c Lập phương trình các đường cao của tam giác d Lập phương trình các đường trung trực của các cạnh của tam giác Bài t ập 10.. Vi ết phương trình của đường thẳng d đi qua M và cắt trục hồ
Trang 1PHẦN I ĐƯỜNG THẲNG CHỦ ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
Bài toán 1 Phương trình đường thẳng qua 2 điểm Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M x ; y( 1 1) và
( 2 2)
N x ; y
Phương pháp giải
Phương trình tham số:
+ MN=(x2−x ; y1 2−y1)
+ Đường thẳng d qua M và nhận MN làm VTCP nên: ( )
d :
Phương trình tổng quát:
+ MN=(x2−x ; y1 2−y1)
+ Đường thẳng d qua M và nhận n=(y2−y ;1 −(x2−x1) )
làm VTPT nên có dạng:
(y2−y1)(x−x1) (− x2−x1)(y−y1)= 0
Ví dụ 1 Lập phương trình đường thẳng (tham số tổng quát) của đường thẳng d đi qua M(−1; 2) và N 3; 6( − )
Gi ải
Phương trình tham số:
+ Ta có MN=(4; 8− )
+ Đường thẳng d qua M và nhận MN làm VTCP nên: d : x 1 4t
y 2 8t
= − +
= −
Phương trình tổng quát:
+ Ta có MN=(4; 8− )
+ Đường thẳng d qua M và nhận n=( )8; 4
làm VTPT nên:
d : 8 x 1+ +4 y−2 = ⇔0 d : 2x+ = y 0
Nhận xét.( Phương trình đoạn chắn) Phương trình đường thẳng d cắt Ox,Oy theo thứ tự tại A a;0 và ( ) B 0; b ( )
với a 0,b 0≠ ≠ có dạng: d :x y 1
a + = b
Ví dụ 2 Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(−2;0) và B 0;3 ( )
Giải Phương trình đường thẳng d cho bởi:
−
Bài toán 2 (Phương trình đường thẳng biết vec tơ chỉ phương) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
( 0 0)
M x ; y và có VTCP u=( )a; b
Phương pháp giải
Phương trình tham số: 0
0
x x at
d :
y y bt
= +
Phương trình tổng quát: Đường thẳng d đi qua M x ; y( 0 0) và có VTPT n=(b; a− )
nên:
d : b x−x −a y−y = 0
Trang 2Ví d ụ 3 Lập phương trình đường thẳng d đi qua M 1; 2 và có VTCP ( ) u=(2; 1− )
Phương trình tham số: d : x 1 2t
y 2 t
= +
= −
Phương trình tổng quát: Đường thẳng d đi qua M 1; 2 và có VTPT ( ) n=( )1; 2
nên:
d :1 x 1− +2 y−2 = ⇔0 d : x+2y− = 4 0
Bài toán 3 (Phương trình đường thẳng viết vec tơ pháp tuyến) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
( 0 0)
M x ; y và có VTPT n=( )a; b
Phương pháp giải
Phương trình tổng quát: Đường thẳng d đi qua M x ; y( 0 0) và có VTPT n=( )a; b
nên:
d : a x−x +b y−y = 0
Phương trình tham số: Đường thẳng d đi qua M x ; y( 0 0) và có VTCPu= −( b;a)
0
x x bt
d :
y y at
= +
Bài toán 4 Phương trình đường thẳng biết hệ số góc Viết phương trình đường thẳng d đi qua M x ; y( 0 0) có h ệ số góc k
Phương pháp giải Đường thẳng d được cho bởi d : y=k x( −x0)+y0
Chú ý Nếu gọi α là góc tạo bởi đường thẳng d và trục dương của trục Ox , ta có: k tan= α
Ví dụ 4 Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm M 1; 2 có hệ số góc k 3( ) =
b) Đi qua điểm A(−3; 2) và t ạo với hướng dương của trục Ox một góc 45 0
c) Đi qua điểm B 3; 2 và t( ) ạo với trục Ox một góc 60 0
Bài toán 5 Chuy ển dạng phương trình đường thẳng
Cho phương trình dạng tham số: 0
0
x x at
d :
y y bt
= +
+ Nếu a,b 0≠ khử t từ (1) ta có: x x0 y y0
= (Phương trình chính tắc) + Từ pt chính tắc ta có: b x( −x0) (−a y−y0)= ⇔0 bx−ay+ay0−bx0= 0 (Phương trình tổng quát)
Chú ý
+ Nếu a 0= thì phương trình tổng quát là d : x=x0⇔d : x−x0= 0
+ Nếu b 0= thì phương trình tổng quát là d : y=y0⇔d : y−y0= 0
Cho phương trình dạng tổng quát: d : ax by c 0+ + =
+ Cho x= git ải y theo t ta có :
x t
b b
=
= − −
(Phương trình tham số) + Từ đó đưa ra phương trình chính tắc
Chú ý:
+ Nếu d : ax c 0+ = thì phương trình tham số là
c x
y t
= −
=
Trang 3
+ Nếu d : by c 0+ = thì phương trình tham số là
x t
y b
=
= −
Ví d ụ 5 Lập phương trình chính tắc và phương trình tổng quát của đường thẳng d biết:
a) d : x 3 2t
y 1 5t
= +
= −
x 2t
d :
y 1
=
=
Ví dụ 6 Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d biết: d : x 2y 1 0− − =
II BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A và B trong cách trường hợp sau:
a) A 3; 2 & B( ) (− − 1; 5)
b) A(−3;1 & B 1; 6) ( − )
c) A 3;0 & B 0; 6( ) ( − )
A 0; & B 2m 1; m
2
, từ đó tìm điểm cố định của d
Bài tập 2 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và có VTCP u trong các trường hợp sau:
a) A 2;3 & u( ) = −( 1; 2)
b) A(−1; 4 & u) =( )0;1
Bài t ập 3 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và có VTPT n trong các trường hợp sau:
a) A 3; 2 & n( ) =( )2; 2
b) A 4; 3 & n( − ) =(5; 4− )
Bài t ập 4 Viết phương trình tổng quát, phương trình chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau:
a) d : x 3 2t
y 4 t
= −
= +
x 1 3t
d :
y 2 t
= −
= +
x 3
d :
y 5 6t
=
= − +
x 3 2t
d :
y 1 5t
= −
= +
Bài tập 5 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của các đường thẳng sau:
a) x+ − = b) x 2y 5 0y 2 0 + + = c) 3x− − = y 8 0
d) x= 3 e) y= − 5
Bài tập 6 Viết phương trình các cạnh và các đường trung trực của ABC∆ biết trung điểm ba cạnh BC,AC,AB theo thứ
tự là M 2;3 , N 4; 1 , P( ) ( − ) (−3;5)
Bài tập 7 Cho tam giác ABC có A 2; 2 , B( ) (−1;6 , C) (−5;3)
a) Viết phương trình các cạnh của tam giác
b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác
c) Chứng minh ABC∆ vuông cân
Bài tập 8 Cho tam giác ABC có A 1; 1 , B( − ) (−2;1 , C 3;5) ( )
a) Viết phương trình đường thẳng chứa trung tuyến BI của tam giác ABC
b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A và vuông góc với trung tuyến BI
Bài tập 9 Cho tam giác ABC có A(− −1; 1 , B 1;9 , C 9;1) ( ) ( )
a) Lập phương trình các cạnh của tam giác
b) Lập phương trình các đường trung tuyến của tam giác
Trang 4c) Lập phương trình các đường cao của tam giác
d) Lập phương trình các đường trung trực của các cạnh của tam giác
Bài t ập 10 Trong mp tọa độ cho điểm M 5; 3( − Vi) ết phương trình của đường thẳng d đi qua M và cắt trục hồnh và trục tung lần lượt tại A,B sao cho M là trung điểm của AB
CHỦ ĐỀ 2 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, VUƠNG GĨC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC Bài tốn 1 Vi ết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng : ax by c 0∆ + + = cho trước và thỏa mãn điều kiện K
Phương pháp giải
Cách 1 Vì d / /∆ nên d nhận VTPT của ∆ là n∆=( )a; b
làm VTPT và thỏa điều kiện K
Cách 2 Vì d / /∆ nên d nhận VTCP của ∆ là u∆= −( b;a)
làm VTCP và thỏa điều kiện K
Cách 3 Vì d / /∆ ⇒d : ax+by+ = m 0
Ví dụ 1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 3; 2 và song song v( ) ới đường thẳng : x 2y 1 0∆ + − =
Giải
Cách 1 Ta cĩ d / /∆ nên d nhận VTPT của ∆ là n∆ =( )1; 2
làm VTPT nên d cĩ phương trình
d :1 x− +3 2 y−2 = ⇔0 d : x+2y− = 7 0
Cách 2 d / /∆ nên d nhận VTCP của ∆ là u∆= −( 2;1)
làm VTCP nên d : x 3 2t
y 2 t
= −
= +
Cách 3 Vì d / /∆ ⇒d : x+2y+ = Mm 0 ặt khác A 3; 2( )∈ ⇒ +d 3 2.2+ = ⇔m 0 m= − 7
Vậy d : x 2y 7 0+ − =
Bài tốn 2 Vi ết phương trình đường thẳng d vuơng gĩc với đường thẳng : ax by c 0∆ + + = cho trước và thỏa mãn điều kiện K
Phương pháp giải
Cách 1 Đường thẳng d thỏa mãn:
thỏa mãn K thỏa mãn K
⇔
Cách 2 Đường thẳng d thỏa mãn:
thỏa mãn K thỏa mãn K
⇔
Cách 3 Đường thẳng d⊥ ∆: ax+by+ = nên d cĩ dc 0 ạng: d : bx ay m 0− + =
II MỘT SỐ BÀI TỐN
Bài 1 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho B(− − 4; 5) và hai đường cao cĩ phương trình: 1
d : 5x+3y− = và 4 0 d : 3x2 +8y 13+ = 0
Bài 2 Cho ABC∆ cĩ phương trình AB:5x 3y 2 0− + = , các đường cao xuất phát từ A,B lần lượt cĩ phương trình là: 1
d : 4x−3y 1 0+ = và d : 7x2 +2y−22= L0 ập phương trình hai cạnh AC,BC và đường cao thứ 3
Bài 3 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C 4; 1( − ), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh
của tam giác cĩ phương trình tương ứng là d : 2x1 −3y 12+ =0 , d : 2x2 +3y= 0
Trang 5Bài 4 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A 1; 3 và hai trung tuyến lần lượt có phương trình là
x−2y 1 0+ = và y 1 0− =
Bài 5 Biết phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng là 5x 2y 6 0− + = và 4x 7y 11 0+ − = Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó biết rằng trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ
III BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài t ập 1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua A 3; 1( − và song song v) ới : 2x 3y 1 0∆ + − =
Bài tập 2 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A 1; 2 và vuông góc v( ) ới:
a) Đường thẳng : x y 1 0∆ − − =
b) Trục Ox
Bài tập 3 Cho hai đường thẳng d : 5x1 −2y+ = và 7 0 d : 5x2 −2y− = Viết phương trình đường thẳng d song song 9 0
và cách đều d ;d 1 2
Bài tập 4 Lập phương trình các cạnh và các đường trung trực của tam giác ABC biết trung điểm ba cạnh BC,AC,AB
theo thứ tự là M 2;3 , N 4; 1 , P( ) ( − ) (−3;5)
Bài tập 5 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A 2; 2 ( ) và hai đường cao có phương trình d : x1 + − = y 2 0
và d : 9x2 −3y+ = 4 0
Bài tập 6 Lập phương trình các cạnh ABC∆ , biết 1 đỉnh A 2; 7( − ), phương trình đường cao kẻ từ C là 1
d : 3x+ +y 11 0= và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C là d : x2 +2y+ = 7 0
Bài tập 7 Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB là x y 9 0+ − = , đường cao qua đỉnh A và B lần lượt có phương trình là d : x1 +2y 13− = và 0 d : 7x2 +5y−49= Lập phương trình AC,BC và đường cao thứ ba 0
Bài tập 8 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C 3;5( ), đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ
1 đỉnh có phương trình tương ứng là và d : 8x2 + − = y 7 0
Bài tập 9 Lập phương trình các canh của tam giác ABC biết A 3;1 ( ) và hai đường trung tuyến có phương trình là 1
d : 2x− − = và y 1 0 d : x 1 02 − =
Bài tập 10 Phương trình hai cạnh của một tam giác là 3x y 24 0 ; 3x 4y 96 0− + = + − = Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm H 0;32
3
Bài tập 11 Cho tam giác ABC với A(−2;1 , B 2;5 , C 4;1) ( ) ( ) Viết phương trình các đường trung trực của các cạnh
AB , AC Từ đó tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
CHỦ ĐỀ 3 HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Bài toán 1 Xác định hình chiếu vuông góc H của điểm M lên đường thẳng d
Phương pháp giải
Cách 1
+ Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với d
+ Ta có H= ∩ d d '
Cách 2
+ Chuyển d về dạng tham số 0
0
x x at
d :
y y bt
= +
Trang 6+ Gọi H x( 0+at; y0+bt) là hình chiếu vuông góc của M lên d Ta có
MH⊥u ⇔MH.u = ⇒0 t
Bài toán 2 Xác định điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
Phương pháp giải
Cách 1
+ Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A vuông góc với d
+ Gọi I= ∆ ∩ d
+ Từ đó tìm tọa độ A'
Cách 2 Gọi A ' x ; y( 0 0) ta có:
d
AA ' u Trung ñieåm I cuûa AA' naèm treân d
0 0
x , y
Ví dụ 1 Cho đường thẳng d :3x 4y 12 0+ − = và điểm M 7; 4 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M lên d Từ ( )
đó suy ra tọa độ M 1 là điểm đối xứng của M qua d
Giải
Cách 1
+ Gọi ∆ là đường thẳng qua M và vuông góc với d Vì ∆ ⊥ ⇒ ∆d : 4x−3y+ = m 0
Vì M∈∆ ⇒4.7−3.4+ = ⇔m 0 m= −16 Do đó : 4x 3y 16 0∆ − − = + Ta có H= ∆ ∩ , suy ra td ọa độ của H là nghiệm của hệ: 3x 4y 12 0 x 4 ( )
H 4;0
+ Vì H là trung điểmcủa MM nên ta có 1 M 1; 41( − )
Cách 2
+ Chuyển d về tham số ta có d : x 4 4t H 4( 4t ;3t)
y 3t
= −
=
+ Ta có MH ⊥ud⇔MH.u d = ⇔ − − − +0 4( 4t 3) (3 3t−4)= ⇔ =0 t 0
Do đó H 4;0 ( )
+ Vì H là trung điểmcủa MM nên ta có 1 M 1; 41( − )
Ví dụ 2 Cho điểm M 3; 1( − và ) d : x 4t
y 3 3t
=
= +
Tìm tọa độ điểm đối xứng của M qua d
Giải
+ Chuyển d về dạng tổng quát ta có: d :3x 4y 12 0− + =
+ Gọi M ' x ; y( 0 0) là điểm đối xứng của M qua d
d
MM ' u
Trung ñieåm I cuûa MM' naèm treân d
Vậy M '(−3;7)
Có thể giải bằng cách tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên d trước sau đó suy ra tọa độ điểm đối xứng (Như
Cách 2 ở Ví dụ 1)
II MỘT SỐ BÀI TOÁN
Bài 1 Cho tam giác ABC biết A 1;3 , B 5;1 , C( ) ( ) (− − 3; 1)
a) Tìm tọa độ điểm H là trực tâm của tam giác
Trang 7b) Tìm tọa độ điểm K đối xứng với H qua BC
Bài 2 Cho tam giác ABC biết A 2; 1( − ) và hai đường phân giác trong của góc B, C có phương trình d : x1 −2y 1 0+ = và 2
d : x+ + = Lập phương trình cạnh BC y 3 0
III BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài t ập 1 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M lên d, từ đó suy ra tọa độ điểm M đối xứng với M qua d, biết: 1 a) d : 4x−5y+ =3 0 & M(−6; 4)
b) d : x−2y+ =2 0 & M 1; 4( )
c) d : 4x 14y− −29=0 & M 1; 2( )
d) d : x t & M 1;6( )
y 1 2t
=
= − +
e) d : x 1 2t & M 2;3( )
y 1 t
= −
= +
f) d : x 6 2t & M( 1;3)
y 5t
= +
−
= −
Bài tập 2 Cho tam giác ABC Tìm tọa độ điểm H là trực tâm của tam giác, từ đó suy ra tọa độ điểm K đối xứng với H
qua BC, biết:
a) A 0;3 , B 3;0 , C( ) ( ) (− − 1; 1) b) A 1;3 , B 0;1 , C( ) ( ) (− − 4; 1)
Bài tập 3 Cho tam giác ABC có A 0;3 ( ) và hai đường phân giác trong của góc B,C lần lượt có phương trình 1
d : x− = và y 0 d : 2x2 + − = Ly 6 0 ập phương trình các cạnh của tam giác ABC
Bài tập 4 Cho tam giác ABC biết A 3;5 , B 4; 3( ) ( − ) và đường phân giác trong của góc C có phương trình
d : x+2y 8− = L0 ập phương trình các cạnh của tam giác
Bài t ập 5 Một hình chữ nhật có 2 đỉnh đối nhau có tọa độ ( )5;1 và ( )0;6 , một cạnh của hình chữ nhật có phương trình
x+2y 12− =0 Tìm phương trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật
Bài tập 6 Một hình thoi có một đỉnh có tọa độ ( )0;1 , một cạnh có phương trình x 7y 7 0+ − = và một đường chéo có phương trình x 2y 7 0+ − = Tìm phương trình các cạnh còn lại của hình thoi
CHỦ ĐỀ 4 ĐƯỜNG THẲNG ĐỐI XỨNG QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ QUA MỘT ĐIỂM
Bài toán 1 Xác định phương trình đường thẳng d' đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆
Phương pháp giải
Kh ả năng 1 Nếu d∩ ∆ = Ta thI ực hiện các bước:
+ Xác định tọa độ I
+ Lấy A d∈ xác định tọa độ điểm A' đối xứng với A qua ∆
+ Đường thẳng d' đi qua I và A'
Khả năng 2 Nếu d / /∆
+ Viết lại phương trình d dưới dạng TQ: d : ax by c 0+ + =
+ Vì d '/ /d / /∆ ⇒d ' : ax+by+ = m 0
+ Lấy điểm A d , I∈ ∈∆ Gọi A' đối xứng với A qua I ⇒A '
+ Vì A ' d '∈ ⇒ ⇒ m d '
Trang 8Ví dụ 1 Xác định đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆ , biết: 1
a) d : 4x− + = và : x y 0y 3 0 ∆ − =
b) d : 6x−3y+ = và : 4x 2y 3 04 0 ∆ − + =
Giải
a) Ta có:
+ Gọi H= ∩ ∆ ⇒d H(− − 1; 1)
+ Lấy A 0;3( )∈ Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d ∆ ⇒A ' 3;0( )
+ Khi đó d 1 là đường thẳng qua H và A '⇒d : x1 −4y 3− = 0
b) Ta có:
+ Vì d / /∆ ⇒d : 2x1 − + = y m 0
+ Lấy A 0;4 d
3
và
3
I 0;
2
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua I Ta có A ' 0;5
3
+ Vì A ' d1 2.0 5 m 0 m 5
5
d : 2x y 0
3
− + =
Bài toán 2 Xác định phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d : ax by c 01 + + = qua điểm I x ; y( 0 0)
Phương pháp giải
Cách 1
+ Gọi M x; y( )∈ Gd ọi M x ; y 1( 1 1) là điểm đối xứng của M qua I Ta có:
⇔
+ Thay vào phương trình của d ta suy ra được phương trình d 1
Cách 2
+ Vì d / /d1 ⇒d : ax1 +by+ = m 0
+ Lấy điểm A d∈ Gọi A' là điểm đối xứng của A qua I⇒ Tọa độ A'
+ Vì A ' d∈ ⇒ ⇒ phương trình 1 m d 1
Ví dụ 2 Xác định phương trình đường thẳng d 1 đối xứng với đường thẳng d : x 2y 2 0− + = qua điểm I 1;1 ( )
Gi ải
Cách 1 Với M x; y( )∈ , gọi d M x ; y là điểm đối xứng với M qua I Ta có: 1( 1 1)
⇔
Thay vào phương trình d ta có: (2−x1) (−2 2−y1)+ = ⇔2 0 x1−2y1= 0
Vậy d : x1 −2y=0
Trang 9 Cách 2
+ Vì d / /d1 ⇒d : x−2y+ = m 0
+ Lấy A 0;1( )∈ Gd ọi A' là điểm đối xứng với A qua I ⇒A ' 2;1( )
+ Vì A ' d∈ ⇒1 m= V0 ậy d : x1 −2y= 0
II MỘT SỐ BÀI TOÁN
Bài 1 Cho ABC∆ biết phương trình cạnh BC :4x y 3 0− + = và hai đường phân giác trong góc B,C có phương trình 1
d : x−2y 1 0+ = và d : x2 + + = Ly 3 0 ập phương trình cạnh AB, AC
Bài 2 Cho hình bình hành ABCD biết phương trình AB:2x y 0− = , AD :4x 3y 0− = và tâm I 2; 2 Lập phương trình ( )
BC, CD
III BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1 Xác định đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆ , biết: 1
a) d : x+2y 13− = và : 2x y 1 00 ∆ − − =
b) d : x−3y+ = và : 2x 6y 3 03 0 ∆ − + =
c) d : x−3y+ = và : 2x y 3 06 0 ∆ − − =
Bài t ập 2 Xác định phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I , biết: 1
a) d :2x− + = và y 4 0 I(−2;1)
b) d :x−2y− = và 5 0 I 2;1 ( )
Bài t ập 4 Cho ABC∆ biết phương trình cạnh BC :9x 11y 5 0+ + = và hai đường phân giác trong góc B,C có phương trình d : 2x1 −3y 12+ = và 0 d : 2x2 +3y= L0 ập phương trình cạnh AB, AC
Bài tập 5 Cho hình bình hành ABCD biết phương trình AB:x 2y 7 0+ − = , AD :x y 2 0− + = và tâm I 1;1 L( ) ập phương trình BC,CD
Bài tập 6 Cho tam giác ABC có C 4; 1( − ) , đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ A lần lượt có phương trình d : 2x1 −3y 12+ = và 0 d : 2x2 +3y=0 Xác định tọa độ đỉnh A,B
CH Ủ ĐỀ 5 GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH Bài toán 1 Cho 2 đường thẳng d và 1 d cắt nhau Hãy xác định góc tạo bởi 2 d và 1 d 2
Cách 1 Lấy u1=(a ; b1 1)
, u2=(a ; b2 2)
lần lượt là VTCP của d , d G1 2 ọi α là góc giữa d , d Ta có: 1 2
n n a a b b cos
+
Cách 2 Gọi k ; k lần lượt là hệ số góc của 1 2 d , d α là góc giữa 1 2 d , d Ta có: 1 2
1 2
1 2
tan
1 k k
−
α = +
Trang 10Nếu d1⊥d2⇔k k1 2= − 1
Ví d ụ 1 Tính góc giữa hai đường thẳng d và 1 d trong các trường hợp sau: 2
a) d :1 x 2t
y 4 t
=
= +
x 2u
d :
y 2u
=
=
b) d :1 x 2t
y 4 t
=
= +
và d :x2 + − = y 7 0
c) d :x1 +2y 1 0+ = và d : x2 +4y+ = 3 0
Ví dụ 2 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M 1;1 và t( ) ạo với đường thẳng d :x y 2 0− − = một góc 0
45
Ví d ụ 3 Viết phương trình đường thẳng đi qua M 5;1 và tạo với đường thẳng d :y( ) = −2x+ m4 ột góc 0
45
Bài toán 2 Cho điểm M x ; y( 0 0) và đường thẳng : ax by c 0∆ + + = Hãy xác định khoảng cách từ M tới ∆
Phương pháp giải Ta sử dụng công thức sau:
2 2
d M,
∆ =
+
Ví dụ 4 Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d biết:
a) M 1;1 và d : x( ) − − = y 2 0
b) M 2;1 và ( ) d :x 1 y 1
− = +
−
c) M 1;5 và ( ) d : x 2t
y 4 t
=
= +
Bài toán 3 Cho hai đường thẳng d : a x1 1 +b y1 + = và c1 0 d : a x2 2 +b y2 +c2 =0 Hãy xác định phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và 1 d 2
Phương pháp giải
Phương trình hai đường phân giác có dạng:
a x b y c a x b y c
Ví d ụ 5 Viết phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi hai đường thẳng d và 1 d biết: 2
a) d : 2x1 +4y+ = và 7 0 d : x2 −2y− = 3 0
b) d :1 x t
y 4 t
=
= +
và d : x2 + − = y 7 0
c) d :1 x 3t
y 4 t
=
= +
x u
d :
y 3u
=
=