Dãy suy rộng và không gian các dãy

Tuy nhiên trong các giáo trình dành cho sinhviên, chỉ mới đề cập đến sự hội tụ của dãy thông thờng dãy số, dãy trongkhông gian tôpô mà cha đề cập tới sự hội tụ của dãy suy rộng.. Phần 2:

Môc lôc

Trang

Lêi giíi thiÖu 1

§1 C¸c kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n 3

§2 D·y suy rçng 6

§3 C¸c hä kh¶ tæng 11

§4 Kh«ng gian c¸c d·y 14

KÕt luËn 24

Tµi liÖu tham kh¶o 25

Lời giới thiệu

Trong Giải tích toán học, lý thuyết giới hạn đóng vai trò quan trọng Cáckhái niệm cơ bản của Giải tích nh đạo hàm, tích phân, tổng của chuỗi, … đều đ-

ợc định nghĩa thông qua giới hạn Tuy nhiên trong các giáo trình dành cho sinhviên, chỉ mới đề cập đến sự hội tụ của dãy thông thờng (dãy số, dãy trongkhông gian tôpô) mà cha đề cập tới sự hội tụ của dãy suy rộng Để hiểu sâu hơn

về lý thuyết giới hạn, khoá luận nghiên cứu sự hội tụ của dãy suy rộng và khônggian các dãy

Với mục đích đó khoá luận đợc trình bày thành 4 phần:

Phần 1: Dành cho việc giới thiệu lại một số khái niệm và kết quả cơ bản

cần dùng trong khoá luận

Phần 2: Trình bày khái niệm dãy suy rộng, sự hội tụ của dãy suy rộng và các

ví dụ minh hoạ cho các khái niệm này Sau đó, chứng minh nhiều tính chất tơng tự

nh sự hội tụ của dãy thông thờng vẫn đúng đối với dãy suy rộng

Phần 3: Dựa vào khái niệm hội tụ của dãy suy rộng, chúng tôi đã nghiên

cứu tổng của một họ bất kỳ các số (nói chung là quá đếm đợc), và chứng minhmột số tính chất của tổng của chuỗi số vẫn đúng cho tổng của họ khả tổng

chúng tôi đặt ra vấn đề là nghiên cứu các không gian tơng tự nhng thay cho dãy

số là dãy trong không gian định chuẩn hay dãy suy rộng các số

Vì điều kiện thời gian và khuôn khổ của khoá luận nên chúng tôi chỉ mớichứng minh đợc rằng trong các không gian l p, l∞, c 0 nếu thay dãy số bởi dãy

trong không gian định chuẩn (đặc biệt là không gian Banach) thì các kết quả

t-ơng tự vẫn đúng Việc thay các dãy số bởi dãy suy rộng các số cha đợc trìnhbày

Khoá luận này đã hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS-TS

Đinh Huy Hoàng Nhân đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ớng dẫn, ngời đã chỉ đạo tần tình giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này

h-Em cũng xin đợc gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong Khoa toán đã tậntình dạy dỗ chỉ bảo em trong suốt thời gian qua, cùng tất cả các bạn bètrong và ngoài lớp đã giúp đỡ tôi trong thời gian làm khoá luận Cuối cùng

em rất mong nhận đợc sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo, các anhchị cùng toàn thể các bạn

Vinh, ngày tháng năm 2004

Tác giả

Đ1 Các khái niệm và tính chất cơ bản

Trong mục này, ta sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về không gian tôpô, không gian mêtric và không gian định chuẩn cần dùng trongkhoá luận mà chúng đã có trong các tài liệu tham khảo

1.1 Định nghĩa: Giả sử X là tập khác rỗng và T là họ các tập con nào

đó của X T đợc gọi là một tôpô trên X nếu.

1) Φ và X∈ T

2) Hợp của một số tuỳ ý các tập thuộc T là thuộc T.

3) Giao của một số hữu hạn các tập thuộc T là thuộc T.

Tập X cùng với một tôpô T trên nó đợc gọi là một không gian tôpô và

đ-ợc kí hiệu là (X, T ) hay viết gọn là X Các tập thuộc T đợc gọi là các tập mở

trong X.

1.2 Định nghĩa: Giả sử U là tập con của không gian tôpô X và x X∈ U

đợc gọi là một lân cận của x nếu tồn tại tập G mở trong X sao cho

.

1.3 Định nghĩa: Không gian tôpô X đợc gọi là T1- không gian nếu với

hai điểm bất kỳ x y X, ∈ mà x≠ y đều tồn tại lân cận U của x và lân cận V của

1.4 Định nghĩa: Giả sử { }x n là một dãy trong không gian tôpô X và

x X∈ Ta nói { }x n hội tụ tới x nếu với mọi lân cận U cuả x đều tồn tại số tự

nhiên n0 sao cho

n

x ∈U ∀ ∈n N n n, ≥ 0 Khi đó ta kí hiệu x n →x hay lim n

n x x

→∞ = hay gọn hơn limx n =x.

1.5 Định lý: Nếu X là T2- không gian thì mỗi dãy trong X mà hôị tụ thì hội tụ tới một điểm duy nhất

Tập X cùng với một mêtric d trên nó đợc gọi là một không gian mêtric và

đợc kí hiểu là (X d, ) hay viết gọn là X.

Giả sử X là không gian mêtric, a thuộc X và r là số thực dơng Đặt

B a r( ), = ∈{x X d x a: ( ), <r},

B a r[ ], = ∈{x X d x a: ( ), ≤r}

và gọi chúng lần lợt là hình cầu mở, hình cầu đóng tâm a ính r.

1.7 Định lý: Giả sử X là không gian mêtric và

1.9 Định nghĩa: Giả sử { }x n là dãy trong không gian mêtric X Ta nói

{ }x n là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại số tự nhiên n0 sao cho

( n, m)

d x x < ε ∀n m n, ≥ 0.

Không gian mêtric X đợc gọi là không gian đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy

trong X đều hội tụ.

1.10 Định nghĩa: Giả sử X là không gian tuyến tính trên trờng K (K=R

d λ λx y = λ d x y ∀ ∈ ∀ λ K, x y X, ∈

Nh vậy, mọi không gian định chuẩn đều là không gian mêtric Do đó trênkhông gian định chuẩn có các khái niệm và kết quả của không gian mêtric

1.12 Định lý: Giả sử X là không gian định chuẩn Khi đó

1) ánh xạ chuẩn liên tục đều trên X;

2) Phép cộng (x y, ) → +x y là ánh xạ liên tục từ E Eì vào E;

3) Phép nhân vô hớng (λ, x) → λx là ánh xạ liên tục từ K Eì vào E.

1.13 Định nghĩa: Không gian định chuẩn E đợc gọi là không gian

Banach nếu E là không gian mêtric đầy đủ đối với mêtric sinh bởi chuẩn.

Đ2 Dãy suy rộng

2.1.Định nghĩa: Giả sử Ι là một tập bất kỳ và " ≤ " là một quan hệ trên Ι

Ta nói quan hệ "≤ " là một sự định hớng trên I nếu thoả mãn:

4〉 Giả sử X là không gian tôpô, a ∈ X, U là họ tất cả các lân cận của a.

Khi đó (U, ⊆) là tập định hớng.

Chứng minh: Với mọi U ∈U thì U ⊆ U Với mọi U, V, W ∈U mà U⊆

V, V ⊆ W thì U ⊆ W Giả sử U, V, ∈ U Đặt W=U∩B Khi đó W là 1 lân cận

của a, nghĩa là W ∈ Rõ ràng W ⊆ U, W ⊆ V Vậy (U, ⊆ ) là một tập định

h-ớng

2.3 Định nghĩa: Giả sử (I, ≤ ) là một tập định hớng và X là một không

gian tôpô Một ánh xạ f: I → X đợc gọi là một dãy suy rộng (hay một lới) trong

X Kí hiệu là (f, I, ≤ ) hay (f(i), I), (f i , I) Sau này, nếu không có lu ý gì thêm thì

ta luôn hiểu dãy là dãy suy rộng

2.4 Ví dụ:

1) Dãy thông thờng là một dãy suy rộng (tập định hớng là (N, ≤)

2) Lấy I= U là họ tất cả các lân cận của điểm a thuộc không gian tôpô

X (trong ví dụ 4) Xét ánh xạ:

f: U → X

U a f(U): =x U, ∀ ∈U Uvới x U nào đó thuộc U.

Vì f là ánh xạ từ U vào X và (U, ⊆ ) là tập định hớng nên (f U , U) là một dãysuy rộng.Ta kí hiệu dãy này là (x U ,U)

2.5 Đinh nghĩa: Giả sử ( f I i, ) là một dãy suy rộng trong không gian tôpô X, x*

là một điểm thuộc X Ta nói ( f I i, ) hội tụ tới điểm x* nếu mọi lân cận W của x*

đều tồn tại i o∈ I: f i∈W với mọi i ∈ I mà i0 ≤i Khi đó, ký hiệu:

1) Sự hội tụ của dãy thông thờng là trờng hợp đặc biệt của sự hội tụ củadãy suy rộng.

2) Giả sử U là họ tất cả các lân cận của điểm a trong không gian tôpô X

và sự định hớng trên U là quan hệ "⊆" (ví dụ 2 ở 2.2) Khi đó dãy (x U ,U) hội tụtới a (dãy trong Ví dụ 2 ở 2.4).

Chứng minh: Giả sử W là một lân cận của a Ta cần chứng tỏ tồn tại

Chứng minh: Giả sử I là một tập định hớng (x i ,I ) là một dãy suy rộng bất

kỳ trong T2không gian X và x i → s, x i → t Ta cần chứng minh s = t.

Giả sử s≠t Khi đó do X là T2- không gian nên tồn tại lân cận U scủa s và

lân cận U t của t, sao cho U s∩ U t =φ.

Vì lim x i = s và U s là lân cận s nên theo Định nghĩa 2.5 ắt tồn tại n 0 ∈ I

Do đó U s ∩U t ≠ φ Điều này mâu thuẫn với U s ∩U t=φ.Vậy s = t, nghĩa là ( x i

, I) hội tụ tới một điểm duy nhất.

Nhận xét: Giả sử E là không gian định chuẩn, (I, ≤ ) là tập định hớng

nào đó, (x i ,I) và (y i , I) là hai dãy trong E sao cho x i →a, y i →b Khi đó ta có

hai dãy:(x i+y I i, ,) (λx I i, ) Một câu hỏi đặt ra là hai dãy này có hội tụ haykhông? Định lý sau đây trả lời câu hỏi này

2.8 Định lý: Giả sử (x I i, )và (y I i, ) là hai dãy suy rộng trong không gian

định chuẩn E Nếu x i → a và y i→ b thì các dãy ( x i + y i , I), (λ x i , I) hội tụ và i

x + y i→ a+b, λ x i → λa.

Chứng minh: Vì phép cộng trong không gian định chuẩn là liên tục nên

mọi lân cận W của a+b tồn tại lân cận U của a, lân cận V của b: U + V ⊆ W.

x i + y i ∈U + V ⊆ W, ∀ ∈i I i i, ≥ 0.

Vậy x i+ y i → a + b.

Giả sử x i → a ,λ ∈ R Ta cần chứng minh λ x i → λa Vì phép nhân vô

hớng trong không gian định chuẩn là liên tục nên mọi lân cận W của λa tồn tại

lân cận U của a sao cho λU⊆ W Vì x i → a và U là lân cận của a nên tồn tại

0

i ∈I: x i ∈U ∀i ≥ i0 Khi đó

Vậy λ x i → λa.

Đ3 Các họ khả tổng

Đặt vấn đề: Ta đã nghiên cứu về lý thuyết chuỗi trong không gian định

chuẩn Khái niệm chuỗi đợc định nghĩa nh sau:

Giả sử { }x n n N∈ là dãy trong không gian định chuẩn E ( N là tập các số tự

Gọi S n là tổng riêng thứ n của (1)

Nếu tồn tại limn S n S E

→∞ = ∈ thì ta nói chuỗi (1) hội tụ và gọi S là tổng của chuỗi

(1) và kí hiệu:

1

n n

Khi đó, ta có một dãy suy rộng (S I , I ∈ϑ ) Nếu tồn tại giới hạn của dãy

3.2 Mệnh đề: Nếu {x i D i: ∈ } khả tổng thì tổng của nó là duy nhất.

3.3 Định nghĩa: Giả sử {x i D i: ∈ },{y i D i: ∈ } là hai họ trong không gian

p n

n n n

Chứng minh: Để chứng minh (1) xác định chuẩn trên l E P( )ta thử 3 điềukiện của chuẩn

+) Rõ ràng

1/

1

p p n p

*) Một câu hỏi đặt ra là với điều kiện nào thì không gian định chuẩn (l E P( ), . p)

là không gian Banach Mệnh đề sau trả lời câu hỏi này

4.4 Mênh đề3: Nếu E là không gian Banach thì l E P( )là không gian Banach.

Chứng minh: Giả sử E là không gian Banach Ta cần chứng minh l p(E) là

n p k

p p

k l

n n n

( )

1/

1

p p l

n n n

4.6 Mệnh đề: Không gian (C E0( ), ) là Banach nếu E-Banach

Chứng minh: Giả sử E là không gian Banach Ta cần chứng minh không

x là dãy Cauchy trong

E.Từ giả thiết E là không gian Banach suy ra tồn tại giới hạn

( )

1

k k n

Nh vậy, với mỗi n=1, 2, ,{ }( )k

n

x là dãy Cauchy trong E Từ giả thiết E là không

gian Banach suy ra tồn tại giới hạn lim ( )k.

Kí hiệu m E( ) là tập tất cả các dãy hội tụ trong không gian định chuẩn E.

Ta đã biết tập C E0( ) gồm tất cả các dãy hội tụ tới 0 trong không gian định

chuẩn E là một không gian định chuẩn với chuẩn:

{ } 0( )

n

Hơn nữa, nếu E là không gian Banach thì C E0( ) là không gian Banach Vấn đề

đặt ra ở đây là, đối với m E( ) ta có những điều tơng tự nh C E0( ) hay không?Các mệnh đề tiếp theo giải quyết vấn đề này

4.11 Mệnh đề : m E( ) là không gian tuyến tính Với các phép toán:

x + y = {x n+y n} , λx = { }λx n ∀ =x { }x n ,y={ }y n ∈m E( ), ∀ ∈ λ k. Chứng minh: Giả sử x, y ∈m E( ) và λ ∈k. khi đó tồn tại lim , lim n x n n y n

phép cộng và phép nhân vô hớng trong E liên tục suy ra tồn tại:

lim( n n) lim n lim n ,

1) Công thức (3) là một chuẩn trên m E( ) ,

2) Nếu E-Banach thì (m E( ), ) cũng là không gian Banach.

Chứng minh:1) +) Với mọi { }x n ∈m E( ) ta có

kết luận

Khoá luận đã đạt đợc các kết quả chính sau đây :

1 Trình bày lại khái niệm dãy suy rộng, sự hội tụ của dãy suy rộng và họ các sốkhả tổng

2 Đa ra nhiều ví dụ minh hoạ cho dãy suy rộng và sự hội tụ của dãy suy rộng

3 Chứng minh nhiều tính chất tơng tự nh sự hội tụ của dãy thông thờng và tổngcủa chuỗi số vẫn đúng với sự hội tụ của dãy suy rộng và tổng của họ khảtổng

4 Dựa vào không gian các dãy số l l C p, ,∞ 0 để xây dựng không gian các dãytrong không gian định chuẩn E nh l E l E C E m E p( ) ( ) ( ) ( ), ∞ , 0 , và chứng minh

đợc rằng các không gian này là Banach nếu E là không gian Banach.

Tài liệu tham khảo

[1] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, Nhà xuất bản giáo dục 2000.

[2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm Tập 2, Nhà xuất bản giáo dục 2001.

-[3] J.L.Keli, Tôpô đại cơng ( Hồ Thuần, Hà Huy Khoái, Đinh Mạnh Tờng

dịch ), Nhà xuất bản ĐH và THCN, Hà nội 1973