Ôn thi HSG Hình Học

Về phía ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác đều ABE và ACF.. Lấy một điểm M thuộc đáy nhỏ AB và kẻ đường thẳng Mx vuông góc với DM ; Mx cắt cạnh BC tại N.. Chứng minh rằng tam giác

PHẦN HÌNH HỌC

I Tam giác : ( LỚP 7 ):

Bài 1 : Tính số đo góc của ∆ABC biết rằng đường cao AH ,trung tuyến AM chia góc

·ABCthành ba góc bằng nhau

Gợi ý : + Kẻ MK ⊥ AC

+ Cµ = 30 0 ⇒ =Bµ 60 , 0 µA= 90 0

Bài 2 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Về phía ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác đều ABE và ACF H là trực tâm của tam giác ABE , N là trung điểm BC Tính các góc của tam giác FNH

Gợi ý :

+ Trên tia đối của NH lấy điểm K sao cho NH = NK

+ ∆NBH = ∆NCK ⇒CK =BH =HA

Chú ý : FAH· = 60 0 + 30 0 + <µA 180 0 , µ · µ 0

C =HBN = +B

0

3 2 1

2 0

360

90

B C

A FAH

AHF ? CKF

∆ ∆ để ý : ·AFC= 60 0

Bài 3 : Cho tam giác ABC cóBµ = 45 0 , Cµ = 120 0 Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB Tính số đo góc ·ADB

Gợi ý : + kẻ DH ⊥ AC

+ cm : ∆HAD vuông cân

Bài 4 : Cho tam giác ABC có góc ·BAC tù , đường cao AH , đường phân giác BD sao cho

AHD= Tính số đo góc ·ADB

Gợi ý : + Kẻ BK ⊥ AC , ∆ABH có BD là phân giác trong , HD là đường phân giác ngoài

nên AD là phân giác góc A ( µA1 = µA2 )

+ µA1 =KBH· ( µA1 =KBD B· +µ1 ( )1 , Aµ 2 =Dµ 1 +Bµ 2 ( )2 )

+ Vì µA1 = µA2 và giả thiết Bµ1 =Bµ2 ⇒ ∆KBD ?

Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông ở A và Bµ = 75 0 Trên tia đối của AB lấy điểm H sao cho

BH = 2AC Tính số đo góc ·BHC

Vấn đề 1 : Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam

giác vuông có cạnh góc vuông bằng nữa cạnh huyền

Vấn đề 2 : Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông cân

Vấn đề 3 : Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác đều

Gợi ý bài 5 : + Trên nữa mp bờ BC chứa đỉnh A vẽ tam giác đều EBC thì E ở miền trong của tam giác HBC

+ Lấy K là trung điểm BH Chứng minh : ∆ABC = ∆KEB ( c.g.c ) ⇒ ∆EBH cân + Chứng minh : ∆EHC= ∆EHB c.g.c( )

Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông cân ở đỉnh A Điểm E nằm trong tam giác sao cho

EAC =ECA= Tính số đo góc ·AEB

Gợiý:+ Trong∆ABC lấy điểm K sao cho KBA KAB· = · = 15 0 Cm : ∆KAB= ∆EAC (c.g.c)

Bài 7 : Cho tam giác ABC có µA= 50 0 , Bµ = 20 0 Trên đường phân giác BE của tam giác ta lấy điểm F sao cho FAB· = 20 0 Gọi N là trung điểm của AF , EN cắt AB tại K Tính số đo góc ·KCB

Gợi ý : + Kẻ CK cắt BE tại M cm : ∆EAF cân tại E ⇒ ·AEF = 120 0

+ Trung tuyến EN đồng thời là phân giác ⇒ ba góc E bằng nhau

⇒ ∆BEK = ∆BEC ( g.c.g) ⇒ ∆BCK cân có 1 góc đã biết sđ

Bài 8 : Cho tam giác ABC với B Cµ = =µ 50 0 N là điểm thuộc miền trong của tam giác thỏa mãn ·NBC = 10 0 , NCB· = 20 0 Tính số đo góc ·ANB

Gợi ý : + Kẻ đường cao AH của ∆ABC cắt BN tại O ; vẽ AK ⊥ BN và AK cắt CN tại J + OBH· =HAK ?· = , HAC· = 40 0 ⇒ KAC ?· = và ·NCA ?= ⇒ ∆JAC ?⇒ JA JC= ? + Cm : ∆OAC cân tại O ( OA = OC ) ⇒OJ là đường trung trực

II Tam giác – Tứ giác : ( Lớp 8 )

Bài toán 1 :

Cho tam giác ABC trong đó AB > AC Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A và M , N ,

P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , AC , BC

Chứng minh tứ giác MNHP là hình thang cân

Bài toán 2 :

Cho hình thang ABCD có µA D= =µ 1v và CD = 2AB = 2AD Lấy một điểm M thuộc đáy nhỏ AB và kẻ đường thẳng Mx vuông góc với DM ; Mx cắt cạnh BC tại N Chứng minh rằng tam giác DMNlà tam giác vuông cân

Hướng dẫn : + Để cm ∆DMN cân ta chỉ cần cm rằng nó có đường trung tuyến vừa là đường cao ( gọi I là trung điểm DN )

+ từ giả thiết suy ra : ∆ADB ? Gọi K là trung điểm DC suy ra được gì ? kq : ·ABC= 135 0

+ Để ý đến ∆DMN vuông , ∆DBN vuông ⇒ IM = ….

+ Tổng các góc của tứ giác MBIN ⇒ MIN = 90 0

Bài toán 3 :

Cho tứ giác ABCD Các đường chéo AC và DB cắt nhau tại O Các cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau tại P Biết rằng AC⊥ AD và DB⊥CB

a ) Chứng minh rằng đường thẳng qua các trung điểm của PO và CD là trục đối xứng AB

b ) Tứ giác ABCD phải có điều kiện gì để d và PO trùng nhau

Bài toán 4 :

Vấn đề 4 : Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam

giác cân có một góc đã biết số đo

Cho tam giác ABC vuông ở A Kẻ đường cao AH , vẽ các điểm đối xứng của H qua

AB và AC là D và E Chứng minh :

a ) Ba điểm D , A , E thẳng hàng

b ) Tứ giác BCED là hình thang

c ) DHE· = 90 0

Bài toán 5 :

Cho tam giác ABC , các đường cao AK , BD cắt nhau tại G Vẽ đường trung trực HE ,

HF của AC và BC Chứng minh rằng : BG = 2HE và AG = 2HF

Hướng dẫn :

Để tận dụng giả thiết E , F là trung điểm của AC và BC ta dựng các tam giác phụ

Mà HE , HF là các đường trung bình , rồi so sánh đáy của tam giác này với cạnh ta đang quan tâm

Bài toán 6 :

Cho một hình bình hành ABCD trong đó AD = 2AB Từ C ta kẻ CE vuông góc với AB Nối E với trung điểm M của AD Từ M ta kẻ MF vuông góc với CE ; MF cắt BC tại N

a ) Tứ giác MNCD là hình gì ?

b ) Tam giác EMC là tam giác gì ?

c ) Chứng minh ·BAD=2·AEM

Hướng dẫn :

+ Từ giả thiết suy ra NM = NC ?

+ cm :∆EMC cân

+ Ta có : µA NMD M=· = ¶ 1+M¶ 2 = 2M¶ 3 = 2µE

Bài toán 7 : ( quỹ tích )

Cho tam giác ABC và điểm M chạy trên cạnh BC Từ M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên , cắt AB ở D và AC ở E Tìm tập hợp trung điểm I của DE khi M chuyển động trên BC

Hướng dẫn :

+ WADME là hbh nên I là trung điểm DE cũng là trung điểm AM

+ Lấy P là trung điểm AB ; Q là trung điểm AC

Giới hạn : * M chạy đến trùng với B thì I trùng với P

* M chạy đến trùng với C thì I trùng với Q

Bài toán 8 :

Cho hình chữ nhật ABCD Kéo dài BC và AD thêm những đoạn CE = DF = DC

Kéo dài DC một đoạn CH = BC Nối A với E , F với H

Chứng minh rằng : AE vuông góc với FH

Hướng dẫn :

+ cm : góc F vuông

+ cm : Hai tam giác vuông ∆DHF = ∆FAE

+ Xét góc của hai tam giác DAI và KIH ⇒ µK = 90 0

Bài toán 9 : ( quỹ tích )

Cho một tam giác ABC Một điểm D di chuyển trên

cạnh đáy BC Từ D ta kẻ một đường thẳng song song với

AB , cắt AC ở E và một đường thẳng song song với AC , cắt AB ở F Tìm tập

hợp các trung điểm I của EF

B

C

F E H

I K

A

C

E F

P

H I'

E

A

B

C D M

F

1 2

3 N

Bài toán 10 :

Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC

Gọi M là trung điểm của AH , Klà trung điểm của CD

Chứng minh : BM ⊥MK

Hướng dẫn : + Gọi N là trung điểm BH , đường thẳng

MN cắt BC tại E cm : MN là đường tb ⇒MN ⊥BC

Bài toán 11 :

Cho hình thoi ABCD có góc µA= 60 0 Đường thẳng

MN cắt AB và AC theo thứ tự tại các điểm M , N

Sao cho tổng MB + NB bằng một cạnh của hình thoi

Cm : ∆MDN là tam giác đều

Gợi ý : có thể cm : ∆MBD= ∆NDC

Bài toán 12 :

Trên các cạnh của một hình bình hành , ta dựng ở

phía ngoài nó các hình vuông Chứng minh rằng

tâm của các hình vuông đó là đỉnh

của một hình vuông

Gợi ý :

+ cm : ∆EAH = ∆GDH để có DH = HG

và ·DGH = ·AHE

⇒ GHE· = 90 0

Bài toán 13 :

Cho tam giác ABC vuông tại A Ta dựng các

Hình vuông ABDE và BCFG sao cho D và C

ở cùng phía của cạnh AB ; G và A ở cùng phía

của cạnh BC

Chứng minh rằng : GA⊥DC và GA = DC

Gợi ý :

Cm : ∆ABG= ∆DBC để có ·AGB DCB=·

Bài toán 14 :

Cho tam giác ABC Dựng các hình vuông

ABMN và CBPQ ra ngoài tam giác Gọi

D , E , G , H lần lượt là trung điểm của các

cạnh AC , NB , MP và BQ

a ) Chứng minh : AF ⊥MC

b ) Chứng minh tứ giác DEGH là hình vuông

gợi ý :

+ cm : DEGH là hình bình hành

Bài toán 15 :

Cho tam giác ABC về phía ngoài của nó ta dựng

Các hình vuông ABDE , ACGH , BCRS Gọi

1 2 3

O ,O ,O lần lượt là tâm của các hình vuông

Chứng minh : O O1 2 = AO3

B

C

H M

N

K E

B

A

D

C

A

B E

G

A

B

C

G

F

D

E

H

I

A

C B

M

N

E

H

D

G

A

B

C H

S

D

E

G

O1

O2

O3

M

Gợi ý : Cm : DC = AS và DC ⊥ AS (1)

O M / / = ; O M / / = (2) Từ (1) và (2) : O M1 =O M3 và O M1 ⊥O M3

+ Cm : ∆O MO1 2 = ∆AMO3

Bài toán 16 :

Trên các cạnh AB và AC của tam giác ABC , về phía

ngoài của nó , ta dựng các hình vuông BCKL và BAED

Chứng minh rằng đoạn thẳng nối cácđỉnh D và L của hai

hình vuông bằng hai lần trung tuyến của

tam giác ABC ,kẻ từ đỉnh B ( DL = 2BM )

Gợi ý :

Cách 1: Kéo dài trung tuyến BM thêm 1 đoạn MQ = MB

Chứng minh : ∆BCQ= ∆LBD

Bài toán 17 :

Cho hình vuông ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm

Của AB và AC Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I

Chứng minh : IA = AD

Gợi ý : + Cm : ∆DCN = ∆CBM ⇒Dµ1 =Cµ1 ⇒ DN ⊥CM

+ Kẻ đường cao AH Cm : HD = HI

Bài toán 18 :

Trên cạnh AB của hình vuông ABCD , lấy điểm E

tùy ý Phân giác của góc CDE cắt cạnh BC tại K

Chứng minh : AE + KC = DE

Gợi ý :

Trên tia đối của tia AB , lấy điểm F sao cho AF = CK

+ Cm : ∆DAF = ∆DCK

⇒ =Fµ Kµ và Dµ1 =D¶ 4

+ Cm : ∆EFD cân tại E

Bài toán 19 :

Trên cạnh AB của hình vuông ABCD dựng tam giác

AFB cân đỉnh F , có góc ở đáy là 15 0 Chứng minh

tam giác CFD là tam giác đều

Gợi ý :

Dựng ∆IBC có µ µ 0

3 3 15

B =C = ⇒ ∆IBC = ∆FAB theo cách dựng

Cm : ∆FBI đều

Đường CI kéo dài cắt FB tại H

Cm : ∆FIC cân tại I và mỗi góc ở đáy 15 0 ?

+ Hướng thứ 1 : Cm về góc

+ Hướng thứ 2 : Cm về cạnh

B

A

C

L

D

M

Q A

B M

N I H P

1

1

K

F

1

2 3 4

D

A

C

B

F H

I

15

2 2 3 3

2