d Khảo sát tính giao hoán của hai toán tử là Qˆ, Sˆz từ đó cho biết các trị riêng của hai toán tử trên có tuân theo nguyên lý bất định không?. e Xác định hàm riêng và trị riêng của toán
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HOC CẦN THƠ ĐỀ THI TUYỂN SINH
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2015 TRÌNH ĐỘ THẠC SĨ NĂM 2015 (đợt 2)
Môn: Cơ học lượng tử Chuyên ngành: Vật lý KT, Vật lý lý thuyết và VL toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Đề số: 01
NỘI DUNG ĐỀ
Câu 1 Spin (2,5 Điểm):
a) Viết biểu thức ma trận của các toán tử Spin Sˆx , Sˆy , Sˆz và Sˆ2
b) Chứng minh Sˆ2 và 2
z
Sˆ là giao hoán
c) Tính ma trận của Qˆ Sˆx Sˆy Sˆz Sˆz Sˆy Sˆx
d) Khảo sát tính giao hoán của hai toán tử là Qˆ, Sˆz từ đó cho biết các trị riêng của
hai toán tử trên có tuân theo nguyên lý bất định không?
e) Xác định hàm riêng và trị riêng của toán tử Qˆ biết Sˆzcó hai hàm riêng là
m 2 m
1 ,
Câu 2 Dao động tử điều hòa (2,5 Điểm):
Dao động tử điều hòa (một chiều) có khối lượng m và tần số Hàm sóng ở thời điểm
ban đầu (t=0) được cho bởi biểu thức:
2 U ( x ) U ( x ) A
) 0 t x
a) Sử dụng toán tử: M x ]
dx
d [ N
aˆ để xác định hàm U1(x) là hàm sóng ở trạng thái kích thích của dao động tử, biết hàm cơ bản U0(x) có dạng:
) x 2
M exp(
M ) x
(
(với M và N là các hằng số)
b) Chuẩn hóa hàm sóng ( x t 0 )đế xác định hệ số A
c) Xác định mật độ xác suất tại tọa độ x = 0, t = 0 và tại x = 21, t = 0
d) Tính giá trị trung bình của thế năng có dạng là: U )
2 x m
U1 2 1
Câu 3 (2,5 Điểm):
Cho hai toán tử và Bˆ iN t
x iM
Aˆ
a) Tính biểu thức tường minh của hai toán tử : Cˆ AˆAˆ và Dˆ Aˆ Bˆ
b) Khảo sát tính giao hoán của hai toán tử Aˆ và Dˆ
Trang 2c) Xác định hàm riêng ( t )của toán tử Bˆ iN t
với các trị riêng là thực
d) Cho hàm ( x t ) K exp( iat ibx )với K, a, b là các hằng số dương Khảo sát xem hàm này có phải là hàm riêng của hai toán tử Cˆ và Dˆ không? Nếu có tìm các trị riêng tương ứng
Câu 4 (2,5 Điểm): Hàm cầu R3,2( ) mô tả xác suất tìm electron ở khoảng cách r đến
nhân của nguyên tử X (với thế năng là đối xứng cầu
r
Ke 3
Uˆ
2
) có dạng là:
} a 3
r exp{
A
R3,2 , a0 là bán kính Borh, K =9.109 (SI) là hằng số tĩnh điện
a) Dùng điều kiện chuẩn hóa để xác định hệ số A
b) Tính giá trị trung bình: U ở trạng thái xác định bằng hàm sóng R3,2( )?
c) Tính mật độ xác suất tại r =3a và r = 2a
d) Xác định gía trị rmax của hàm R3,2( ) để xác suất tìm electron là cực đại
e) Các mức năng lượng của electron tính bởi biểu thức: n 2
n
Rh 9
E ; trong đó hằng
số Ripber là: R 3 , 27 10 15 ( Hz )
, h = 6,625 10-34 (J.s), n là các số nguyên dương Tính bước sóng của photon phát xạ khi electron chuyển mức từ E6 về mức E1
0
dx ).
x exp(
n 2
n
) 2 (
! )!
1 n 2 ( dx
).
x exp(
x
với: (2n-1)!!= 1.3.5 (2n-1),
Hết
Đề thi gồm 2 trang
Good luck!
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2015
Môn: Cơ học lượng tử Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật Lý toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Trang 3NỘI DUNG ĐÁP ÁN
Câu 1 (2.5)
a) Biểu thức ma trận các toán tử Spin (S x , S y , S z) (0.5)
1 0
0 1 2 Sˆ , 0 i
i 0 2 Sˆ , 0 1
1 0 2
1 0
0 1 4
3 Sˆ Sˆ Sˆ 1 0
0 1 4
Sˆ
2 2 2 z 2 y
2 2
x
b) Chứng minh Sˆ2 và 2
z
1 0
0 1 16
3 1 0
0 1 4 1 0
0 1
4
3
Sˆ
Sˆ
4 2
2
2
z
1 0
0 1 16
3 1 0
0 1 4
3 1 0
0 1
4
Sˆ
Sˆ
4 2
2
2
z
giống như trên Giao hoán nhau C) Tính ma trận của Qˆ Sˆx Sˆy Sˆz Sˆz Sˆy Sˆx (0.5)
z
y
x Sˆ Sˆ
i 0
0 i 8 0 i
i 0 0 1
1 0 8 1 0
0 1 0 i
i 0 0 1
1 0 8
3 3
3
x
y
z Sˆ Sˆ
0 i 8 i 0
0 i 1 0
0 1 8 0 1
1 0 0 i
i 0 1 0
0 1 8
3 3
3
Vậy Qˆ Sˆx Sˆy Sˆz Sˆz Sˆy Sˆx=
i 0
0 i 4 i 0
0 i 8 i 0
0 i 8
3 3
3
z
Sˆ
,
i 0
0 i
4
3
1 0
0 1 2
i 0
0 i 8
4
Qˆ
1 0
0 1
2
i 0
0 i 4
3
i 0
0 i 8
4
giống như trên Giao hoán nhau e) hàm riêng và trị riêng của toán tử Qˆ cùng hàm riêng Sˆz (0.5)
2 1 3
2 1 3
2 1 3
2
1
2
4
i i
i 4 i
0
0 i 4
Qˆ
trị riêng như nhau
4
i 3
2 1 3
2 1 3
2
1 2
2
1
1
i
i 8 i
0
0 i 8 Sˆ
Sˆ
trị riêng như nhau
8
i3
2 1 3
2
1 2
2
1
3
i
i 4 Sˆ
2
Sˆ
trị riêng
4
i3
a) xác định hàm U1(x)
] x M dx
d
[
N
2
M exp(
2
M exp(
) Mx ( ) Mx ( M
Trang 4
2
M exp(
x M MN
b) Chuẩn hóa hàm sóng ( x t 0 )đế xác định hệ số A (`1.0)
2 U ( x ) U ( x ) A
)
0
t
x
1 )
x 2
M exp(
MNx )
x 2
M exp(
M
A
4
dx
2 2 2
1
M exp(
MNx )
x 1
M exp(
MNx 2 ) x 1
M exp(
dx
M
A
4
2 2 2
2 2
M 2
NM 1 /(
4
1 A 1 ) M 2
NM 1 ( A 4 M 2
1 M NM 0 M
M
A
4
2 2
2 2
2
c Xác định mật độ xác suất tại tọa độ x = 0, t = 0 và tại x =1, t = 0 (0.5)
2 4
2 1
0
A 4 0 ) M (.
2 A ) x ( U ) x ( U 2 A ) 0 t , 0 x (
2
2 M 4
M 4
2 2 1 0
2 2
e MN 2 ) MN ( 1
M
A
4
e M MN 2 e M 2 A ) x ( U ) x ( U 2 A ) 0 t
,
2
x
(
d) Tính giá trị trung bình của thế năng có dạng là: U )
2 x m
2 1
(0.5)
2
m N M 4
1 M 2
m M )
MN
2
(
) Mx exp(
x dx 2
m M ) MN 2 ( ) Mx exp(
2
x m x M ) MN 2
(
dx
2 2 2
2
2 4
2 2
2 2 2 2
Câu 3: hai toán tử và Bˆ iN t
x iM
Aˆ
a) Biểu thức tường minh của : Cˆ AˆAˆ và Dˆ Aˆ Bˆ (0.5)
) t
N x M ( i
Bˆ
Aˆ
Dˆ và x
MM
2
b) Khảo sát tính giao hoán của Aˆ và Dˆ (0.5)
) t x
N x M ( M ) t x
N x x M (
M
Dˆ
Aˆ
2 2
2 2
2
) x t
N x M ( M ) x t
N x x M (
M
Aˆ
Dˆ
2 2
2 2
2
Trang 5 toán tử là giao hoán
c) Xác định hàm riêng ( t )của toán tử Bˆ iN t
với các trị riêng w là thực
(0.5)
) t N
iw exp(
D ) t ( dt N
iw ) t (
) t ( d ) t ( w t
) t ( iN
)
t
(
d) Cho hàm ( x t ) K exp( iat ibx ) Khảo sát xem hàm (1.0)
2
2 2
2 2
2
) Mb ( : riêng tri ) ibx iat exp(
K MMb
) ibx iat exp(
b MMK )
ibx iat exp(
K x MM )
t x ( x MM
Cˆ
Mib NiaK exp( iat ibx ) tri riêng : Mb Na
i
) ibx iat exp(
K ) t
N x M ( i ) ibx iat exp(
K
Dˆ
Câu 4 (2.5)
a 3
r exp{
A R
0 2
,
3 2
3 2
3 2
0
2
2
2 0
2 2
2
2
.
3
0
a 27
1 A
1
a 27 1
A 1 ) a 3 / 2 (
! 2 1
4 A 1 dr } a 3
r 2 exp{
r
1
4
A
1 dr r 4 a 3
r 2 exp{
A dr
r
4
.
R
Tính giá trị trung bình: U
(0,5)
a
Ke 2 U : vào A thay a
9 2
4 A Ke 3 2
a 3 4
A
Ke
3
dr ) a 3
r 2 exp(
r 4 A Ke 3 ) ( R r
Ke 3 dr r 4
A
U
2 2
2 2 2
2
2
2 2 2
2 2
2
3
4 exp{
a 27
1 } 3
4 exp{
A } a 3
r 2 exp{
A
R
) 2 exp(
a 27
1 ) 2 exp(
A } a 3
r 2 exp{
A
R
3 2
0
2 2
2
,
3
3 2
0
2 2
2
,
3
d) Xác định gía trị rmax của hàm R3,2( ) để xác suất tìm electron là cực đại (0,5)
a 3 r a 3
r 1 và 0 r 0 } a 3
r 2 2 ){
a 3
r 2 exp(
r
) a 3
r 2 exp(
) a 3
2 ( r ) a 3
r 2 exp(
r 2 ) a 3
r 2 exp(
r
dr
d
) a 3
r 2 exp(
r RR )
a 3
r 2 exp(
R
2 2
2 2
Trang 6r=0 là không thể , vì exp () luôn dương 0
dr
RR d
a r
cực đại khi r= 3a
m 10 1 , 0 35
36
R
9
c
hc h 36
1 1
1 R 9 6
Rh 9 1
Rh 9 E
E
7
2 2
1
6