Phần II: Hình họcA- Các dạng toán I/ Các bài toán chứng minh 1 - Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Một số gợi ý để đi đến chứng minh đ ợc 2 đoạn thẳng bằng nhau: - Hai đoạn thẳng có cù
Trang 1Phần II: Hình học
A- Các dạng toán
I/ Các bài toán chứng minh
1 - Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Một số gợi ý để đi đến chứng minh đ ợc 2 đoạn thẳng bằng nhau:
- Hai đoạn thẳng có cùng số đo
- Hai đoạn thẳng cùng bằng 1 đoạn thẳng thứ 3
- Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, trung bình nhân,… của 2 đoạn thẳng bằng nhau đôi một
- Hai đoạn thẳng bằng nhau đợc suy ra từ tính chất của tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông,…
- Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau
- Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa trung tuyến của tam giác, định nghĩa trung trực của đoạn thẳng, định nghĩa phân giác của của 1 góc
- Tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình thang cân,…
- Tính chất đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền, tính chất cạnh đối diện với góc 300 trong tam giác vuông
- Tính chất giao điểm 3 đờng phân giác, 3 đờng trung trực trong tam giác
- Định lý đờng trung bình của tam giác, đờng trung bình của hình thang
- Các tính chất của dây cung, cung bằng nhau của đờng tròn
- Tính chất của các tỉ số bằng nhau
- Một số định lý nh Talet, Pytago,…
- Tính chất 2 đoạn thẳng song song chắn giữa 2 đờng thẳng song song
2 Chứng minh hai góc bằng nhau
Một số gợi ý để đi đến chứng minh đ ợc 2 góc bằng nhau:
- Sử dụng 2 góc có cùng số đo
- Hai góc cùng bằng 1 góc thứ 3, Hai góc cùng phụ – cùng bù với 1 góc
- Hai góc cùng bằng tổng, hiệu của 2 góc tơng ứng bằng nhau
- Sử dụng đ/n tia phân giác của 1 góc
- Hai góc đối đỉnh
- Sử dụng tính chất của 2 đờng thẳng song song(2 góc đồng vị, 2góc so le,…)
- Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tùcó cạnh tơng ứng song song hoặc vuông góc
- Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau
- Hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung
- Hai góc ở đáy của 1 tam giác cân, hình thang cân
- Các góc của 1 tam giác đều
- Sử dụng các tính chất về góc của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi,…
- Sử dụng kết quả của 2 tam giác đồng dạng
- Sử dụng các tính chất của tam giác, tứ giác nội, ngoại tiếp một đờng tròn
- Sử dụng các ỉ số lợng giác sin, cos, tg và cotg của góc nhọn
3 Chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau
Một số gợi ý để đi đến chứng minh 2 đ ờng thẳng song song với nhau
- Sử dụng đ/n 2 đờng thẳng song song
- Xét vị trí các cặp góc tạo bởi 2 đờng thẳng định chứng minh song song với 1 đờng thẳng thứ 3 ( ở các vị trí đồng vị, so le, …)
- Sử dụng các tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, …
- Hai đờng thẳng phân biệt cùng song song hoặc cùng vuông góc với đờng thẳng thứ 3
- Sử dụng tính chất đờng trung bình của 1 tam giác, hình thang
- Sử dụng kết quả các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ để suy ra các đờng thẳng tơng ứng song song ( Định
lý Talet )
Trang 24 Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với nhau:
Một số gợi ý để di đến chứng minh 2 đ ờng thẳng vuông góc với nhau:
- Định nghĩa 2 đờng thẳng vuông góc
- Tính chất 2 tia phân giác của 2 góc kề bù
- Dựa vào tính chất tổng các góc trong 1 tam giác, đi chứng minh cho tam giác có 2 góc phụ nhau suy ra góc thứ 3 bằng 900
- Tính chất đờng thẳng vuông góc với 1 trong 2 đờng thẳng song song
- Định nghĩa 3 đờng cao của tam giác, định nghĩa đờng trung trực của đoạn thẳng
- Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn
- Tính chất của tam giác cân, tam giác đều
- Tính chất 3 đờng cao của tam giác
- Định lý Pytago
- Tính chất đờng kính của đờng tròn đI qua trung điểm 1 dây cung hoặc đi qua điểm chính giữa của
1 cung
- Định lý nhận biết 1 tam giác vuông khi biết tam giác này có trung tuyến thuộc 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy
- Tính chất: Nếu 1 đờng thẳng là tiếp tuyến của 1 đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính tại tiếp
điểm
- Tính chất 2 tiếp tuyeens cùng xuất phát từ 1 điểm ở ngoài đờng tròn thì đờng thẳng đi qua điểm đó
và tâm đờng tròn phải vuông góc với day nối 2 iếp điểm
5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
Một số gợi ý để đi đến chứng minh 3 điểm thẳng hàng:
- Sử dụng 2 góc kề bù
- 3 điểm cùng thuộc 1 tia hoặc 1 đờng thẳng
- Trong 3 đoạn thẳng nối 2 trong 3 điểm có 1 đoạn thẳng bằng tổng 2 đoạn thẳng kia
- Hai đờng thẳng đi qua 2 trong 3 điểm ấy cùng song song hoặc cùng vuông góc với đờng thẳng thứ 3
- Sử dụng vị trí 2 góc đối đỉnh
- Đờng thẳng đi qua 2 trong 3 điểm có chứa điểm thứ 3
- Sử dụng tính chất đờng phân giác của 1 góc, tính chất đờng trung trực của đoạn thẳng, tính chất 3
đờng cao trong 1 tam giác
- Sử dụng tính chất góc vuông nội tiếp đờng tròn
- Sử dụng tính chất các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ khi đã có 3 điểm tơng ứng thẳng hàng
6 Chứng minh các đờng thẳng đồng quy các đờng tròn đồng quy:
Một số gợi ý để đi đến chứng minh 3 đ ờng thẳng đồng quy, các đ ờng tròn đồng quy
- Tìm giao của 2 đờng thẳng sau đó chứng minh đờng thẳng thứ 3 đI qua giao của 2 đờng thẳng trên
- Chứng minh 1 điểm thuộc 3 đờng thẳng
- Sử dụng tính chất các đờng đồng quy trong tam giác
- Sử dụng tính chất các đờng thẳng định trên 2 đờng thẳng song song những đoạn thẳng tỉ lệ
- Chứng minh cho các đờng tròn cùng đi qua 1 đểm
- Tìm giao điểm của 2 đờng tròn, sau đó chứng minh cho các đờng tròn còn lại đI qua giao điểm đó
7 Chứng minh tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp đờng tròn
Một số gợi ý đẻ đi đến chứng minh tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp đ ờng tròn.
- Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác cách đều 1 điểm cố định nào đó
- Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800
- Chứng minh từ 2 đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng tạo bởi 2 đỉnh còn lại dới 2 góc bằng nhau
- Sử dụng định lý: Tổng 2 cạnh đối của 1 tứ giác bằng nhau thì tứ giác đó ngoại tiếp 1 đờng tròn
- Chứng minh các cạnh của tứ giác tiếp súc với đờng tròn
8 Chứng minh các hệ thức trong hình học:
Một số gợi ý để đi đến chứng minh các hệ thức trong hình học
- Tính chất các đoạn thẳng tỉ lệ
- Định lý Talet thuận, đảo và hệ quả
Trang 3- Tính chất đờng phân giác trong tam giác
- Tam giác đồng dạng
- Các hệ thức lợng trong tam giác vuông
- Hệ thức giữa cạnh & góc trong tam giác vuông
B - Các bài tập chọn lọc
1 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
* Sở giáo dục và đào tạo nam đinh Năm học: 2000 - 2001
Cho tam giác nhọn PBC , PA là đờng cao Đờng tròn đờng kính BC cắt PB , PC lần luợt ở M và
N NA cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là E
a) Chứng minh 4 điểm A , B, P ,N cùng thuộc một đờng tròn Xác định tâm và bán kính của
đờng tròn đó
b) Chứng minh : EM ⊥ BC
c) Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC Chứng minh : AM AF = AN AE
Năm học: 2001 - 2002
Cho tam giác ABC vuông ở đỉnh A Trên cạnh AC lấy điểm M ( khác với các điểm A và C) Vẽ
đờng tròn (O) đờng kính MC Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đờng tròn (O) Nối BM
và kéo dài cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là S Chứng minh :
1) Tứ giác ABTM nội tiếp đợc trong một đòng tròn
2) Khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì góc ADM có số đo không đổi
3) Đờng thẳng AB song song với đờng thẳng ST
Năm học: 2002 - 2003
Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD và AB > CD ) nội tiếp trong một đờng tròn (O) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại A và tại D cắt nhau tại E Gọi I là giao điểm của các đờng chéo AC và BD 1) Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp trong một đờng tròn
2) Chứng minh các đờng thẳng EI , AB song song với nhau
3) Đờng thẳng EI cắt các cạnh bên AD và BC của hình thang tơng ứng ở R và S CMR :
a) I là trung điểm của đoạn RS
AB CD+ = RS
Năm học: 2003 - 2004
Cho đờng tròn (O) có tâm là điểm O và một điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn Từ A kẻ các tiếp tuyến AP , AQ với đờng tròn (O) , P và Q là các tiếp điểm Đờng thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đờng thẳng AQ tại M
a) CMR : MO = MA
b) Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đờng tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại N của đờng tròn (O) cắt các tia AP và AQ tơng ứng tại B và C
1) CMR : AB + AC – BC không phụ thuộc vào vị trí điểm N
2) CMR nếu tứ giác BCQP nội tiếp đờng tròn thì PQ // BC
Năm học: 2004 - 2005
Trang 4Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A M
và Q là hai điểm phân biệt , chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A Các đờng thẳng
BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P
Chứng minh :
1) Tích BM BN không đổi
2) Tứ giác MNPQ nội tiếp đợc trong đờng tròn
3) Bất đẳng thức : BN + BP + BM + BQ > 8R
Năm học: 2005 - 2006
Cho BC là dây cung cố định của đờng tròn tâm O , bán kính R ( 0 < BC < 2R ) A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn Các đờng cao AD , BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H (D BC E CA F∈ , ∈ , ∈AB).
1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đợc trong một đờng tròn Từ đó suy ra AE
AC = AF AB
2) Gọi A’ là trung điểm của BC Chứng minh AH = 2 A’O
3) Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A Đặt S là diện tích của tam giác ABC , 2p
là chu vi của tam giác DEF
a) Chứng minh : d // EF
b) Chứng minh : S = p R
Năm học: 2006 - 2007
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Điểm I nằm giữa A và O ( I khác A và O ) Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C khác M , N và B ) Nối AC cắt MN tại E Chứng minh :
1) Tứ giác IECB nội tiếp
2) AM2 = AE AC
3) AE AC – AI IB = AI2
Năm học: 2007 - 2008
Cho đờng tròn (O) và hai điểm A , B phân biệt thuộc (O) sao cho đờng thẳng AB không đi qua tâm O Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác điểm A , từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME , MF với đờng tròn (O) , ( E , F là hai tiếp điểm ) Gọi H là trung điểm của dây cung
AB ; các điểm K ,I theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF với các đờng thẳng OM và OH
1) Chứng minh 5 điểm M , H , O , E , F cùng nằm trên một đờng tròn
2) Chứng minh : OH OI = OK OM
3) Chứng minh IA , IB là các tiếp tuyến của đờng tròn (O)
Năm học: 2008 - 2009
Cho đờng tròn (O,R) có đờng kính AB ; điểm I nằm giữa hai điểm A và O Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB tại I , đờng thẳng này cắt đờng tròn (O;R) tại M và N Gọi S là giao điểm của hai đ-ờng thẳng BM và AN Qua S kẻ đđ-ờng thẳng song song với MN, đđ-ờng thẳng này cắt các đđ-ờng thẳng AB và AM lần lợt ở K và H Hãy chứng minh :
a) Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK = HA.HM
b) KM là tiếp tuyến của đờng tròn (O;R).