Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Người đăng: Nguyễn Thị Hằng Nga Ngày: 17112017 Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen về khái niệm mới là đạo hàm. Tech12h xin chia sẻ với các bạn bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm. Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn. Giải bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Nội dung bài học gồm 2 phần: Lý thuyết cần biết Hướng dẫn giải bài tập SGK A. Lý thuyết cần biết I. Đạo hàm tại một điểm 1. Các bài toán dẫn đến khái niệm tìm đạo hàm Bài toán tìm vận tốc tức thời. Giới hạn hữu hạn (nếu có) limt→t0s(t)−s(t0)t−t0được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 Bài toán tìm cường độ tức thời. Giới hạn hữu hạn (nếu có) limt→t0Q(t)−Q(t0)t−t0được gọi là cường độ tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (a;b)và x0∈(a;b) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) limx→x0f(x)−f(x0)x−x0thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y=f(x)tại điểm x0và kí hiệu là f′(x0)(hoặc y′(x0)), tức là:f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 Chú ý: Đại lượng Δx=x−x0được gọi là số gia của đối số tại x0. Đại lượng Δy=f(x)−f(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy, y′(x0)=limΔx→0ΔyΔx 3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa QUY TẮC Bước 1: Giả sử Δxlà số gia của đối số tại x0, tính Δy=f(x0+Δx)−f(x0) Bước 2: Lập tỉ số ΔyΔx Bước 3: Tìm limΔx→0ΔyΔx 4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số ĐỊNH LÍ 1 Nếu hàm số y=f(x)có đạo hàm tại x0thì nó liên tục tại điểm đó. Chú ý: a. Định lí trên tương đương với khẳng đinh: Nếu hàm số y=f(x) gián đoạn tại x0thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. b. Mệnh đề đảo của định lí 1 không đúng: Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó. 5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm ĐỊNH LÍ 2 Đạo hàm của hàm số y=f(x)tại điểm x0là hệ số góc của tiếp tuyến M0Tcủa (C)tại điểm M0(x0;f(x0)) Phương trình tiếp tuyến ĐỊNH LÍ 3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y=f(x)tại điểm M0(x0;f(x0))là: y−y0=f′(x0)(x−x0) trong đó y0=f(x0) 6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm Tính vận tốc tức thời Tính cường độ tức thời. II. Đạo hàm trên một khoảng ĐỊNH NGHĨA Hàm số y=f(x)được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b)nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. Khi đó, ta gọi hàm số f′:(a;b)→Rx→f′(x)là đạo hàm của hàm số y=f(x)trên khoảng (a;b). Kí hiệu là y′hay f′(x) B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11 Tìm số gia của hàm số f(x)=x3, biết rằng : a) x0=1;∆x=1 b) x0=1;∆x=−0,1 => Xem hướng dẫn giải Câu 2: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11 Tính ∆y và ΔyΔx của các hàm số sau theo x và ∆x : a) y=2x−5; b) y=x2−1; c) y=2x3; d) y=1x => Xem hướng dẫn giải Câu 3: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11 Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: a) y=x2+x tại x0=1; b) y=1x tại x0=2; c) y=x+1x−1 tại x0=0. => Xem hướng dẫn giải Câu 4: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11 Chứng minh rằng hàm số f(x)={(x−1)2 nếu x≥0−x2 nếu x Xem hướng dẫn giải Câu 5: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y=x3: a) Tại điểm có tọa độ (−1;−1); b) Tại điểm có hoành độ bằng 2; c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 => Xem hướng dẫn giải Câu 6: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11 Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y=1x: a) Tại điểm (12;2) b) Tại điểm có hoành độ bằng −1; c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 14. => Xem hướng dẫn giải Câu 7: trang 157 sgk toán Đại số và giải tích 11 Một vật rơi tự do theo phương trình s=12gt2 , trong đó g≈9,8 ms2 là gia tốc trọng trường. a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t+∆t, trong các trường hợp ∆t=0,1s;∆t=0,05s;∆t=0,001s. b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t=5s => Xem hướng dẫn giải

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Người đăng: Nguyễn Thị Hằng Nga - Ngày: 17/11/2017

Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen về khái niệm mới là đạo hàm Tech12h xin chia sẻ với các bạn bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn.

Nội dung bài học gồm 2 phần:

 Lý thuyết cần biết

 Hướng dẫn giải bài tập SGK

A Lý thuyết cần biết

I Đạo hàm tại một điểm

1 Các bài toán dẫn đến khái niệm tìm đạo hàm

 Bài toán tìm vận tốc tức thời

Giới hạn hữu hạn (nếu có) limt→t 0 s(t)−s(t 0 )t−t 0được gọi là vận tốc tức thời của chuyển

động tại thời điểm t0

 Bài toán tìm cường độ tức thời

Giới hạn hữu hạn (nếu có) limt→t 0 Q(t)−Q(t 0 )t−t 0được gọi là cường độ tức thời của

chuyển động tại thời điểm t0

2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (a;b)và x0∈(a;b)

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) limx→x 0 f(x)−f(x 0 )x−x 0thì giới hạn đó được gọi là đạo

hàm của hàm số y=f(x)tại điểm x0và kí hiệu là f′(x0)(hoặc y′(x0)), tức là:f′

(x0)=limx→x 0 f(x)−f(x 0 )x−x 0

Chú ý:

 Đại lượng Δx=x−x0được gọi là số gia của đối số tại x0

 Đại lượng Δy=f(x)−f(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)được gọi là số gia tương

ứng của hàm số.

 Như vậy, y′(x0)=limΔx→0ΔyΔx

3 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

QUY TẮC

Bước 1: Giả sử Δxlà số gia của đối số tại x0, tính Δy=f(x0+Δx)−f(x0)

Bước 2: Lập tỉ số ΔyΔx

Bước 3: Tìm limΔx→0ΔyΔx

4 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

ĐỊNH LÍ 1

Nếu hàm số y=f(x)có đạo hàm tại x0thì nó liên tục tại điểm đó

Chú ý:

a Định lí trên tương đương với khẳng đinh: Nếu hàm số y=f(x) gián đoạn tại x0thì nó không có đạo hàm tại điểm đó

b Mệnh đề đảo của định lí 1 không đúng: Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó

5 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

ĐỊNH LÍ 2

Đạo hàm của hàm số y=f(x)tại điểm x0là hệ số góc của tiếp tuyến M0Tcủa (C)tại điểm M0(x0;f(x0))

Phương trình tiếp tuyến

ĐỊNH LÍ 3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y=f(x)tại điểm M0(x0;f(x0))là:

y−y0=f′(x0)(x−x0)

trong đó y0=f(x0)

6 Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

 Tính vận tốc tức thời

 Tính cường độ tức thời

II Đạo hàm trên một khoảng

ĐỊNH NGHĨA

Hàm số y=f(x)được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b)nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó

Khi đó, ta gọi hàm số f′:(a;b)→Rx→f′(x)là đạo hàm của hàm số y=f(x)trên

khoảng (a;b)

Kí hiệu là y′hay f′(x)

B BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11

Tìm số gia của hàm số f(x)=x3, biết rằng :

a) x0=1;∆x=1

b) x0=1;∆x=−0,1

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 2: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11

Tính ∆y và ΔyΔx của các hàm số sau theo x và ∆x :

a) y=2x−5; b) y=x2−1;

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 3: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: a) y=x2+x tại x0=1;

b) y=1x tại x0=2;

c) y=x+1x−1 tại x0=0

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 4: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng hàm số

f(x)={(x−1)2 nếu x≥0−x2 nếu x<0

không có đạo hàm tại điểm x=0 nhưng có đạo hàm tại điểm x=2

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 5: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y=x3:

a) Tại điểm có tọa độ (−1;−1);

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2;

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 6: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11

Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y=1x:

a) Tại điểm (12;2)

b) Tại điểm có hoành độ bằng −1;

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -14

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 7: trang 157 sgk toán Đại số và giải tích 11

Một vật rơi tự do theo phương trình s=12gt2 , trong đó g≈9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường

a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t+∆t, trong các trường hợp ∆t=0,1s;∆t=0,05s;∆t=0,001s

b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t=5s

=> Xem hướng dẫn giải