Bài tập phần điện động lực học

bài tập điện động lực học

ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 1

Câu 1

Trình bày về tĩnh điện trường trong môi trường đồng chất – Thế vô hướng

Hướng dẫn và gợi ý:

-

- - Chứng minh: =

- - Trong tĩnh điện trường, công để di chuyển một điện tích từ điểm này đến điểm khác không phụ thuộc vào hình dạng đường đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm

đầu và điểm cuối

-Thế vô hướng của tĩnh điện trường

trong đó là một hàm vô hướng của toạ độ

-Chứng minh: =- =- = -

-Công của tĩnh điện trường để di chuyển một điện tích dương bằng đơn vị từ điểm

A đến điểm B bằng hiệu điện thế hai điểm

-Phép định cỡ điện thế hay chọn gốc tính điện thế

-Điện thế tại một điểm bất kỳ bằng công của điện trường để di chuyển một điện tích dương bằng đơn vị từ điểm đó đến vô cực ( )=

Câu 2

Trình bày về lưỡng cực điện

Hướng dẫn và gợi ý:

- Định nghĩa mômen của lưỡng cực điện :

-

- Điện thế gây ra bởi lưỡng cực điện



1

C l d

E 



2

C l d

E 



grad

E 

)

(r



 



B A l d

E 

B

A

l d grad 

 B

A

d ( A) (B)





 (A)  (A)   

A l d E





l e p







2 1

2 1 1

2 ) 4

1 1 (

r r e r

r













- Tại một điểm ở rất xa lưỡng cực điện

-Hệ điện tích trung hoà gồm nhiều điện tích điểm, mômen lưỡng cực của hệ là:

e1 ’ với -Hệ điện tích trung hoà là một hệ liên tục với = 0

Câu 3

Trình bày hệ phương trình Maxwell

Hướng dẫn và gợi ý:

-Nêu tên và dạng tích phân của các định luật dưới dạng tích phân

-Dạng vi phân của các định luật

rot =- , rot = + , div = , div =0

-Ưu nhược điểm của dạng tích phân và dạng vi phân

-Hệ đủ các phương trình Maxwell: = , =

-Ý nghĩa của từng phương trình Maxwell

-Điều kiện áp dụng hệ các phương trình Maxwell

Câu 4

Trình bày định luật bảo toàn năng lượng của điện từ trường

Hướng dẫn và gợi ý:

-Phương trình liên tục: +div =0

3

4

1

r

r

p



 





p

r

0



e i





V dV r p

p  '

dv

{ 4

1



 



 grad

E

3 5

) ( 3

r

p r

r r

p  



 



C

E

l

d

dt

d



S

B

S



C

H

l

d

dt

d



S

D

S



S

D

S



S

B

S

E

t

B





H

j



t

D





D

D

E

 B

H



dt dw

P

-Từ hệ phương trình Maxwell, biến đổi toán học, ta được phương trình

-Mật độ năng lượng của điện từ trường: W =

-Vectơ mật độ dòng năng lượng = [ ]

- Định luật bảo toàn năng lượng của điện từ trường

dW

dt + + Q=0 Khi năng lượng điện từ trường trong thể tích V biến đổi theothời gian, thì hoặc là

phải có dòng năng lượng điện từ trường chảy vào hoặc chảy ra khỏi thể tích V,

hoặc là phải có nhiệt lượng Joule–Lenxor toả ra trong thể tích đó, hoặc cả

hai

Câu 5

Các phương trình của trường chuẩn dừng

Hướng dẫn và gợi ý:

-Các phương trình Maxwell của trường chuẩn dừng

rot =- , rot = , div = , div =0

-Thế vectơ A của trường chuẩn dừng Brot A

- Điều kiện định cỡ div A0

-Thế vô hướng: E = - grad  -

t

A





trong đó  ( t r, )

-Phương trình Poisson của thế vô hướng





 

2 -Phương trình Poisson của thế vectơ 2Aj

t





2

B H D

E   



H

E 

E

j



2

B H D

E   



P

H

E 



S

P

S

E

t

B





H

j



D

Câu 6

Sóng điện từ phẳng đơn sắc

Hướng dẫn và gợi ý:

-Phương trình của sóng phẳng đơn sắc tổng quát exp i( )

trong đó vectơ sóng , k

v



 là số sóng, -Chứng minh: div , rot ,

-Sóng phẳng đơn sắc là sóng ngang Có các vectơ , , tạo thành một tam diện thuận theo thứ tự như trên

Vậy năng lượng truyền đi với vận tốc bằng vận tốc pha của sóng Sóng truyền đến đâu, năng lượng truyền đến đấy và đối với sóng phẳng đơn sắc truyền trong điện môi năng lượng không bị hấp thụ, không bị mất đi

Câu 7

Chứng minh rằng:

A B RotC B A C A B C

Hướng dẫn và gợi ý:

A B RotC C A B



          

A B C



   

   

   

     

0





 tk r 

n k

k 

) ( 





 i k   i k  





 i

t

 k     k     k  0 k  0

k  

A B.C C B. 

 B A    C  A B    C

Câu 8

Chứng minh rằng:

Hướng dẫn và gợi ý:

 

C.Grad A.B C A.B A.B

 C B     A  A    B 

 CB    A  CA    B

 B C    A  A C    B

 A C    B  B C    A

Câu 9

Tính: Grad r  

Hướng dẫn và gợi ý:

  r r r

Grad r i j k

x y z

r  x  y  z

2

r x

,

x r

 

,





r z

,

z r







  xi yj zk r

Grad r

Câu 10

Tính:

 

Grad a.r ,

Trong đó a là vectơ không đổi

Hướng dẫn và gợi ý:

a.r  a x  a y  a z

   a.r  a.r  a.r

 a i x  a j y  a k z

 a

Câu 11

Dùng hệ tọa độ Descaste chứng minh hệ thức:

 

Div  A  AGrad    DivA

Hướng dẫn và gợi ý:

   Ax  A y  Az

Div A

 

y

x y z

A



 Grad A    DivA

 AGrad    DivA

Câu 12

Tính:

3

p.r Grad

r

Trong đó p là véctơ không đổi

Hướng dẫn và gợi ý:

 

13     13

Grad p.r p.r Grad

p3   13  

p.r Grad r

r

  

  

p 3   r 5

3 p.r

 

Câu 13

Chứng minh rằng: Thế vectơ của từ trường dừng được xác định sai khác nhau một Gradien của một hàm vô hướng bất kỳ f (r)

Hướng dẫn và gợi ý:

B  RotA

     

RotGradf (r)   f f r 0

'

B  B

Câu 14

Trình bày sự khác biệt giữa hai công thức xác định lực điện trường:

, 0 2

1 ee

F e.E







Hướng dẫn và gợi ý:

-Biểu thức

, 0 2

1 ee





+Phù hợp với nguyên lý tác dụng xa, biểu diễn lực tương tác tức thời giữa hai điện tích e và e’

+Chỉ đúng trong trường hợp các điện tích đứng yên hoặc chuyển động chậm và khoảng cách giữa chúng không lớn lắm

-Biểu thức Fe.E

+Phù hợp với nguyên lý tác dụng gần

+Đúng trong mọi trường hợp và không phụ thuộc vào nguyên nhân gây ra điện trường

Câu 16

Giải thích tại sao đại lượng Dt

 được gọi là mật độ dòng điện dịch So sánh

dòng điện dẫn và dòng điện dịch

Hướng dẫn và gợi ý:

- Đại lượng

D t



 có cùng thứ nguyên với vectơ mật độ dòng điện dẫn j

- Chứng minh Dt

 có đơn vị là 2

A m

- Dòng điện dẫn do chuyển động có hướng của các hạt mang điện gây nên, còn dòng điện dịch do sự biến thiên của véc tơ điện dịch (vectơ cảm ứng điện) gây nên

- Dòng điện dịch cũng gây ra một từ trường hoàn toàn giống như từ trường của một dòng điện dẫn bằng nó ( j D

t





 )

Câu 17

Giải thích tại sao hệ số điện dung C 11 luôn là một số dương và hệ số cảm ứng

C 21 luôn là một số âm

Hướng dẫn và gợi ý:

-Biểu thức

1

1

1 S

n



 





- Vì 1(S ) 1,1  1(S )2  0 và   1( ) 0,

- 1 phải giảm theo chiều dương của n1, nên 1

1

0 n

 

 -Vậy C11>0

-Biểu thức

1

2 S2

n



 





-Vì  1 (S ) 2  0, 1(S ) 1,1  và   1( ) 0,

- 1 phải tăng theo chiều dương của n2, nên

1 0 n2

 

 -Vậy C21<0

Câu 18

Chứng minh rằng: Với vật dẫn đặt trong tĩnh điện trường thì ở mặt ngoài vật dẫn, điện trường hướng theo phương pháp tuyến từ trong ra ngoài vật dẫn và

có độ lớn bằng 



Hướng dẫn và gợi ý:

-Điều kiện biên

n 1 1n

t 1t

    

 

-Vì bên trong vật dẫn

E   0 E  E  0

-Nên

n t

E

E n

E 0



     





 

-Vậy, vật dẫn đặt trong tĩnh điện trường thì ở mặt ngoài vật dẫn, điện trường hướng

theo phương pháp tuyến hướng từ trong ra ngoài vật dẫn và có độ lớn bằng 



Câu 19

Dùng định lý Ostrograski – Gauss, tính điện trường ở trong và ngoài một hình trụ

vô tận bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích   const Hằng số điện môi

ở trong và ngoài hình trụ đều bằng 

Hướng dẫn và gợi ý:

Định lý O – G:

S

DdS  e



Theo hình vẽ:

DdS  DdS  DdS  DdS

DdS  DdS  0

xq

xq

DdS   dV

t t



n 2 n 2

D r E r



Câu 20

Dùng phương trình Poisson, tính điện trường ở trong và ngoài một hình trụ vô tận bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích   const Hằng số điện môi ở

trong và ngoài hình trụ đều bằng 

Hướng dẫn và gợi ý:

-Trong hình trụ rR

t

1 r

r r r



     

    

-Ngoài hình trụ r R

n

1

r r r

    

   

-Kết quả

2

t r 4



  



1

t 0

r 2

2 2

n

R ln

2

n 2

r

2 r







Câu 21

Dùng phương trình Poisson, tính điện trường ở trong và ngoài một hình cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích   const Hằng số điện môi ở trong và

ngoài hình cầu đều bằng 

Hướng dẫn và gợi ý:

2 t

2

2 n

2

t

t

n

r R

1

r

r r

r

r R

1

r r

r

e

R r

r 3

e

4 r

e r

E

4 r





       



      

   



 







Câu 22

Một hình trụ dài vô tận bên trong có một lỗ rỗng cũng hình trụ dài vô tận Phần đặc của hình trụ tích điện đều với mật độ điện tích   const Hằng số điện môi ở

phần đặc và phần rỗng đều bằng  Tính điện trường trong phần rỗng

Hướng dẫn và gợi ý:

O

'

O

O

'

O

2

2

M

R R

r r

R

4

r

4







  





 



Câu 23

Một hình cầu bên trong có một lỗ rỗng cũng hình cầu Phần đặc của hình cầu tích điện đều với mật độ điện tích   const Hằng số điện môi ở phần đặc và phần

rỗng đều bằng  Tính điện trường trong phần rỗng

Hướng dẫn và gợi ý:

 

O

' O

O

'

O

2 2

2 2

2

2

M

R R

r r

R

6

r

6







  





 



Câu 24

Dùng định lý Ostrograski – Gauss, tính điện trường ở trong và ngoài một hình cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích   const Hằng số điện môi ở

trong và ngoài hình trụ đều bằng 

Hướng dẫn và gợi ý:

EdS   dV



Ta có: E  dS

t

r E

3 r E

2













2

E





