d Tâm K của đường tròn nội tiếp tam giác giao các phân giác trong của các góc: Tâm K của đường tròn nội tiếp ∆ ABC tìm được khi thực hiện hai lần công thức điểm chia đoạn theo tỉ số k: -
Trang 11 Toạ độ của vectơ :
a Định nghĩa : =( , )⇔ = +
b Các phép toán : Cho 2 vectơ =( , &) =( ', ')
u x y v x y Khi đó :
i Tổng và hiệu của 2 vectơ ± = ( ± ', ± ')
u v x x y y
ii Tích của 1 số với 1 vectơ : =( , ;) ( ∈ )
k u k x k y k R iii Tích vô hướng của 2 vectơ : .= '+ '
u v xx yy
iv Độ dài của vectơ : = 2+ 2
cos ;
u v
vi Điều kiện vuông góc: ⊥ ⇔ .= ⇔0 '+ ' 0=
vii Hai vec tơ cùng phương : u&v
cùng phương ⇔ = ⇔ '− ' =0
viii Hai vectơ bằng nhau : = ⇔ ==
' '
u v
y y
2 Toạ độ của điểm :
a Định nghĩa : ( , )⇔ =( , )⇔ = +
b Các phép toán : Cho 2 điểm A x y( A, A)&B x y( B, B) Khi đó :
i Tọa độ vectơ =( − , − )
ii Độ dài đoạn thẳng : = = ( − ) (2+ − )2
iii Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước :
Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ⇔MA=k MB
(k khác 1)
−
−
y ky
x kx
iv Trung điểm : M là trung điểm của AB ⇔MA= −MB(⇔ = −k 1)
+ +
A B
v Ba điểm thẳng hàng : Cho C x y( C, C)
Khi đó, 3 điểm A,B,C thẳng hàng ⇔ AB&AC
cùng phương ⇔ AB k AC=
⇔ (xB−xA) (: yB−yA) (= xC−xA) (: yC−yA)
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 3 Kiến thức về tam giác :
a) Trọïng tâm G của tam giác (giao các đường trung tuyến):
G là trọng tâm ∆ ABC: ⇔
3 x x x
G
+ +
3 y y y
= b) Trực tâm H của tam giác (giao các đường cao):
AH BC
BH AC
=
c) Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ( giao của các trung trực):
- I(a;b) là tâm của (ABC) ⇔ AI = BI = CI = R (bán kính của (ABC))
- Giải hệ AI2=BI2 và BI2=CI2 ⇒ Tọa độ của I
d) Tâm K của đường tròn nội tiếp tam giác (giao các phân giác trong của các góc):
Tâm K của đường tròn nội tiếp ∆ ABC tìm được khi thực hiện hai lần công thức điểm chia đoạn theo tỉ số k:
-Vì DB=k DC1
với k1 = - AB/AC nên D chia BC theo tỉ số k1
⇒Tọa độ của D
- Vì KA=k KD2
với k2 = - BA/BD nên K chia AD theo tỉ số k2
⇒ Tọa độ của K
e) Diện tích tam giác:
S= aha 2
b
bh 2
c
ch 2
2
2
2 1
S=
R 4
abc
= pr = p(p−a)(p−b)(p−c) S= AB2.AC2 (AB.AC)2
2
−
4 Phương trình đường thẳng :
a Phương trình tổng quát của đường thẳng : PTTQ của ( )∆ đi quaM x y( 0; 0),có VTPT =( , )
n A B : A x x( − 0)+B y y( − 0)=0
b Các trường hợp riêng : Cho đ/thẳng ( )∆ : Ax + By + C= 0
i C=0 ⇔ ( )∆ : Ax+By = 0 ⇔ ( )∆ đi qua gốc O
ii A = 0,B≠0 ⇔ ( )∆ :By+ C = 0 (thiếu x) ⇔ ( )∆ // hoặc trùng Ox iii B = 0,A≠0 ⇔ ( )∆ :Ax+ C = 0 (thiếu y) ⇔ ( )∆ // hoặc trùng Oy
c Phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng :
ĐT( )∆ cắt trục Ox, Oy lần lược tại A(a,0), B(0,b) có phương trình đoạn chắn là :
+ =1 , ≠0
a b
d Phương trình tham số – phương trình chính tắc của đường thẳng:
Cho đ/thẳng ( )∆ quaM x y( 0, 0),có vectơ chỉ phương ( , )
u a b
i PT tham số của ( )∆ : = +
0 0
y y bt ii PT chính tắc của ( )∆ : x x− 0 = y y− 0
Quy ước : Nếu mẫu số bằng 0 thì tử số bằng 0
Trang 2e Phương trình đường thẳng theo hệ số góc k :
PT đường thẳng ( )∆ qua A x( A;yA)và có hệ số góc k : y−yA=k x( −xA)
Lưu ý : +) Nếu ( )∆ có vectơ chỉ phương là u=(a b, )
với a ≠0thì k=b a/ +) Nếu ( )∆ có hệ số góc k thì nó có 1 vectơ chỉ phương là u=( )1,k
5 Kiến thức liên quan đến phương trình đường thẳng :
a Vị trí tương đối của 2 đường thẳng :
Cho 2 đường thẳng : ( )∆ :Ax By C+ + =0 &( )∆' : 'A x B y C+ ' + ' 0=
i ( )∆ cắt ( )∆' ⇔ ≠
A B ii ( )∆ // ( )∆' ⇔ = ≠
iii.( )∆ trùng ( )∆' ⇔ = =
A B C (với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0) b.Hai đường thẳng vuông góc : ( ) ( )∆ ⊥ ∆ ⇔∆⊥∆'⇔ '+ ' 0=
c Chùm đường thẳng :
Cho 2 đường thẳng( )∆ : Ax+By+C=0 và( )∆' : A’x+B’y+C’=0 cắt nhau
Đường thẳng (d) đi qua giao tuyến của ( ) ( )∆ & ∆' khi và chỉ khi phương trình của nó
có dạng : λ(Ax By C+ + )+µ(A x B y C' + ' + ')=0(λ2+µ2 ≠0 (1))
d Góc giữa 2 đường thẳng :
Gọi ϕ là góc giữa 2 đường thẳng (d) và (d’) Khi đó :
'
'
d d
d d
d d
n n
n n
'
'
d d
d d
d d
u u
u u
e Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng :
Khoảng cách M x y( 0, 0)và đến đường thẳng ( )∆ :Ax+By+Cz+D=0 là :
( )
d M
∆ =
+
f Phương trình đường phân giác :
PT 2 đường p/g của góc tạo bởi ( )∆ : Ax+By+C=0 và( )∆' : A’x+B’y+C’=0 cắt nhau
là :
6 Phương trình đường tròn :
a Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước :
Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a,b), bán kính R là : ( ) (2 )2 2
x−a + y b− =R
b Phương trình đường tròn dạng khai triễn :
Phương trình dạng : 2 2
x +y − ax− by+ =c (với 2 2
0
a +b − >c ) là phương trình của 1 đường tròn có tâm I(a,b) và bán kính 2 2
R= a +b −c
c Phương tích : Phương tích của điểm M x y( 0, 0) đối vối (C) : ( ) 2 2
, = + −2 −2 + =0
F x y x y ax by c là :
0
M C
P =M I −R =F x y =x +y − ax − by +c
d Trục đẳng phương : Cho 2 đường tròn (C) : 2 2
x +y − ax− by+ =c và (C’) : 2 2
x +y − a x− b y+ =c Phương trình trục đẳng phương của (C) và (C’) là :2(a−a x') +2(b b y− ') + − =c c' 0
e Tiếp tuyến của đường tròn : Cho đường tròn (C) có tâm I(a,b) và bán kính R +) Phương trình tiếp tuyến của (C) tạiM x y( 0; 0) ( )∈ C là
(x0−a)(x−x0) (+ y0−b)(y−y0)=0 +) Cho đường thẳng ( )∆ :Ax+By+ =C 0là tiếp tuyến của (C) ⇔ d I( ,( )∆ =) R
7 Cách viết phương trình tiếp tuyến của 1 đường tròn
a Cách viết PTTT của đường tròn đi qua 1 điểm : Cho (C) :F(x;y)=(x−a)2+(y−b)2−R2=0 và điểm M(x0;y0), để viết PTTT của (C) đi qua M ta tìm phương tích của M đối với (C):
Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong (C), qua M không kẻ được TT nào với (C)
Nếu P M/(C) = 0 thì M thuộc (C), qua M kẻ được một tiếp tuyến với (C) và tiếp tuyến này đi qua M có vectơ pháp tuyến IM=(x0−a y; 0−b)
Nếu P M/(C) > 0 thì M nằm ngoài (C), qua M ta kẻ được 2 tiếp tuyến với (C), để viết phương trình các tiếp tuyến này thực hiện như sau:
• Gọi ∆ là đường thẳng qua M và có vectơ pháp tuyến →n =(A;B)
⇒∆: A(x−x0)+B(y−y0) = 0 (1) với A2+B2 ≠0
• ∆ tiếp xúc (C) ⇔ d(I,∆) = 2 2
B A
C Bb Aa +
+ + = R với C=−(Ax0+By0)
• Bình phương 2 vế, chọn hai cặp A, B thỏa phương trình này và thay vào (1) để có hai phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M
b Một số dạng tiếp tuyến khác : +) TT ∆ //d : Ax + By + C = 0 ⇒ ∆: Ax + By + m = 0 (m≠C) +) TT ∆ ⊥d : Ax + By + C = 0 ⇒ ∆: Bx – Ay + m = 0 hay ∆: - Bx + Ay + m = 0 +) TT ∆ có hệ số góc k có dạng : y = kx + m ⇔ kx – y + m = 0
∆
∆ tiếp xúc (C) ⇔ ⇔ ⇔ d(I,∆ ∆ ∆) = R để suy ra m
Tài liệu ôn tập dành cho học sinh 12 Người soạn : GV Khánh Nguyên
Tel : 0914455164