Bài toán xác đ ịnh một Đa Thức Việc tìm tòi lời giảI bài toán xác định một đa thức th ờng gây lúng túng cho HS.. Nguyên nhân chính là hs đ ợc trang bị đầy đủ các kiến thức cần thiêt nh
Trang 1Bài toán xác đ ịnh một Đa Thức
Việc tìm tòi lời giảI bài toán xác định một đa thức th ờng gây lúng túng cho
HS Nguyên nhân chính là hs đ ợc trang bị đầy đủ các kiến thức cần thiêt nh
ng rời rạc ởcác khối lớp và th ờng thiếu bài tập áp dụng Bài viết này nhằm củng cố kiến thức về đa thức về đa thức trong ch ơng trình toán từ lớp
7 đến lớp 9 đặc biêt ch ơng trình HSG lớp 8
1, Một vài kiến thức cơ bản để giảI loại toán này :
Định lý Bơ-du : phần d của phép chia đa thức f(x) cho nhị thc x – a bằng giá trị của đa thức tại x = a , tức là f(x) = (x –a)g(x) + f(a)
Thực vậy , giả sử f(x) = (x –a)g(x) + r thì f(a) = r
Phơng Pháp hệ số bất định
Giả sử f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0
g(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Nếu f(x) = g(x) với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x thì a3=b3 , a2=b2 , a1=b1 ,
a0=b0
Chứng minh : giả sử với 4 giá trị phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 có :
f(x1)=g(x1) (1) f(x2)=g(x2) (2)
f(x3)=g(x3) (3) f(x4)=g(x4) (4)
Đặt c3=a3 – b3 , c2=a2 – b2 , c1=a1 – b1 , c0=a0 – b0
Trừ theo vế của (1) và (2) đợc :
C3(x3
1 – x3
2 ) + C2(x12 – x22) + C1(x1 – x2) = 0
Vì x1 – x2 ≠ 0 nên
C3(x1 +x1x3+x3 ) + C2(x1 + x2) + C1 = 0 (5)
Tơng tự từ (1) và (3) có
C3(x12 + x1x3 + x32 ) + c2(x1+x3)+c1 = 0 (6)
Trừ theo tong vế của (5) và (6) rồi chia cho x2 – x3 ≠0 đợc
c2+c3(x1+x2+x3)=0 (7)
Tơng tự từ (1) , (2) , (4) có :
C2+c3(x1 + x2 + x4) = 0 (8)
Trừ theo từng vế của (7) và (8) đợc c3(x3 – x4) = 0 ⇒ c3=0 vì x3 – x4 ≠ 0 Thay c3 =0 vào (8) đợc c2 = 0 Từ đó và (6) đợc c1 =0 Thay vào (1) đợc a0 =
b0 suy ra đpcm
2 Một số dạng toán thờng gặp
Dạng 1 : Xác định đa thức bậc n ( n = 2,3) khi biết (n + 1) giá trị của đa thức
Bài toán 1 : Xác định đa thức bậc ba biết f(0) =1 ; f(1) = 0 ; f(2) = 5;f(3)= 22
Lời giải : Gọi đa thức cần tìm là :
F(x) = ax3 + b2 + cx + d
Theo bài ra ta có : f(0) = 1 ⇒d=1
Trang 2f(1) = 0⇒a+b+c = -1 (1)
f(2) = 5⇒4a+2b+c=2 (2)
f(3) = 22⇒9a + 3b +c =7 (3)
Giải hệ phơng trình (1) , (2) , (3) đợc a=1, b=0, c=-2 Vậy f(x)=x3-2x+1 Chú ý rằng để xác định đa thức bậc n thì cần biết n+1 giá trị đa thức , còn nếu chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm đợc có hệ số phụ thuộc một tham số Chẳng hạn ở bài toán 1 nếu bỏ đi điều kiện f(3) = 22 thì khi giải hệ phơng trình (1) (2) và d =1 ta đợc f(x) =ax3+(3-3a)x2+(2a- 4)x+1 với a tham số
Dạng 2 : Xác định đa thức d khi biết một số phép chia khác
Bài toán 2 : Đa thức f(x) khi chia cho x+1 d 4 , khi chia cho x2+1 d 2x+3 Tìm đa thức d khi chia f(x) cho (x+1)(x2+1)
Lời giải : Theo định lí Bơ-du ta có f(-1) = 4 (4) Do bậc của đa thức chia (x+1)(x2+1) là 3 nên đa thức d có dạng bậc hai ax2+bx+c
Giả sử
f(x) = (x+1)(x2+1).q(x)+ax2+bx+c
= [(x+1).q(x)+a].(x2+1)+bx+c-a (5)
Mà f(x) chia cho (x2+1) d 2x+3 (6)
Từ (4) , (5), (6) có b=2 (7) , c - a =3 (8),
a – b + c =4 (9)
Giải hệ phơng trình (7)(8)(9) suy ra đa thức d cần tìm là 2 92
2
3 2
+ + x
rằng để tìm đa thức d khi chia f(x) cho g(x) ở điều kiện để bài ta biết phép chia f(x) cho các đa thức thơng của g(x)
Dạng 3: Xác định đa thức khi biết điều kiện của các hệ số
Bài toán 3 : Tìm các đa thức f(x) có tất cả các hệ số đều là số nguyên không
âm nhỏ hơn 8 và thoả mãn : f(x) =2003
Lời giải : Xét đa thức
F(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 với a0,a1,…,an-1,an đều là các số nguyên không
âm và nhỏ hơn 8 Do f(8) = 2003 nên an8n+an-18n-1+…+a18+a0 = 2003 ở đây a0 ,
a1 , , an-1 , an là các chữ số của năm 2003 cho 8 đợc d a0 =3 , lại lấy thơng chia cho 8 , liên tiếp nh thế , ta đợc đa thức cần tìm là :
F(x) = 3x3+7x2+2x+3
Bài toán tổng quát là : Tìm các đa thức f(x) sao cho tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn a và biết f(a) = b , trong đó a,b là các số đã cho Dạng 4: Xác định đa thức thoả mãn một hệ thức đối với f(x)
Bài toán 4 : Tìm các đa thức f(x) bậc nhỏ hơn 4 và thoả mãn hệ thức sau
với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x :
3f(x) – f(1-x) = x2+1 (10)
Lời giải : Giả sử f(x) = a3x3 +a2x2 +a1x + a0
Sử dụng phơng pháp hệ số bất định ta có :
Trang 34a3x3 =0⇒a3 =0 suy ra 2a2x2 =x2 ⇒a2 =12 , từ đó có (4a1+1)x = 0 ⇒a1 =-41
và 2a0 -
4
1
= 1 ⇒a0 =
8
5
Vậy f(x)
8
5 4
1 2
1 2
+
−
x
Các bạn hãy chứng minh phơng pháp hệ số bất định đối với hai đa thức có bậc
4 , bậc 5 và tìm thêm các dạng khác của bài toán xác định đa thức
Dạng 5: Tìm giá trị của một đa thức
Bài toán 5: Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 5 ,
f(2)=11, f(3) =21 Tính f(-1) + f(5)
Lời giảI : Nhận xét g(x) = 2x2 + 3 thoả mãn f(1) =5 , f(2) = 11 , f(3) =21 Q(x) = f(x) – g(x) là đa thức bậc 4 có 3 nghiệm x=1, x=2 , x=3
Vậy Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) ta có :
f(-1) = Q(-1) + 2.(-1)2 + 3 = 29 + 24a
f(5) = Q(5) + 2,(5)2 +3 =173 +24a Suy ra f(-1) + f(5) = 202
Bài toán 6 : Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số cao nhất là 1
Giả sử P( 1) = 0 , P (3) = 0 , P (5) = 0 , Hãy tính giá trị cúa biểu thức
Q = P(-2) +7 P(6) ( Trích đề thi Olympic lớp 8 (08-09)
Hơng Sơn Hà Tĩnh
Lời giảI : Vì P(1) = 0 , P(3) = 0, P(5) = 0 nên đa thức P(x) nhận 1; 3 ; 5 làm nghiệm VậyP(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x-a) Từ đó suy ra P(-2) = 210 + 105a và 7P(6) = 630 – 105a vậy Q = P(-2) + 7P(6) = 840
Các bạn có thể giảI thêm các bài tập sau : Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1
và thoả mãn g(-1) = 5 ; g(2) = 11 ; g (4) = 35 Tính P = G(-1) +4G(5)
Chúc các bạn thành công và học thật giỏi
Hơng Sơn ngày 10-5-2009