hàm số 1 image marked image marked

Đáp án B Phương pháp: Lập bảng biến thiên của g x và đánh giá số giao điểm của đồ thị hàm số y=g x và trục hoành... Đáp án D: Đồ thị hàm số bậc ba luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1

Câu 1: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số = +12

+

mx y

x m

có giá trị lớn nhất trên đoạn [2; 3] bằng 5

6

A

3

2

5

=





 =



m

2 2 5

=





 =



m

3 3 5

=





 =



m

Đáp án A

Phương pháp giải:

Xét các trường hợp của tham số, lập bảng biến thiên để tìm max – min trên đoạn

Lời giải:

Xét hàm số = +12

+

mx y

x m trên đoạn  2;3 có

3 2

1 '= − ;  2;3 +

m

x m

TH1: Với 3

−   

2;3

+

+

m

m

TH2: Với 3

−   

2;3

+

+

m

m

Vậy có hai giá trị cần tìm là 1 3; 2 2

5

Câu 2: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Hàm số 1 3 2

3

= − + + đồng biến trong khoảng nào sau đây?

A. (− và ;1) (3; + ) B. ( )1;3 C. (3; + ) D. (− ;1)

Đáp án A

Phương pháp:

- TXĐ

- Tính đạo hàm y’

- Tìm nghiệm của phương trình y '=0và điểm mà tại đó y’ không xác định

- Xét dấu y’

- Kết luận

x 3 3

=



Hàm số đồng biến trên các khoảng (− và ;1) (3; + )

Câu 3: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Với k là số nguyên dương Kết quả của giới hạn

k

lim n là

A. n B. 0 C. + D. −

Đáp án C

Cách giải: k

lim n = + , k +

Câu 4: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2): Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số ở dưới

đây Hàm số đó là hàm số nào?

y= −2x −6x +6x 1+

y=2x −6x +6x 1+

y= −2x −6x −6x 1+

y=2x −6x −6x 1+

Đáp án B

Phương pháp: Loại trừ phương án sai

Cách giải: Hàm số ở bốn phương án có dạng 3 2

y=a x +bx +cx+d, a0 Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên R  a 0

=> Loại đi phương án A và C

Mặt khác, hàm số đồng biến trên Ry ' 0, x

y=2x −6x −6x 1+ y '=6x −12x 6−

y '=0 có hai nghiệm phân biệt 3 2

 = − − + có khoảng đồng biến, có khoảng nghịch biến

=>Loại đi phương án D

=>Chọn phương án B

Câu 5: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho hàm số 3 2

y=x +3x +1 Số điểm cực trị của hàm số là

Đáp án D

Phương pháp: Hàm số bậc ba 3 2

y=a x +bx +cx+d, a0 :

y '=0 có hai nghiệm phân biệt : Hàm số có 2 điểm cực trị

y '=0có 1 nghiệm (nghiệm kép) : Hàm số không có cực trị

y '=0vô nghiệm : Hàm số không có cực trị

Cách giải: 3 2 2 x 0

=



= + +  = + =  = −  Hàm số có hai điểm cực trị

Câu 6: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Phương trình 3

x −12x+ − =m 2 0 có ba nghiệm phân biệt với m thuộc khoảng

A. 18 m 14−   B. − 4 m4 C. 14 m 18−   D. 16 m 16−  

Đáp án A

Phương pháp: Sử dụng sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số để đánh giá số nghiệm của phương trình

x −12x m 2+ − = 0 x −12x 2− = −m *

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 3

y=x −12x−2 và đường thẳng y= −m

Xét 3

y '=3x −12=  = 0 x 2

Bảng biến thiên:

Khi đó, 3

y=x −12x−2cắt y= −m tại 3 điểm phân biệt  −  − 18 m 14 −   14 m 18

Câu 7: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của

y=2x +3x −12x+2 trên đoạn −1; 2 Tỉ số M

m bằng

3

2

−

Đáp án B

y 2x 3x 12x 2 y ' 6x 6x 12 0

 =  −

= −  −

 

1;2

1;2

M

−

−

= − =





Câu 8: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho đồ thị hàm số

( )

a x 1

+

− Giao điểm của hai đường tiệm cận là I 2; 1( − Giá trị của a, b )

là:

A. a=2; b= −1 B. a=4; b= −2 C. a=4; b=2 D. a= −2; b=4

Đáp án D

Phương pháp :Nếu

x

Nếu

0

0

xlim yx x x

→ =   = là TCĐ của đồ thị hàm số

Cách giải:

a x 1

+

= = giao điểm của hai

đường tiệm cận là

b 2

2 2

1 2

 =





Câu 9: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Với giá trị nào của tham số m thì hàm số

y

+

=

+ nghịch biến trên khoảng (1; + ? )

A. (−2; 2) B. m −2 C. −1; 2) D. (− ;1)

Đáp án C

Phương pháp: Hàm số y=f x( )nghịch biến trên khoảng Df ' x( )  0, x D, f ' x( )= 0 tại hữu hạn điểm thuộc D

Cách giải:

2 2

Hàm số y mx 4

+

=

+ nghịch biến trên khoảng (1; + )

2



Câu 10: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho hàm sốy=f x( )có

đồ thị như hình vẽ Số cực trị của hàm số ( 2 )

y=f x −2x

Đáp án B

Phương pháp: Đạo hàm hàm hợp : y=f u x( ( ) ) =y ' f ' u x u ' x( ( ) ) ( )

Cách giải: Dựa vào đồ thị hàm sốy=f x( )ta thấy hàm số có hai điểm cực trị là

( )

x 2

x 0

=





2 2

2

y f x 2x y ' f ' x 2x 2x 2

x 0

x 2

f ' x 2x 0

2x 2 0

x 1

x 1

=



 = 

− =

Vậy, hàm số ( 2 )

y=f x −2x có 5 cực trị

Câu 11: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m

không lớn hơn 2018 để hàm số 3 2 ( )

y=x −6x + m 1 x 2018− + đồng biến trên khoảng

(1;+ )?

Đáp án D

Cách giải: y=x3−6x2+(m 1 x 2018− ) +  =y ' 3x2−12x m 1+ −

( )

2

+     Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệtx , x1 2(x1x2)

Theo đinh lí Viet ta có

1 2

1 2

m 1

x x

3





Khi đó, để hàm số đồng biến trên khoảng (1; + thì )

1

1 2



− 

1 2

m 1

3

−



Vậy m 13

Mà m2018, m +  m 13;14;15; ; 2018

Số giá trị của m thỏa mãn là: 2018 13 1 2006− + =

Câu 12: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Tổng các giá trị của m để đường thẳng

( )d : y= − + cắt x m ( ) 2x 1

C : y

x 1

= + tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 2 2= bằng

: Đáp án B

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm

- Sử dụng định lý Vi – ét , tìm m

Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của ( )d : y= − + và x m ( ) 2x 1

C : y

x 1

=

2x 1

x 1

+

(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt và khác -1

2

2 2

 

Gọi tọa độ giao điểm là A x ; y , B x ; y( 1 1) ( 2 2)x , x1 2 là nghiệm của (1)

Theo Vi – ét: 1 2

1 2



= − +



=



( Thỏa mãn điều kiện (2))

Tổng các giá trị của m là: 1+ − = − ( )7 6

Câu 13: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho hàm sốy=f x( )có đạo hàm liên tục trên

đồ thị hàm số y=f ' x( )như hình vẽ

Biết f 2( )= −6, f( )− = − và hàm số4 10 ( ) ( ) x2 ( )

g x f x , g x

2

= + có ba điểm cực trị Phương trình g x( )=0?

A. Có đúng 2 nghiệm B. Vô nghiệm

C. Có đúng 3 nghiệm D. Có đúng 4 nghiệm

Đáp án B

Phương pháp: Lập bảng biến thiên của g x và đánh giá số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) ( )

y=g x và trục hoành

Cách giải: ( ) ( ) x2 ( ) ( )

2

g ' x = 0 f ' x = − x

Xét giao điểm của đồ thị hàm sốy=f ' x( ) và đường thẳng y= −xta thấy, hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ là: −2; 2; 4 tương ứng với 3 điểm cực trị của y=g x( )

−

Bảng biến thiên:

( )

( )

6

−

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x( )  0 x ( )2; 4  phương trình g x( )= không có 0 nghiệm x( )2; 4

Câu 14: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho ba điểm A(1; 3 ;− ) (B −2;6)và C(4; 9− ) Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho véc tơ u=MA MB MC có độ dài nhỏ nhất + +

A M( )2;0 B M( )4;0 C M( )3;0 D M( )1;0

Đáp án D

Phương pháp:

- Gọi điểm M m( ;0 ) Ox

- Tính tọa độ các véc tơ MA MB MC, ,  u = MA MB+ +MC

- Sử dụng công thức: a=(x1; y ;1) b=(x2; y2) + =a b (x1+x ; y2 1+y2)

- Tìm GTNN của biểu thức ở trên, từ đó suy ra mM

Cách giải: Gọi M m( ;0 ) Ox , ta có:

(1 ; 3 ;) ( 2 ;6 ;) (4 ; 9)

(3 3 ; 6)

MA MB+ +MC= − m −

 MA MB+ +MC = − m + − = m− +

 MA MB+ +MC = m− +   MA MB+ +MC 6

Do đó min u =6 khi 3m− =  = 3 0 m 1 m( )1;0

Câu 15: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Tìm giá trị cực tiểu y CTcủa hàm số 4 2

A y CT =4 B y CT = −3 C y CT =3 D y CT = −4

Đáp án D

Phương pháp:

Cách tìm cực trị của hàm số đa thức:

- Tính y'

- Tìm các nghiệm của y'=0

- Tính các giá trị của hàm số tại các điểm làm cho y'=0 và so sánh, rút ra kết luận

Cách giải:

=  = −





 = −  = −



Từ đó suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x= 1và y CT = −4

Câu 16: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Đồ thị hàm số nào sau đây nằm phía dưới trục hoành?

Đáp án C

Phương pháp:

- Sử dụng dáng điệu các hàm số, sự tương giao đồ thị để loại trừ đáp án

- Đồ thị hàm số y= f x xác định trên D, luôn nằm dưới trục hoành khi và chỉ khi ( )

( )  0,

f x x D

Cách giải:

Đáp án A: Xét phương trình 2

− − + =t t có ac= −1.1= − 1 0 nên có hai nghiệm t t1, 2thỏa mãn t1 0 t2

Do đó, phương trình 2

− − + =t t có hai nghiệm x1,2=  t2 Loại A

Đáp án B: Xét phương trình 2

− + − =t t có ac= −1.1= − 1 0nên có hai nghiệm t t1, 2thỏa mãn t1 0 t2

Do đó, phương trình 2

− + − =t t có hai nghiệm x1,2=  t2 Loại B

Do đó đồ thị hàm số 4 2

y x x luôn nằm dưới trục hoành

Đáp án D: Đồ thị hàm số bậc ba luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm nên loại D

Câu 17: (Chuyên Bắc Ninh-2018)Tính đạo hàm của hàm số ( 2 )

5

A

1 '

2 ln 5

=

+

y

2 '

2

= +

x y

2 ln 5 '

2

= +

x y

2 '

2 ln 5

= +

x y

x

Đáp án D

Phương pháp: Áp dụng công thức tính đạo hàm hàm số logarit ( ) u'

ln

=

a u

u a

Cách giải: Ta có: ( )

2

'

2 ln 5 2 ln 5

+

y

Chú ý khi giải: HS thường quên tính u ' dẫn đến chọn nhầm đáp án A

Câu 18: (Chuyên Bắc Ninh-2018)Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số bị chặn?

A 2 1

1

+

=

+

n

n

u

n B u n =2n+sin( )n C u n =n2 D 3

1

n

u n

Đáp án A

Phương pháp:

- Dãy số ( )u n được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, nghĩa là: tồn tại

,

Chú ý: Nếu limu n =  thì ta kết luận ngay dãy không bị chặn

Cách giải:

+ − +

n

n n

Đáp án B, C, D: limu n = +nên các dãy số này đều không là dãy bị chặn

Câu 19: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Hàm số nào trong bốn hàm số sau có bảng biến thiên như hình vẽ bên?

Đáp án C

Phương pháp:

Quan sát bảng biến thiên, tìm các điểm mà đồ thị hàm số đi qua rồi rút ra kết luận

Cách giải: Từ bảng biến thiên ta thấy:

- Đồ thị hàm số đi qua điểm ( )0; 2 nên loại B, D

- Đồ thị hàm số đi qua điểm (2; 2− nên thay ) x=2vào hi hàm số A và C ta được:

Đáp án A: 3

Đáp án C: 3 2

Chú ý khi giải: Có nhiều cách làm cho bài toán này, HS cũng có thể xét từng hàm số, lập bảng

biến thiên và đối chiếu kết quả nhưng sẽ mất nhiều thời gian hơn Cần chú ý sử dụng phối hợp nhiều phương pháp để giải bài toán nhanh nhất

Câu 20: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho hàm số 1 3 2

3

y x x x có đồ thị (C) Trong các tiếp tuyến với đồ thị (C), hãy tìm phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

Đáp án C

Phương pháp :

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x tại điểm có hoành độ ( ) x0 có hệ số góc là

( )0

'

y x và có phương trình y= f '( )(x0 x x− 0)+y 0

Cách giải :

của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0, khi đó hệ số góc nhỏ nhất bằng 8− khi và chỉ khi

3

=

x

Tại x0 =3 ta có y0 = −14

Vậy phương tình tiếp tuyến cần tìm là y= −8(x− − = − +3) 14 8x 10

Câu 21: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Tìm tập xác định D của hàm số 1

2

 

=  

 

x y

A D= +(1; ) B D= − +( ; ) C D=(0;+) D D=( )0;1

Đáp án B

Phương pháp: Hàm số mũ = x

y a có tập xác định D=R

Cách giải: Hàm số 1

2

 

=  

 

x

y là hàm số mũ nên có TXĐ D=R

Chú ý khi giải : Tránh nhầm lẫn với hàm số lũy thừa, một số bạn sẽ chọn nhầm đáp án C Câu 22: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

4x−2 2m x+ + =m 2 0 có 2 nghiệm phân biệt

Đáp án C

Phương pháp:

Đặt 2x = ( 0)

t t , đưa về phương trình bậc 2 ẩn t, tìm điều kiện của phương trình bậc 2 ẩn t

để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt

Cách giải: Đặt 2x = ( 0)

t t khi đó phương trình trở thành 2 ( )

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt

Khi đó:

2

2 1

  −







m m

Chú ý và sai lầm: Rất nhiều học sinh sau khi đặt ẩn phụ thì quên mất điều kiệnt0, dẫn đến việc chỉ đi tìm điều kiện đề phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

Câu 23: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho hàm số ( ) 3 2

đồ thị là đường cong trong hình bên Hỏi phương trình

( 3 2 ) (3 3 2 )2

phân biệt?

Đáp án C

Phương pháp:

t x x f x , dựa vào đồ thị hàm số đã cho tìm ra các nghiệm t i

Xét các phương trình f x( )=t , số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm

số y= f x và đường thẳng ( ) y=t isong song với trục hoành

Cách giải:

t x x f x khi đó phương trình trở thành 3 2

( ) 3 2

f t t t có hình dáng y như trên Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy ( ) 11 3

 = −



= =

 = +



t

f t t

t

Với t= +1 3 f x( )= +1 3 1 ( ) Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm y= f x và đường thẳng ( ) y= +1 3song song với trục hoành

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y= +1 3cắt đồ thị hàm số y= f x tại 1 điểm ( )

duy nhất nên phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất

Với t= 1 f t( )=1 2 ( ) Lập luận tương tự như trên ta thấy phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt

Với t= −1 3 f t( )= −1 3 3 ( ) Phương trình 3 có 3 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình ban đầu có 7 nghiệm phân biệt

Chú ý và sai lầm: Sau khi đặt ẩn phụ và tìm ra được 3 nghiệm t, nhiều học sinh kết luận sai lầm

phương trình có 3 nghiệm phân biệt và chọn đáp án A Số nghiệm của phương trình là số nghiệm

x chứ không phải số nghiệm t

Câu 24: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho hàm số y= f x với đạo hàm ( ) f '( )x có đồ thị như

hình vẽ Hàm số ( ) ( ) 3 2

2 3

g x f x x x đạt cực đại tại điểm nào ?

A x= −1

B x=1

C x=0

D x=2

Đáp án B

Phương pháp giải: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số để kết luận điểm cực trị

Lời giải:

3

'( )= ' − +2 −  1;

Từ đồ thị hàm số f '( )x ta thấy: ( ) ( )2

' 0 = =1 0 1−

f nên x=0là một nghiệm của g x'( )

' 1 = = −0 1 1  =1

f x là một nghiệm của g x'( )

f x là một nghiệm của g x'( )

Vậy phương trình (*) có ba nghiệm phân biệtx1=0,x2 =1,x3 =2

Vẽ đồ thị hàm số ( )2

1

y x trên cùng mặt phẳng tọa độ với y= f ' )(x ta thấy:

Trong khoảng(0;1) thì đồ thị hàm sốy= f ' )(x nằm phía trên đồ thị hàm số ( )2

1

Trong khoảng(1; 2) thì đồ thị hàm số y= f ' )(x nằm phía dưới đồ thị hàm số ( )2

1

y x

nên

( ) ( )

'   0, 1; 2

Vậy x=1 là điểm cực đại của hàm số y=g x( )

Câu 25 : (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho hàm số ( ) 3 ( ) 2

các giá trị thực của tham số m để f '( )x   0, x

A (− − ; 2) (4;+ B ) −2; 4 C (− − ; 2) 4;+ D ) (−2; 4)

Đáp án D

Phương pháp giải:

Dựa vào dấu của tam thức bậc hai để xét nghiệm của bất phương trình bậc hai chứa tham số

Lời giải: Ta có ( ) 2 ( )

' =3 +2 −1 +3

'    0, 3 +2 −1 +   3 0,

Câu 46: (Chuyên Bắc Ninh-2018)Cho hàm số y= f x liên trục trên R và có đạo hàm ( )

( ) ( )( ) (2 )2017

f x x x x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A Hàm số đồng biến trên các khoảng( )1; 2 và (3; + )

B Hàm số có ba điểm cực trị

C Hàm số nghịch biến trên khoảng( )1;3

D Hàm số đạt cực đại tại x=2, đạt cực tiểu tạix=1 và x=3

Đáp án C

Dựa vào phương trình đạo hàm bằng 0 Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó kết luận tính đơn điệu cũng như điểm cực trị của hàm số

Lời giải: Ta có ( ) ( )( ) (2 )2017 ( )( ) ( ) (2 )2016

Suy ra '( ) 0 3

1







x

f x

x và f '( )x   0 x ( )1;3 , đồng thời x=2 không là điểm cực trị của hàm số

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( )1;3

Câu 26: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Gọi M a b( ; ) là điểm trên đồ thị hàm số 2 1

2

+

= +

x y

x mà có khoảng cách đến đường thẳng d y: =3x+6 nhỏ nhất Khi đó

A a+2b=1 B a b+ =2 C a b+ = −2 D a+2b=3

Đáp án C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đưa về khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất

Lời giải:

+

a a

Xét hàm số ( ) 3 2 10 11

2

=

+

f a

2 2

3 2



f a

a a

Tính các giá trị f ( )− =1 4;f ( )− = −3 8 và ( ) ( )

2

x f a x f a

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số f a( ) bằng 4 = −a 1

1

= −



 + = −

 = −



a

a b b

Câu 27: Câu 23: ( Chuyên Đại Học Vinh) Đạo hàm của hàm số y=xlnx trên khoảng

(0; + là: )

A. y'=lnx B. y =' 1 C. y' 1

x

Đáp án D

Ta có: y' lnx x1 lnx 1

x

Câu 28: ( Chuyên Đại Học Vinh) Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau Mệnh đề nào dưới đây sai?

y’ + 0 - 0 +

− -1

A. Giá trị cực đại của hàm số là y =2 B. Điểm cực đại của đồ thị hàm số (−1; 2)

C. Hàm số không đạt cực tiểu tại điểm x = 2 D. Hà số đạt cực đại tại điểm x = − 1

Đáp án C

Câu 29: ( Chuyên Đại Học Vinh) Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2

y= + +x x + x+ là

Đáp án B

Hàm số có tập xác định D =

2

2

2

2

x→− x x x

+ − + + Đồ thị hàm số có TCN y =0

Câu 30: ( Chuyên Đại Học Vinh) Tập xác định của hàm số ( 2 )

y= ln − +x x −

là:

A. ( )2;3 B. \ 2;3 ( ) C. \ 2;3   D.  2;3

Đáp án A

Hàm số xác định khi 2