Hệ tọa độ trong không gian Người đăng: Nguyễn Linh Ngày: 03072017 Bài học đầu tiên chương 3 với nội dung: Hệ tọa độ trong không gian. Một kiến thức mới đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, Tech12h sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn Giải bài 1: Hệ tọa độ trong không gian A. Tổng hợp kiến thức I. Tọa độ điểm và vectơ Ta có: OM−→−=xi⃗ +yj⃗ +zk⃗ Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian => Bộ ba số ( x; y; z ) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz . Ký hiệu: M = ( x; y; z ) hay M( x; y; z ). Ta có: a⃗ =a1i⃗ +a2j⃗ +a3k⃗ => Bộ ba số (a1;a2;a3) là tọa độ của vectơ a⃗ với hệ trục tọa độ Oxyz . Ký hiệu: a⃗ =(a1;a2;a3) hay a⃗ (a1;a2;a3). II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a⃗ (a1;a2;a3) và b⃗ (b1;b2;b3). Ta có: a⃗ +b⃗ =(a1+b1;a2+b2;a3+b3) a⃗ −b⃗ =(a1−b1;a2−b2;a3−b3) ka⃗ =k(a1;a2;a3) với k là số thực ==> Hệ quả: a⃗ =b⃗ a1=b1;a2=b2;a3=b3 0⃗ =(0;0;0) a⃗ ,b⃗ cùng phương a1=kb1;a2=kb2;a3=kb3 AB−→−=OB−→−−OA−→−=(xB−xA;yB−yA;zB−zA) III. Tích vô hướng Định lí Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ a⃗ (a1;a2;a3) và b⃗ (b1;b2;b3) xác định bởi: a⃗ .b⃗ =(a1.b1+a2.b2+a3.b3) Ứng dụng Độ dài vectơ: a⃗ =a21+a22+a23−−−−−−−−−−√ Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz cho A(xA,yA,zA) và B(xB,yB,zB), ta có: AB=∣∣∣AB−→−∣∣∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ Góc giữa hai vectơ: Góc giữa a⃗ (a1;a2;a3) và b⃗ (b1;b2;b3) là φ cosφ=cos(a⃗ ,b⃗ )=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23√.b21+b22+b23√ Đặc biệt: a⃗ ⊥b⃗ a1b1+a2b2+a3b3=0 IV. Phương trình mặt cầu Định lí Trong không gian Oxyz, mặt cầu S có tâm I( a; b; c ) bán kính r có phương trình là: (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2 B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Trang 68 sgk hình học 12 Cho ba vectơ a⃗ =(2;−5;3), b⃗ =(0;2;−1), c⃗ =(1;7;2) a) Tính tọa độ của vectơ d⃗ =4a⃗ −13b⃗ +3c⃗ b) Tính tọa độ của vectơ e⃗ =a⃗ −4b⃗ −2c⃗ => Xem hướng dẫn giải Câu 2: Trang 68 sgk hình học 12 Cho ba điểm A(1; 2; 1), B(0; 1; 2), C(1;0;1). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. => Xem hướng dẫn giải Câu 3: Trang 68 sgk hình học 12 Cho hình hộp ABCD.ABCD biết A=(1;0;1),B=(2;1;2),D=(1;−1;1),C′(4;5;−5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. => Xem hướng dẫn giải Câu 4: Trang 68 sgk hình học 12 a) Tính a⃗ .b⃗ với a⃗ =(3;0;−6) và b⃗ =(2;−4;0) b) Tính c⃗ .d⃗ với c⃗ =(1;−5;2) và b⃗ =(4;3;−5) => Xem hướng dẫn giải Câu 5: Trang 68 sgk hình học 12 Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau đây: a) x2+y2+z2–8x–2y+1=0 b) 3x2+3y2+3z2–6x+8y+15z–3=0 => Xem hướng dẫn giải Câu 6: Trang 68 sgk hình học 12 Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây: a) Có đường kính AB với A(4; 3; 7), B(2; 1; 3) b) Đi qua điểm A(5; 2; 1) và có tâm C(3; 3; 1) => Xem hướng dẫn giải
Trang 1Hệ tọa độ trong không gian
Người đăng: Nguyễn Linh - Ngày: 03/07/2017
Bài học đầu tiên chương 3 với nội dung: Hệ tọa độ trong không gian Một kiến thức mới đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài toán Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, Tech12h sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu
Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn
A Tổng hợp kiến thức
I Tọa độ điểm và vectơ
Ta có: OM−→−=xi⃗ +yj⃗ +zk⃗
=> Bộ ba số ( x; y; z ) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz
Ký hiệu: M = ( x; y; z ) hay M( x; y; z )
Ta có: a⃗ =a1i⃗ +a2j⃗ +a3k⃗
Trang 2=> Bộ ba số (a1;a2;a3) là tọa độ của vectơ a⃗ với hệ trục tọa độ Oxyz
Ký hiệu: a⃗ =(a1;a2;a3) hay a⃗ (a1;a2;a3)
II Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
• Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a⃗ (a1;a2;a3) và b⃗ (b1;b2;b3) Ta có:
a⃗ +b⃗ =(a1+b1;a2+b2;a
3+b3)
a⃗ −b⃗ =(a1−b1;a2−b2;a
3−b3)
ka⃗ =k(a1;a2;a3) với k là
số thực
==> Hệ quả:
a⃗ =b⃗ <=>a1=b1;a2=b
2;a3=b3
0⃗ =(0;0;0)
a⃗ ,b⃗ cùng phương
<=> a1=kb1;a2=kb2;a3
=kb3
AB−→−=OB−→−
−OA−→−=(xB−xA;yB
−yA;zB−zA)
III Tích vô hướng
Định lí
• Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ a⃗ (a1;a2;a3) và b⃗ (b1;b2;b3) xác định bởi:
a⃗ b⃗ =(a1.b1+a2.b2+
a3.b3)
Ứng dụng
• Độ dài vectơ:
a⃗ =a21+a22+a23−−
−−−−−−−−√
Trang 3• Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz cho A(xA,yA,zA) và B(xB,yB,zB), ta có:
AB=∣∣∣AB−→−∣∣∣=
(xB−xA)2+(yB−yA)2+
(zB−zA)2−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−√
• Góc giữa hai vectơ: Góc giữa a⃗ (a1;a2;a3) và b⃗ (b1;b2;b3) là φ
cosφ=cos(a⃗ ,b⃗ )=a 1 b 1
+a 2 b 2 +a 3 b 3 a 21 +a 22 +a 23 √.b 21
+b 22 +b 23 √
• Đặc biệt:
a⃗ ⊥b⃗ <=>a1b1+a2b
2+a3b3=0
IV Phương trình mặt cầu
Định lí
• Trong không gian Oxyz, mặt cầu S có tâm I( a; b; c ) bán kính r có phương trình là:
(x−a)2+(y−b)2+
(z−c)2=r2
B BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Trang 68 - sgk hình học 12
Cho ba vectơ a⃗ =(2;−5;3), b⃗ =(0;2;−1), c⃗ =(1;7;2)
a) Tính tọa độ của vectơ d⃗ =4a⃗ −13b⃗ +3c⃗
b) Tính tọa độ của vectơ e⃗ =a⃗ −4b⃗ −2c⃗
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 2: Trang 68 - sgk hình học 12
Cho ba điểm A(1; -2; 1), B(0; 1; 2), C(1;0;1) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Trang 4=> Xem hướng dẫn giải
Câu 3: Trang 68 - sgk hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A=(1;0;1),B=(2;1;2),D=(1;−1;1),C′(4;5;−5) Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 4: Trang 68 - sgk hình học 12
a) Tính a⃗ b⃗ với a⃗ =(3;0;−6) và b⃗ =(2;−4;0)
b) Tính c⃗ d⃗ với c⃗ =(1;−5;2) và b⃗ =(4;3;−5)
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 5: Trang 68 - sgk hình học 12
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau đây:
a) x2+y2+z2–8x–2y+1=0
b) 3x2+3y2+3z2–6x+8y+15z–3=0
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 6: Trang 68 - sgk hình học 12
Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:
a) Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
b) Đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
=> Xem hướng dẫn giải