngẫu nhiên trên Ω vào Rn khi đó một tiềnchuẩn trên S(Ω, A, P ) được xác định bởi

Định nghĩa 1.5.4 Một bộ ba thứ tự (E, F, T ), với E là một không gian vector thực,

F : E → D+ và T
TL, là một không gian tiền chuẩn ngẫu nhiên nếu F : E → D+

thỏa m'n các điều kiện sau:

1.6 Không gian metric liên quan tới độ đo tách đ−ợc

1.6.1 Độ đo tách đ−ợc

Cho A là một σ− đại số trên Ω Xét hàm tập m : A → [0, 1] với A.B ∈ A và

A ∩ B = ∅ là một hàm của m(A ∪ B) phụ thuộc vào m(A), m(B) tức là tồn tại mộthàm F : [0, 1]2 → [0, 1] sao cho ta có

với mọi A, B ∈ A sao cho A ∩ B = ∅ Hàm F cần thỏa mZn một số tính chất nhằm

đảm bảo rằng định nghĩa m là tốt Để m(∅) = 0 ta cần có F (x, 0) = x Và F cần phải

là một toán tử nhị phân thỏa mZn giao hoán và có tính kết hợp và F cũng cần phải cótính đơn điệu

Định nghĩa 1.6.1 Cho S là một t-đối chuẩn Một độ đo S− tách đ−ợc m là một hàmtập m : A → [0, 1] thỏa m'n m(∅) = 0 và

m(A ∪ B) = S(m(A), m(B))với bất kỳ A, B ∈ A và A ∩ B = ∅

Ví dụ 1.6.10. Xét t-đối chuẩn SL, Ω = N, A = 2N và m(E) = min(|E|/N, 1) với N

là một số tự nhiên cố định, với |E| là lực l−ợng của E, chúng ta có m là một độ đo

Ví dụ 1.6.11. Cho P : A → [0, 1], là một độ đo xác suất Khi đó mλ định nghĩa bởi

Ví dụ 1.6.12. Cho B là một σ− đại số Borel trên [0, 1] và f : [0, 1] → [0, 1], là mộthàm liên tục sao cho f(0) = 0 Hàm tập m : B → [0, 1], xác định bởi

Biểu diễn t-đối chuẩn Archimedean liên tục bởi nhân cộng tính s ta có phân loạicủa các độ đo σ − S− tách đ−ợc:

A m thỏa m'n s ◦ m là giả σ− cộng tính khi và chỉ khi s(1) < P (Ω) = 1 và tồn tại

E ∈ A sao cho 0 < P (E) < P (Ω) = 1

Tính liên tục tại 0 của t-đối chuẩn S đảm bảo một topo liên quan tới độ đo con η.Một hàm tập η, η : A → [0, ∞], là một độ đo con nếu nó thỏa mZn các điều kiện sau:

1 η(∅) = 0;

2 η(A)  η(B) với A ⊆ B, A, B ∈ A;

3 η(A ∪ B)  η(A) + η(B) với A, B ∈ A và A ∩ B = ∅

Định lý 1.6.4 Cho m, m : A → [0, 1], là một độ đo Sư tách được ứng với một t-đốichuẩn liên tục tại 0 S Khi đó, tồn tại một độ đo con η trên A sao cho lim

n→∞m(En) = 0khi và chỉ khi lim

n→∞η(En) = 0

Định nghĩa 1.6.3 Một độ đo max-tách được m, m : A → [0, ∞], nếu m thỏa m'n điềukiện

m(A ∪ B) = sup(m(A), m(B))với bất kỳ A, B ∈ A, m lúc đó được gọi là độ đo tối đại m được gọi là tối đại hoàntoàn nếu với bất kỳ họ (Ei)i∈I của A với 

Nếu I là đếm được, khi đó m được gọi là σư tối đại

Định lý 1.6.5 Mọi độ đo hoàn toàn tối đại m sao cho tồn tại E ∈ A với m(E) < ∞

là liên tục dưới

Ví dụ 1.6.13. Một hàm tập m : 2R

→ [0, 1] xác định bởim(A) =

Định nghĩa 1.6.4 Một độ đo tối đại π : 2Ω → [0, 1] với m(Ω) = 1 được gọi là một độ

đo đủ Một hàm tập m : 2Ω → [0, 1] được gọi là một độ đo cần nếu với mọi họ (Ei)i∈I

của 2Ω chúng ta có m(∩i∈IEi) = inf

i∈Im(Ei) và m(∅) = 0

Dễ dàng thấy với mỗi độ đo đủ π tương ứng với mỗi một độ đo cần m(A) = 1 ưπ(Ac)(A ∈ 2Ω)

1.6.2 Các không gian metric xác suất liên quan

Ta nói một độ đo m có kiểu (NSA) khi và chỉ khi s ◦ m là một độ đo cộng tính hữuhạn, với s là nhân cộng tính của t-đối chuẩn S, liên tục, không chặt và Archimedean,

mà độ đo m là tách được (s(1) = 1)

Nếu m là Sư tách được khi đó m là Sưđánh giá, có nghĩa là

S(m(A ∪ B), m(A ∩ B)) = S(m(A), m(B))

Bổ đề 1.6.6 Cho m là một độ đo kiểu (NSA), với s là tăng chặt Khi đó, với mọi

A, B ∈ A :

m(A ∩ B)
T (m(A), m(B)),với T là một t-chuẩn với nhân cộng tính t = 1 ư s

Ngoài ra, nếu ta có

s(x) + s(1 ư x) = 1 với mọi x ∈ [0, 1] (1.7)thì

T (x, y) = 1 ư S(1 ư x, 1 ư y), với mọi x, y ∈ [0, 1]

, tức là T là một t-chuẩn đối ngẫu với t-đối chuẩn S

Chứng minh Vì m có kiểu (NSA), s ◦ m là độ đo cộng tính hữu hạn và vì thế

m(A ∩ B) = sư1(s(m(A ∩ B)))

sư1(max(0, s ◦ m(A) + s ◦ m(B) ư 1))

= tư1(min(1, t ◦ m(A) + t ◦ m(B)))

= T (m(A), m(B)),

với t = 1 ư s là một nhân cộng tính của t-chuẩn T

Nếu s thỏa mZn (1.7) chúng ta có sư1(1 ư s(u)) = 1 ư u(u ∈ [0, 1]) Với

u = sư1(s(1 ư x) + s(1 ư y)) (x, y ∈ [0, 1])chúng ta thu được

Vì thế, T (x, y) = 1 ư S(1 ư x, 1 ư y), có nghĩa T là đối ngẫu của S

Ví dụ 1.6.15. Với họ t-đối chuẩn (SY

λ và Tλ không đối ngẫu nhau

Với họ t-đối chuẩn (SSW

và họ t-chuẩn tương ứng như trong bổ đề (1.6.6) là (TSW

λ )λ∈(ư1,∞) ứng với nhân cộngtính tSW

Mệnh đề 1.6.7 Cho (Ω, A, m) là một không gian đo, với m là một độ đo liên tục Sưtách được Hơn nữa, m có kiểu (NSA) và nhân cộng tính của S là s đơn điệu tăng Khi

đó (S, F, T ) là một không gian Menger, trong đó S là tập tất cả các lớp tương đươngcác biến ngẫu nhiên từ Ω → (M, d), (M, d) là một không gian metric khả ly và với F

và t-chuẩn T định nghĩa như sau:

FX,

Y(u) = m{ω|ω ∈ Ω, d(X(ω), Y (ω)) < u} = m{d(X, Y ) < u}

( với mọi X, Y ∈ S, u ∈ R,

T (x, y) = sư1(max(0, s(x) + s(y) ư 1)), với mọi x, y ∈ [0, 1]

Chứng minh Rõ ràng FX,

Y : R → [0, 1] và vì m là đơn điệu, FX,

Y là đơn điệu tăng.Vì FX,

Y(0) = m(∅) = 0, nên giờ ta chứng minh:

n∈N

An vàtheo tính liên tục của m ta suy ra

m(C) Theo bổ đề (1.6.6) ta có m(C)
m(A∩B)
T (m(A), m(B)), với T là t-chuẩncho bởi

Từ đó mà ví dụ của Drossos là một trường hợp riêng của mệnh đề 1.6.7

Mệnh đề 1.6.8 Cho (Ω, A, m) giống trong bổ đề 1.6.7 và (M, d) là một không gianmetric khả ly Khi đó (S, F, T ) ở bổ đề 1.6.7 là một không gian metric xác suất đủ.Chứng minh Giả sử ( Xn)n∈N là một dZy Cauchy trong S theo topo(ǫ, λ) Có nghĩa,với mọi ǫ > 0 và λ ∈ (0, 1) tồn tại n0(ǫ, λ) ∈ N sao cho

m{d(Xn, Xn+p) < ǫ} = FX
n,
Xn+p(ǫ) > 1 ư λvới mọi n
n0(ǫ, λ) và với mọi p ∈ N

Chọn (ǫk)k∈N là một dZy thuộc (0, 1) sao cho

k∈N

ǫk là hội tụ Vì s là liên tục vàs(1) = 1, từ đó suy ra tồn tại λk ∈ (0, 1)(k ∈ N) sao cho s(1 − λk) > 1 − ǫk(k ∈ N).Cho Ns ∈ N(s ∈ N) thỏa mZn N1 < N2 <

ra từ ( Xn)n∈N là một dZy Cauchy ứng với độ đo s ◦ m Mà hội tụ theo s ◦ m kéo theohội tụ theo m và ta có điều phải chứng minh

Các định lý điểm bất động trong

không gian metric xác suất

2.1 Các nguyên lý B − co xác suất

Cho (M, d) là một không gian metric và f : M → M Nếu tồn tại một số q ∈ [0, 1)sao cho

d(f x, f y)  qd(x, y) với mọi x, y ∈ M,khi đó f đ−ợc gọi là q− co

Mội ánh xạ q− co f : M → M trên một không gian metric đủ (M, d) có duy nhấtmột điểm bất động Đây chính là nội dung của nguyên lý Banach( gọi tắt là nguyên lýB− co)

Định nghĩa 2.1.1 Cho (S, F) là một không gian metric xác suất Một ánh xạ f : S →

S là ánh xạ q− co xác suất (q ∈ (0, 1)) nếu

Ff p 1 ,f p 2(x)
Fp 1 ,p 2(x

với mọi p1, p2 ∈ S và với mọi x ∈ R

Nhận xét 2.1.5. Rõ ràng f : S → S là q− co xác suất khi và chỉ khi với mọi

31

p1, p2 ∈ S và với mọi x ∈ R ta có

(∀α ∈ (0, 1))(Fp 1 ,p 2(x) > 1 ư α ⇒ Ff p 1 ,f p 2(qx) > 1 ư α)

Nhận xét 2.1.6. Định lý điểm bất động tất định trong không gian metric cổ điển chỉ

là một trường hợp riêng của các định lý điểm bất động trong không gian metric xácsuất

Chứng minh Bất đẳng thức (2.1) là tổng quát hóa của bất đẳng thức

d(f p1, fp2)  qd(p1, p2), (2.2)với f : M → M và (M, d) là không gian metric Để chứng minh (2.2) kéo theo ( 2.1)

ta có (M, d) cũng là một không gian Menger (M, F, TM), nếu F định nghĩa theo cáchsau:

q = x,tức là Ff p 1 ,f p 2(x) = 1

Ví dụ 2.1.16. Cho (Ω, A, P ) là một không gian xác suất (M, d) là một không gianmetric khả ly, và BM là họ sigma-trường Borel trên M Một ánh xạ f : Ω ì M → M

là một ánh xạ ngẫu nhiên nếu với mọi C ∈ BM và với mọi x ∈ M

{ω|ω ∈ Ω, f (ω, x) ∈ C} ∈ A,

có nghĩa là ánh xạ ω → f (ω, x) là đo được trên Ω Một ánh xạ ngẫu nhiên f : ΩìM →

M được gọi là liên tục nếu với mọi ω ∈ Ω ánh xạ x → f (ω, x) là liên tục trên M.Nếu f : ΩìM → M là ánh xạ liên tục khi đó với mọi biến ngẫu nhiên X : Ω → M

ta có ánh xạ ω → f (ω, X(ω)) là đo được trên Ω

Cho S là tập tất cả các lớp tương đương của các ánh xạ đo được X : Ω → M và f

là một ánh xạ ngẫu nhiên Khi đó ánh xạ f : S → S, định nghĩa bởi

FX,

Y(x) = P ({ω|ω ∈ Ω, d(X(ω), Y (ω)) < x})với mọi X, Y ∈ S và x ∈ R Khi đó, (2.4) kéo theo

Ff
X,f
Y(qx)
FX,

Y(x)

Vì vậy f là qư co xác suất khi và chỉ khi (2.4) đúng

Hệ quả 2.1.1 Vấn đề tồn tại điểm bất động cho ánh xạ ngẫu nhiên quy về vấn đề tồntại điểm bất động cho ánh xạ Nemytskij f của f Cũng tức là các định lý về điểm bất

động ngẫu nhiên chỉ là các trường hợp riêng của các định lý trong không gian metricxác suất

Định nghĩa 2.1.2 Với mọi x0 ∈ S ta đặt

O(x0, f ) = {fn(x0)|n ∈ N ∪ {0}}

Khi đó tập O(x0, f ) được gọi là quỹ đạo của ánh xạ f : S → S tại x0

Định nghĩa 2.1.3 Ta gọi DO(x0,f ): R → [0, 1] được định nghĩa bởi

DO(x 0 ,f )(x) = sup

s<x

inf

u,v∈O(x 0 ,f )Fu,v(s)

là đường kính của O(x0, f )

Định nghĩa 2.1.4 Nếu sup

n = τn

T(Fi), Fi = G(jq i), i ∈ N, n ∈ N

Định nghĩa 2.1.7 Một t-chuẩn T gọi là có tính chất điểm bất động khi và chỉ khi vớimọi ánh xạ qư co xác suất f : S → S, với (S, F, T ) là một không gian Menger đầy

đủ bất kỳ, đều có điểm bất động

Định lý 2.1.2 Cho (S, F, TM) là một không gian Menger đủ và f : S → S là qư

co xác suất Khi đó tồn tại duy nhất một điểm bất động của ánh xạ f và hơn nữa

x = lim

n→∞fnp với mọi p ∈ S

Chứng minh Xét họ nửa chuẩn (db)b∈(0,1) xác định bởi



Ff m x 0 ,x 0

ǫ

qn



DO(x 0 ,f )

ǫ

qn



Hệ quả 2.1.4 Cho (S, F, T ) là một không gian Menger đủ, T là một t-chuẩn kiểu H

và f : S → S là q− co xác suất Khi đó tồn tại duy nhất một điểm bất động x ∈ Scủa ánh xạ f và x = lim

Fp,r
τT(Fp,w, Fw,r)(p, w, r ∈ S),

vì (S, F, T ) là một không gian Menger Với pm = fmp, m ∈ N, chúng ta có

Fp,p m
τT∞(Fi) với mọi m ∈ N (2.5)Bất đẳng thức (2.5) kéo theo DO(p,f ) ∈ D+

Hệ quả 2.1.6 Cho (S, F, T ) là một không gian Menger đủ, T là một t− chuẩn saocho sup

a<1T (a, a) = 1, f : S → S là một ánh xạ q− co và τT∞(Fi) ∈ D+ với Fi(x) =

Chứng minh Giả sử với mọi G ∈ D+ và với mọi q ∈ (0, 1) ta có Gτ T ,q ∈ D+ Ta cũnggiả sử f là một ánh xạ co trên không gian metric xác suất đầy đủ (S, F, τT) Ta sẽ chỉ

ra rằng f cũng có điểm bất động Thật vậy, lấy p ∈ S và xét dZy (fnp)n∈N Khi đó, ta

Hệ quả là f có điểm bất động.

Ngược lại, giả sử G ∈ D+ và q ∈ (0, 1) sao cho Gτ T ,q ∈ D+ Chúng ta sẽ địnhnghĩa một không gian metric xác suất đủ và một ánh xạ co trên đó mà không có

điểm bất động Ta lấy S = N , là tập các số tự nhiên Với m, n ∈ S ta định nghĩa

Trường hợp 3, chứng minh hoàn toàn tương tự trường hợp 2

Ta chứng minh (S, F) là một không gian metric xác suất đầy đủ Ta sẽ chỉ ra rằngnếu (pn)n∈N là một dZy Cauchy trong S thì đây là một dZy hằng Thật vậy, nếu giả

sử (pn)n∈N là một dZy Cauchy trong S mà không phải là một dZy hằng Khi đó, có 2trường hợp, hoặc là có một số dương N sao cho pn  N với mọi n hoặc với mọi sốdương k tồn tại một số dương nk sao cho pnk > pnkư1 với n0 = 1.

Trường hợp 1, vì (pn)n∈N không là dZy hằng nên với mọi số nguyên dương K, tồntại m, n > K sao cho pm = pn; với

Fp m ,p n(x)  max{Fi,k(x) : 0  i, j  N, i = j} < H0(x)với x > 0 nào đó Vì thế mà (pn)n∈N không là một dZy Cauchy

Trường hợp 2, Giả sử (pn)n∈N là một dZy Cauchy trong (S, F) Khi đó, ta có

Như thế f là một ánh xạ co mà f lại không có điểm bất động

Như vậy ta có nếu t-chuẩn T có kiểu H thì T có tính chất điểm bất động