Cực trị hàm số có tham số

Cho hàm số: 42 21 y x mx = + đồthị ( ); m Cm là tham số. Định m để đồthịhàm sốcó 3 cực trịlà 3 đỉnh của tam giác đều . 42 2 1; y x mxD = += ¡ 3 22 2 0 4 4 4 ( ); 0 4 ( )0 () x yx mx x x m y x xm xm é = = = = Û =Û ê = ê ë Để () m C có 3 cực trịkhi 0 y = có 3 nghiệm phân biệt khi đó phươngtrình () có 2 nghiệm phân biệt khác 0 hay 0 m > Với 0 m > thì đồthị () m C có 3 cực trị 22 ( ; 1 ); (0 ; 1 ); ( ; 1) A m m B C mm + + Do tính đối xứngcủa hàm trùngphươngnên ABC D đều 3 2 2 43 4 ( 3) 03 AB AC AB AC m mm m mm = Û = Û + = Û = Þ= thỏa điều kiện 0 m > Cho hàm số 42 4 y x mx xm = ++ đồthị ( ); m Cm là tham số. Định m để đồthịhàm sốcó 3 cực trị. 4 23 4 4 2 4 () y x mx x m y x mx fx = + + Þ = += Cách 1 : Đểhàm sốcó 3cực trịkhi phươngtrình ( )0 fx = có 3 nghiệm phân biệt khi đó () fx có cực đại cực tiểu và ( ). ( )0 CD CT f x fx < 3 22 ( ) 4 2 4 ( ) 12 2 ; ( )0 6 m f x x mx f x x m f xx = + Þ = = Û= () fx có cực đại cực tiểu khi và chỉkhi () fx có 2 nghiệm phân bi

T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net

Cho hàm số :y x= 4 −2mx2 +1 đồ thị ( );C m là tham số Định m để đồ thị hàm số có 3 cực trị là 3 m

đỉnh của tam giác đều

4 2 2 1;

y x= − mx + D = ¡

2

0

Để ( )C có 3 cực trị khi ' 0 m y = có 3 nghiệm phân biệt khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 hay m >0

Với m > 0 thì đồ thị ( )C có 3 cực trị m A(− m m;− 2 +1); (0;1); (B C m m;− 2 +1)

Do tính đối xứng của hàm trùng phương nên ∆ABC đều

3

AB AC= ⇔AB =AC ⇔m +m = m ⇔m m − = ⇒m = thỏa điều kiện m >0

Cho hàm số y x= 4 −mx2 +4x m+ đồ thị ( );C m là tham số Định m để đồ thị hàm số có 3 cực trị m

y x= −mx + x m+ ⇒y = x − mx + = f x

Cách 1 : Để hàm số có 3 cực trị khi phương trình f x( ) 0= có 3 nghiệm phân biệt khi đó f x có cực đại ( ) cực tiểu và f x( ) ( ) 0CD f x CT <

6

m

f x = x − mx + ⇒ f x = x − m f x = ⇔x =

( )

f x có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi '( ) f x có 2 nghiệm phân biệt ⇔m > 0

3

3 3

16

Cách 2 : Phương trình f x( ) 0= có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình 2x3 + =2 mx có 3 nghiệm phân biệt ; nghĩa là

3

2

+

2 2

( ) 2

x

= + có tập xác định D = ¡\ {0}

lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( )

x→−∞g x x→+∞g x x −g x x +g x

3

2

x

−

Dựa vào bảng biến thiên , f x( ) 0= có 3 nghiệm phân biệt khi m > 3 23

Cho hàm số :

1

y

x

=

− Tìm m để hàm số có cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm

cực trị tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2?