dap an toan 8 2015 2016

Tia AM cắt đường thẳng DC tại N... Ta có Do đó BĐT đã được chứng minh.

PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8 NĂM HỌC 2015-2016

Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1: Cho biểu thức A 1 2 5 x2 :1 3x2

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

c) Tìm x để A A

Bài 2: a) Giải phương trình 2x2 x 2015 24 x25x 2016 24 2x 2 x 2015 x  25x 2016  

b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x32x23x 2 y   3

Bài 3: a) Tìm a, b sao cho đa thức f x  ax3bx210x 4 chia hết cho đa thức  g x  x2 x 2

b) Biết rằng x2y2 x y Tìm GTNN và GTLN của  P x y

Bài 4: Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O, M là điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt

đường thẳng DC tại N Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM

a) Chứng minh rằng OEM vuông cân

b) Chứng minh rằng ME // BN

c) Từ C kẻ CH  BN (H  BN) Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng

Bài 5: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng      � 

a b b c c d a d

BÀI GIẢI

Bài 1: ĐKXĐ:

1 x 3

��

�

�

�

�

2 1 x



b) Để A nhận giá trị nguyên thì 1 3x �Ư(2) = {-2; -1; 1; 2}

Với 1 3x  2�x 1 (không TMĐK) Với 1 3x 1 x 2

3

   �  (loại)

3

  �   (loại) Vậy x = 0 thỏa mãn bài toán

c) Vì A � , dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A  0 Do đó để A A A 2 2

3

x 3

 , x� thỏa mãn bài toán 1

Bài 2: a) Phương trình tương đương     2

1

Vậy phương trình có nghiệm x 2017

1

 

b) Xét x = 0 thì y3 không thỏa mãn Xét x = 1 thì 2 y38�y 2

Xét x  thì 1 y30�y 0 Với x  hoặc x 11  , vì x nguyên nên x2 1

1 x �x 2x 3x 2 x  3x 3x 1  x 1

Mặt khác nếu x > 1 thì 2x23x 2 0 

Nếu x  thì 1 2x23x 2 x  2 x2 3x 2 x  2 x 1 x 2     0

Do đó x32x23x 2 x  , suy ra 3 3 3  3

x y  x 1 , vô lí Vậy   x;y � 1;0 ; 1;2    thỏa mãn bài toán

Bài 3: a) Giả sử đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x), khi đó tồn tại đa thức q(x) sao cho

  3 2    2 

f x ax bx 10x 4 q x x    với mọi xx 2

Vậy   a;b    thỏa mãn bài toán4; 2

x y  x y 2 x y 2 x y � x y    1 x y 2 x y 1 

x y   1 �x y 1  � 0 P  x y 1 1 P 1

GTNN của P là -1 Đạt được khi và chỉ khi x y 1 x 0

�

GTLN của P là 1 Đạt được khi và chỉ khi x y 1 x 1

�

Bài 4: a) Xét OBE và OMC có � � 0

BE MC OBE OCM 45

OB OC



�

�

�

� 

� nên OBE = OMC (c – g – c)

 OE = OM và �BOE COM�

mà �BOM COM 90�  0

BOM BOE 90  MOE 90

Do đó OEM vuông cân tại O

b) Áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có:

AN  AD  AB hay MN BE

AN AB suy ra ME // BN (Định lí đảo của định lí TaLet) c) Giả sử đường thẳng OM cắt BN tại H' Vì OEM vuông cân nên �OME 45 0

ME // BN nên �OH'B OME 45 �  0 (đồng vị), suy ra �OH'B OCM 45�  0, �BMH' OMC� (đối đỉnh) suy ra MH'B  MCO (g – g) MH' MB MH' MC

Suy ra BMO  H'MC (c – g – c) �MH'C MBO 45� �  0

Do đó �OH'B MH'C 90�  0 suy ra CH'  BN Suy ra điểm H' trùng với H

Vậy O, M, H thẳng hàng

Bài 5: BĐT tương đương a b b c c d d a 0 a b 1 b c 1 c d 1 d a 1 4

C D

M O

N

E

H H'

   

x y x y �

 với x, y > 0 Ta có

Do đó BĐT đã được chứng minh Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ - Hà Tĩnh