ÔN THI TOÁN HÌNH HỌC THI QUỐC GIA 2016

ôn thi quốc gia thpt môn toán là ohaanf quan trọng đối với tất cả các thí sinh lớp 12. Đối với môn toán thì hình học là vấn đề quan trọng và chiếm 2-3 điểm của bài thi. Vậy nên rèn luyện kiến thức chứng minh hình học là vấn đề tiên quyết.

1 Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Contact: 0902.920.389

TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2016

-*** -

RÈN LUYỆN CHỨNG MINH

HÌNH HỌC PHẲNG THEO DÀN Ý CHI TIẾT

Biên soạn: ĐOÀN TRÍ DŨNG Điện thoại: 0902.920.389

Hà Nội, Tháng 05/2016

G H

F

E

M I

A

D K

J

2 Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Contact: 0902.920.389

Bài toán 1: Tam giác ABC, đường cao AK, BD và CE

I là tâm ngoại tiếp Khi đó ta lần lượt có các yếu tố

sau:

 BDEC là tứ giác nội tiếp

 IADE

 IA là trung trực của DE

 AM AN

 AM2 AN2 AE AB AD AC AH AK

Bài toán 2: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AE

E trung điểm BD Đường tròn cắt AC tại G

 EA EG

 EG là tiếp tuyến của đường tròn tâm F

 EC AD EG AC

Bài toán 3: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I Các đường

cao hạ vuông góc là AD, BK, BE, CF M N P, , là các trung điểm

 DE AC DF, AB

 MP MN, là các trung trực của DE DF,

 M là tâm ngoại tiếp tam giác DEF

 DEF∽ ABC

 K E M, , thẳng hàng

Bài toán 4: MD và ME vuông góc với AC và BC P và

Q lần lượt là trung điểm của AB và DE

 BM DE BAEM

 APM ∽ DQM

 PQ QM

H

D

E

I A

M

N

K

G

F D

E

A

H

N

F

K

D

E

M

P

I A

Q D P

A

M

E

3 Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Contact: 0902.920.389

Bài toán 5: Hình vuông ABCD E là điểm bất kỳ trên

đoạn BC Đường tròn đường kính AE cắt BD tại F Tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt CD tại G

 FAE vuông cân

 FA FE FC

 FAG 450 đồng thời AGDF nội tiếp

 G F E, , thẳng hàng

 F là trung điểm GE

Bài toán 5: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I, AD là đường

kính AE kéo dài cắt đường tròn tại K, J là trung điểm

BC G là trọng tâm tam giác ABC

 BHCD là hình bình hành

 AH 2IJ

 EH EK

 KA là phân giác góc BKM

 IH 3IG

Bài toán 6: Tam giác OAB vuông cân tại O Kẻ đường

thẳng bất kỳ qua A cắt OB tại M Kẻ đường thẳng qua

B vuông góc AM tại H cắt đường tròn đường kính OB

tại K và cắt OA tại I

 IM AB

 OMI là tam giác vuông cân

 HO là phân giác góc MHI

 OKH là tam giác vuông cân

Bài toán 7: Tam giác vuông ABC có I là trung điểm

của BC Phân giác góc A cắt đường tròn tại D, hạ DE

và DF vuông góc với các cạnh của tam giác

 FAED là hình vuông

 E I F, , thẳng hàng

F

C

A

D G

B

E

G H

F

E

M I

A

D K

J

M

K

H

E

O

A

B

I

E

I

A

D

F

4 Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Contact: 0902.920.389

Bài toán 8: Tam giác ABC cân AD BF CE, , là các

đường cao I là trung điểm AH và điểm J thỏa mãn

DJ DB Hạ JK vuông góc với BF G là trung điểm

AB

 IG GD IE, ED

 IGED nội tiếp

 JKF là tam giác vuông cân

 DK là phân giác góc JDF

Bài toán 9: Hình vuông ABCD N là trung điểm CD

Đường tròn đường kính BN cắt AC tại E BE cắt AD tại M, MN cắt đường tròn tại I

 MDNE nội tiếp

 BEN là tam giác vuông cân

 MF NE BI, , đồng quy tại H

 BI BC

 FEI là tam giác vuông

Bài toán 10: Tam giác vuông ABC có đường cao AH

Đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC tại D và

E Gọi M là trung điểm BC

 D H E, , thẳng hàng

 AM DE

Bài toán 11: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I Hạ các

đường DG DM DJ DK, , , vuông góc với các cạnh tương ứng

 G M J K, , , thẳng hàng

 JM // EF

 IA JM

I

K

J

H

G

D

A

H

F I

E

N D

C

M

Q

F E

M

A

H

D

H

I A

G

K

5 Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Contact: 0902.920.389

Bài toán 12: Trực tâm H Gọi M và N là các điểm đối

xứng của D qua AB và AC

 M F E N, , , thẳng hàng

 GI // EF

 A F D C N, , , , cùng thuộc một đường tròn

 H là tâm nội tiếp của tam giác DEF

Bài toán 13: Hình vuông ABCD E bất kỳ trên BC

Dựng AF vuông góc AE I là trung điểm EF Kẻ EG //

CD EF cắt AD tại J

 AECF nội tiếp

 AEF là tam giác vuông cân

 FA2 KF KC

 EGFK là hình thoi

 EK BE DK

 Tam giác CKE có chu vi bằng nửa chu vi

ABCD

 GJK là tam giác vuông cân

Bài toán 14: Tâm nội tiếp là I Đường tròn nội tiếp tiếp

xúc các cạnh tại D và E Đường thẳng qua I vuông góc

AI cắt các cạnh tại F và G BI cắt DE tại H M là trung

điểm của đoạn thẳng BC

 FIB∽ GCI

 BF CG IF2 IG2

 IHEC nội tiếp

 BH HC

 MH // AB

H

G

I F

E

N

M

J

I

B

C E

F

K G

G F

M

D

E I

C

A

B

H

6 Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Contact: 0902.920.389

Bài toán 15: Hình vuông ABCD N nằm trên CD

Đường tròn đường kính BN cắt AC tại F BF cắt AD tại M BN cắt AC tại E MN cắt đường tròn tại P ME

và NF cắt nhau tại Q

 BFN là tam giác vuông cân

 MEBA nội tiếp

 B Q P, , thẳng hàng

 ME // PC và BP BC

 Tam giác FPE vuông

Bài toán 16: Tâm nội tiếp I D E F, , là các điểm nằm chính giữa các cung



DI DB DC

EI EC EA

FI FA FB







 DE EF FD, , là các trung trực của IC IA IB, ,

 I là trực tâm tam giác DEF

Bài toán 17: Tâm nội tiếp I, tâm bàng tiếp góc A là

điểm K D là điểm nằm chính giữa cung Đường thẳng qua K vuông góc với AK cắt các cạnh AB và AC kéo dài lần lượt tại E và F

 DB DC DI

 IBKC nội tiếp

 D là trung điểm IK

 BEK∽ FCK

 BE CF KE2 KF2

Q P

E F

D

C N

M

I A

D

E F

I A

D

K

F

E

7 Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Contact: 0902.920.389

Bài toán 18: Tam giác ABC vuông tại A đường cao AF

AD và AE là các phân giác của các tam giác FAC và FAB Gọi I J K, , là tâm nội tiếp các tam giác ABC,

ABF và ACF JK cắt các cạnh tại G và H

 BABD CA CE, 

 I là trực tâm tam giác AKJ

 FI FK

 BGJF CHKF, là các tứ giác nội tiếp

 AGH là tam giác vuông cân

Bài toán 19: Hình bình hành ABCD Hạ các đường cao

CE CF CG, ,

 I là tâm ngoại tiếp tứ giác AECG

 Từ các tứ giác nội tiếp FGDC FEBC, , chứng tỏ

tứ giác EIFG nội tiếp

MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại C có diện tích bằng 8 và

phương trình đường cao  CH : x 1 Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên BC Trên tia AI lấy điểm E1;7 sao cho AE AC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng các đỉnh A và C có tung độ lớn hơn 6

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm I Trên các cạnh AB và AD

lấy các điểm M và E sao cho AM AE Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BM BF Gọi H là hình

chiếu của M trên đường thẳng EF Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH là

2 2

x y 4x 2y 15 0   và phương trình đường thẳng  EF : x 2 0  Tìm A và H biết rằng các điểm này có tung độ dương

K

J

I

E

D F

A

B

C H

G

E

G

F I

8 Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Contact: 0902.920.389

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và B Phương trình

đường thẳng  CD : x 3y 5 0   Gọi M là trung điểm của AB, điểm 5

E 0;

2

 

 

  là trung điểm của MB

Gọi 2

N ; 2

3

 

 

  là giao điểm của đường thẳng qua A vuông góc với MD và đường thẳng qua B vuông

góc với MC Biết rằng M nằm trên đường thẳng  d : 4x y 1 0   Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao HA Gọi I

là trung điểm của AC và D là điểm nằm trên tia đối tia AH sao cho HA 2HD Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI là  2 2

x 2 y 5 và đỉnh A

có hoành độ dương nằm trên đường thẳng  AC : x y 1 0  

Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có A 1; 2 ,   C 4; 6 Gọi M  

và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC và CD Biết rằng trực tâm H của tam giác AMN nằm trên đường thẳng  d : x y 1 0   và có hoành độ dương, đồng thời độ dài MN 3 Viết phương trình đường thẳng MN

Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có tọa độ điểm B 1; 3 ,  

đường cao AH Gọi   là đường tròn tâm A, bán kính R thỏa mãn điều kiện R AH Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ B tới đường tròn   sao cho đoạn thẳng MH cắt   tại N Gọi I và K lần

lượt là trung điểm của AN và AC Biết điểm A nằm trên đường thẳng  d : x y 8 0   , phương trình đường thẳng  IK : x 3y 8 0   , đường thẳng AN đi qua một điểm E 1; 7 đồng thời điểm C có  

hoành độ dương Tìm tọa độ các đỉnh A và C

Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có ACB 45 0 Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, N là điểm đối xứng với M qua AC, đường thẳng BN có phương trình

 BN : 7x y 19 0   Biết tọa độ điểm A 1; 1, tam giác ABM cân tại A và điểm B có tung độ

dương Tìm tọa độ các đỉnh B và C