Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Tổng hợp các dạng bài liên quan đến tọa độ trong mặt phẳng, là tài liệu bổ ích trong kì thì tuyển sinh đại học

THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam

 Giáo viên: cô Trịnh Thị Thanh Bình

Thành viên thực hiện:

• Đào Ngọc Sáng

• Trần Ngọc Sơn

• Nguyễn Chí Thanh (nhóm trưởng)

• Nguyễn Phương Thảo

• Phạm Thị Minh Thu

• Đinh Trường Thịnh

Lời nói đầu

Tọa độ có thể nói là một báu vật dành cho rất nhiều ngành khoa học,trong đó có toán học Trong địa lý, tọa độ dùng để xác định vị trí của sự vậthay hiện tượng nào đó Trong vật lý, nó lại được dùng để theo dõi quan hệ của các đại lượng vật lý… Còn đối với toán học, tọa độ không chỉ được dùng để xác định giá trị của hàm số với các giá trị của biến số, mà nó còn

có thể được dùng để chứng minh các đặc tính hình học, tìm ra cực trị …v…v Như vậy có thể thấy tọa độ có ý nghĩa vô cùng to lớn với các ngành khoa học nói chung và toán học nói riêng

Trong chuyên đề này, chúng em xin giới thiệu các phương pháp chứng minh, tính toán toán học sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, hay nói các khác là hệ trục tọa độ Oxy Trong chương trình lớp 10, chúng ta tìm hiểu sâu hơn về đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ, tìm hiểu

về các đường cong như đường tròn, đường elip, hypebol và parabol

Như trong chương trình học ở cấp trung học cơ sở, chúng ta được biết phương trình của đường thẳng có dạng y ax b= + Hay đường Parabol

có dạng y ax= 2 + +bx c Nhưng đó chỉ là những trường hợp cụ thể của các đường này trong mặt phẳng tọa độ Còn ở cấp trung học phổ thông, chúng

ta sẽ tìm hiểu thực chất những đường này có những đặc điểm gì

Chuyên đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” theo chương trình lớp 10, chúng em xin được chia ra thành 3 chương:

Chương 1: Đường thẳng

Chương 2: Đường tròn

Chương 3: Đường cônic

Tài liệu được tham khảo từ các sách giáo khoa, báo Toán học Tuổi trẻ

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình đường thẳng đi qua M x y( ; ) 0 0

Như vậy phương trình y ax b= + ta

được học ở lớp dưới chỉ là trường

Phương trình đường thẳng có hệ số góc là k: y kx m= + với k= tan α , α là

góc hợp bởi tia Mt của ( )d ở phía trên Ox và tia Mx

x y

D

D D

Chú ý: Ta có phương pháp xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Cho 2 đường thẳng và , nếu thì

cắt

trùng

Các dạng toán về phương trình tổng quát của đường

b) Trung trực AB qua trung điểm I( 2 ;3

2) của AB và vuông góc ABuuur= ( 2; 1) − − nên có phương trình tổng quát là : 2( – 2) 1 –3 0 4 2 –11 0

Xét thấy y A = y D= 2 nên phương trình đường thẳng AD là y= 2

Nhận xét: Khi ta xác định được tam giác ABC trong mặt phẳng tọa độ, ta hoàn toàn có thể xác định tất cả các điểm và đường liên quan đến tam giác

Ví dụ 1: Cho có , và Viết phương trình tổng quát của

Đường cao AH và đường thẳng BC

Trung trực của AB

Đường trung bình ứng với AC

Đường phân giác trong của góc A

Gọi A(a ; 0) và B(0 ; b) với a > 0 ,

b > 0 , phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: x y 1

*Ví dụ 2 : Viết phương trình đường thẳng qua M(3 ; 2), cắt tia Ox tại A,

tia Oy tại B sao cho :

a) OA + OB = 12

b) Hợp với hai trục một tam giác có diện tích là 12

Dạng 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

75 = 60 = = 5 15 nên 2 đường thẳng trùng nhau

Dạng 3: TÌM ĐIỂU KIỆN THỎA MÃN ĐỀ BÀI

a) Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ (mx m+−1)3y x+ =−1 0(2)2y m+ + =1 0(1)

x y

3

m x

m m

Phương trình tham số của đường thẳng

Vectơ chỉ phương

Định nghĩa: vectơ ur khác 0 r

có giá song song hoặc trùng với đường thẳng

∆ gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng ∆

Từ đó ta suy ra: VTPT và VTCP của 1 đường thẳng có giá vuông góc với nhau

Ta có tính chất: Nếu n a br ( ; )

là VTPT của đường thẳng d thì u b ar( ; ) − hoặc

( ; a)

u br − là VTCP của đường thẳng d

Phương trình tham số của đường thẳng

Xét đường thẳng ∆ đi qua điểm I x y( 0 , 0),

vectơ chỉ phương là u a br ( , )

Khi đó ta có phương trình tham số đường thẳng ∆ là

Trong đó ứng với một giá trị t ta tìm được

1 điểm thuộc đường thẳng ∆

Phương trình chính tắc của đường thẳng

Các dạng toán:

Dạng 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng

a) Xét đường thẳng BC đi qua điểm B(3;-4), có vectơ chỉ phương uuuuru BC( 3;10)− nên

Suy ra phương trình tổng quát là 1(x− − 3) 4(y+ = ⇔ − 4) 0 x 4y− = 19 0

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

Dạng 2: Tìm tọa độ của điểm thuộc đường thẳng

Chú ý: với mỗi giá trị của tham số t trong phương trình, ta xác định được 1 điểm thuộc

đường thẳng ấy Bài toán thường đưa về việc giải một phương trình hay hệ phương trình mô tả tính chất của điểm ấy.

t t

Tìm trên d điểm M cách điểm một khoảng là 5

Biện luận theo m vị trí tương đối của đường thẳng d và d’

Luyện tập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2; 2) − Viết phương trình

đường thẳng ∆ đi qua điểm M(3;1) và cắt trục Ox,Oy tại B và C sao

cho tam giác ABC cân

Với b= −c thì (1) ⇔ = ⇒ = −b 2 c 2 (loại vì trùng với ( ) ∆ 2 )

Bài 2: Cho tam giác ABC có đỉnh A( 1; 3) − −

a) Giả sử 2 đường cao là (BH) : 5x+ 3y− 25 0;( = CK) : 3x+ 8y− = 12 0 Hãy

viết phương trình cạnh BC

b) Giả sử đường trung trực của AB là ( ) : 3 ∆ x+ 2y− = 4 0 và G(4; 2) − là

trọng tâm tam giác ABC Xác định tọa độ các đỉnh B, C

Giải: a) (AB) ( ⊥ CK) và đi qua A( 1; 3) − − nên phương trình8x− 3y− = 1 0 (AC) ⊥ (BH) đi quaA( 1; 3) − − nên AC có phương trình là 3x− 5y− = 12 0

Gọi M là giao của AB và ∆ (suy ra M là trung điểm AB)

Tọa độ M là nghiệm của hệ 3 2 4 0 (2; 1)

Đường d đi qua M và nhận uuurAB

là véctơ chỉ phương nên có phương trình là  = +x y= +1 52 2t t

Bài 5: Cho 5 điểm (0; 1); (2;3); ( ;0); (1;6); ( 3; 4)1

2

( ) : 2d x y− − = 1 0 Tìm M∈ ( )d sao cho EM FMuuuur uuuur+ nhỏ nhất

(d) đi qua điểm A(0; 1) − và có uuurd = (1;2) nên ( )

2 1

x t d

Bài 6: Cho điểm A di động trên ( )d x1 = 2 và điểm B di động trên ( ) :d2 y= 1

sao cho ∆OAB vuông tại O Tìm tập hợp hình chiếu của O lên AB

Giải: CóA∈ ( ) :d1 x= ⇒ 2 A(2; )a và B∈ ( ) :d2 y= ⇒ 1 B b( ;1)

Có VABO vuông tại O nên OA OBuuuruuur = ⇔ 0 2b a+ = ⇔ = − 0 a 2b

Đường AB có uuurAB= − (b 2;1 − = −a) (b 2; 2b+ 1), đi qua B b( ;1) nên có phương trình là  = + +x b y= + −1 (2(b b 2)1)t t

Gọi H là hình chiếu của O lên AB⇒ ∈H AB OH AB,uuur uuur = 0

b y

Bài 7: Cho A(2;6); ( 3; 4); (5;0)B − − C Tìm tọa độ giao điểm của phân giác

ngoài góc BAC với BC

Giải: Gọi AD là phân giác trong góc BAC DB AB

Ta có: AB= − ( 5) 2 + − ( 10) 2 = 5 5 vàAC= (3) 2 + − ( 6) 2 = 3 5

5 3

3 5 3 5 1

Bài 8: Cho điểm M(1; 2) Viết phương trình đường thẳng ( ) ∆ qua M cắt

chiều dương các trục Ox,Oy tại A,B sao cho SVABCmin

Giải: Đường thẳng ∆ cắt Ox tại A a( ;0), cắt Oy tại B(0; )b ( ;a b> 0)

M

d

d (d,d') = d (M;d) = = =

Ví dụ 2 :

a) Tìm trên trục hoành điểm cách đường thẳng một khoảng là: 2

b) Tìm trên đường thẳng d : x + y + 3 = 0 điểm cách đường thẳng d' : 3x – 4y + 4 = 0 một khoảng là 2.

c) Cho điểm M (m-2, 2m+5) di động và điểm A (2;1) cố định Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách AM khi m thay đổi.

Giải : a) Gọi M (x, 0) là điểm cần tìm, ta có :

d (M, d) = 2 (=) = 2 = |2x – 7| = 10

(=) 2x – 7 = 10 (=) x = hay x =

-) Vậy ta tìm được hai điểm M ( ; 0) và M ( ; 0)

b) Gọi x là hoành độ của điểm M cần tìm, tung độ của M là: y = - x – 5 Ta có

-) Vậy M di động trên đường thẳng d : 2x - y + 9 = 0 Suy ra khoảng cách nhỏ

nhất của

AM chính là : d (A, d) = =

c) Phương trình d là đường thẳng qua A (6, 4) có dạng :

a.(x - 6) + b.(y - 4) = 0 (Với + 0)

(=) 21x + 20y – 41 = 0 (Chia hai vế cho , coi như chọn b = 20 =) a = 21)

* )Với b = 0 thì (1) trở thành : ax – 6a = 0 ( chia hai vế cho a 0, coi như chọn

Giải : d (B, d) = 5 (=) k =

Dạng 2 : Viết phương trình phân giác, phân giác trong, phân giác ngoài.

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC với AB : 3x – 4y + 6 = 0

AC : 5x + 12y – 25 = 0 , BC : y = 0

a) Viết phương trình phân giác của góc B trong tam giác ABC.

b) Viết phương trình phân giác trong của góc A trong tam giác ABC.

Giải : a) AB cắt BC tại B(-2, 0), AC cắt BC tại C (5, 0)

+ ) Phương trình các phân giác của góc B trong

tam giác ABC là phân giác của góc tạo bởi AB và BC là :

Ví dụ 4 : Cho d : 3x – 4y + 5 = 0 và d' : 5x + 12y – 1 = 0

a) Viết phương trình các phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng.

b) Viết phương trình đường thẳng qua gốc O và tạo với d, d' một tam giác cân có cạnh đáy là

Giải : a) Phân giác (t) của góc tạo bởi d, d' :

-) Đó là hai đường phân giác cần tìm.

b) Nhận xét : trong tam giác cân, phân giác trong của góc tạo đỉnh thì vuông góc

với cạnh đáy Ta được hai đường thẳng :

+ đi qua O và vuông góc có phương trình : 112x + 14 y = 0

+ đi qua O và vuông góc có phương trình : 8x – 64 = 0

M x y thuộc phân giác trong góc A ⇔ cos(uuur uuuurAB AM; ) cos( = uuur uuuurAC AM; )

Tương tự ta viết được phương trình phân giác trong góc B là x-y-1=0

Tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp VABC là nghiệm của hệ

N thuộc phân giác ngoài góc A cos(uuur uuurAB AN; ) = − cos(uuur uuurAC AN; )

Ví dụ 5: Viết phương trình các đường phân giác trong và phân giác ngoài tam giác ABC, biết Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Từ đó tìm được phương trình đường phân giác ngoài góc A là y=6

Dạng 3 : Tính khoảng cách của hai đường thẳng và lập phương trình đường thẳng liên quan đến góc.

Ví dụ 1 : Tính góc hai đường thẳng sau :

Ví dụ 3 : Cho hình vuông ABCD có đường chéo BD : x + 2y – 5 = 0, đỉnh A (2, -1) Viết phương trình cạnh AB, AD biết AB có hệ số góc dương.

Giải : Gọi k là hệ số góc của AB, AD, phương trình AB, AD có dạng ;

(=) k = (đường cao AB) , k = 3 (đường cao AD).

-) Vậy phương trình AB : -3x – y + 5 = 0 ; AD : x – 3y – 5 = 0 hay ngược lại.

Tổng kết lại ta có các dạng phương trình của đường thẳng

3 Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng

ax by c+ + = 0 2 2

(a +b ≠ 0)Trong đó nr = ( ; )a b là véctơ pháp tuyến,vr= ( ;b a− ) là véctơ chỉ phương

4 Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M x y0 ( ; ) 0 0 với véctơ pháp tuyến nr = ( ; )a b có dạng

Luyện tập: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Bài 1: Cho 2 điểm A(1;2); (0; 1)B − và đường thẳng ( )

2 1

x t d

Giải: Phương trình tổng quát của (d) là f x y( ; ) 2 = x y− + = 1 0

Xét f A( ) 1; ( ) 2 = f B = ⇒ f A f B( ) ( ) 0 > nên suy ra A và B nằm cùng phía với

(d)

Nên: MA MB− ≤AB= (0 1) − 2 + − − ( 1 2) 2 = 10 => Max MA MB− = 10

Dấu “=” xảy ra  A,M,B thẳng hàng⇔M = ( )d I AB

Bài 2: Cho 3 điểm M(2;1); (5;3); (3; 4)N P − tương ứng là trung điểm 3 cạnh

của ∆ABC Viết phương trình các cạnh trong ∆ABC

Giải: Giả sử theo thứ tự M;N;P theo thứ tự là trung điểm của BC CA AB; ;

(3; 2) (2;7)

uuur uuur (Theo tính chất đường trung bình trong tam giác)

Đường thẳng AB có uuuurAB= (3; 2), đi qua điểm P(3; 4) − nên có phương trình:

Bài 3: Cho hình vuông ABCD, A∈ ( ) :d x y− − = 4 0. BC đi qua điểm M(4;0).

CD đi qua điểm N(0; 2) ∆AMN cân tại A Viết phương trình đường thẳng BC

d

N

Bài 4: Cho hình vuông ABCD, phương trình BD: x y+ − = 3 0.

N

D

K

Bài 5: Cho hình thoi ABCD, tâm I(2;1);AC = 2BD 0;1 . ( )0;7

Gọi M’ là giao điểm của MI với CD

Theo tính chất đới xứng ta suy ra được I là trung

Chọn b=11, a=-2 suy ra phương trình BD − + 2x 11y− = 7 0

B là giao của AB và BD nên 1 3;

5 5

B − 

  loại vì hoành độ của B dương

TH2: a= − 2b suy ra phương trình BD là 2x y− − = 3 0 ta tìm được B(1; 1) −

M’B

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy có VABCcó phân giác góc A và đường cao từ

C có phương trình là x-y=0, 2x+y-3=0 Đường thẳng AC đi qua M(0; 1) −

Biết AB=3AM, Tìm tọa độ điểm B

Gọi M’ là điểm đối xứng với

M qua ADSuy ra ta dễ dàng tìm được tọa điểm M’ ( 1;0) −

Bài 7 (Đề thi đại học khối A+A1 năm 2013 phần chung) Cho hình chữ nhật ABCD C∈ ( )2d x y+ + = 5 0; ( 4;8)A − M đối xứng với B qua C, N(5;-4)

là hình chiếucủa B trên MD Tìm tọa độ C;B

Gọi C c( ; 2 − −c 5), I là tâm hình chữ nhật ABCD suy ra I là trung điểm cạnh AC

42

c y

Bài 8 (Đề thi đại học khối B năm 2013 phần chung): Cho hình thang cân ABCD có 2 đường chéo AC⊥BD và AD= 3BC Đường thẳng BD có

phương trình x+ 2y− = 6 0 H( 3; 2) − là trực tâm giam giác ABD Tìm tọa độ

các điểm C; D

Giải: Gọi I là giao điểm của AC; BD suy ra

IB=IC Lại có IB⊥IC suy ra tam giác IBC vuông cân tại I ⇒ ∠ICB= ° 45

Mà ∆BHC vuông tại B suy ra I là trung điểm của HC

Suy ra BD là trung trực của HC

Bài 9 (Đề thi đại học khối B năm 2013 phần riêng): Tam giác ABC có chân đường cao từ A là 15; 1

5 5

H − 

 , chân đường phân giác góc A là D(5;3).

Trung điểm AB là M(0;1) Tìm tọa độ điểm C

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1: Cho 2 đường thẳng

:x 3y 1 0; : 2d x y 4 0

∆ − + = + − = và điểm A(2;0)

a) Viết phương trình đường thẳng ∆ 'đối xứng ∆qua A

b) Viết phương trình đường thắng d’ đối xứng d qua ∆

Bài 2: Cho VABC có phương trình cạnh BC: 7x+5y-8=0, phương trình các đường cao BB’:9x-3y-4=0; CC’:x+y-2=0.

Viết phương trình các cạnh AB, AC và đường cao AA’

Bài 3: Viết phương trình các cạnh VABC , biết B(2;-1), đường cao từ A và phân giác góc C có phương trình lần lượt là 3x-4y+27=0; x+2y-5=0

Bài 4: Viết phương trình các cạnh tam giác đều ABC biết A(2;6), phương trình cạnh BC là 3x− 3y+ = 6 0

Bài 5: Cho VABC có diện tích là 3

2

S = , tọa độ các đỉnh A(2;-3); B(3;-2)

Trọng tâm tam giác nằm trên đường thẳng 3x-y-8=0

Tìm tọa độ điểm C

Bài 6: Cho đường thẳng ∆ có phương trình xcos α + ysin α + 2cos α + = 1 0

Chứng minh rằng khi α thay đổi, ∆ luôn tiếp xúc với một đường tròn

Bài 9:Cho ∠xOy vuông và 2 điểm A, B cố định trên Ox, Oy Các điểm M, N

di chuyển lần lượt trên các cạnh Ox, Oy sao cho OM ON 2

OA +OB = .

Chứng minh rằng các giao điểm của AN, BM chạy trên một đường thẳng cố định Viết phương trình đường thẳng đó

Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(a;b) nằm trong ∠xOy .

Viết phương trình đường thẳng qua A, cắt các tia Ox, Oy tại M, N sao cho OM+ON nhỏ nhất

Bài 11: Cho 2 điểm A(2;-5); N(-4;5) và đường thẳng ∆ − :x 2y+ = 3 0

Tìm trên ∆ điểm M sao cho MA MB− lớn nhất

CHƯƠNG 2: Đường tròn

A Tóm tắt giáo khoa :

1 Phương trình tổng quát của đường tròn:

** Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , mọi phương trình có dạng :

x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (với a2 + b2 – c > 0) cũng là phương trình

đường tròn :

• Tâm I(- a ; - b)

• Bán kính R = a +b -c 2 2

2 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn Trục đẳng phương

của hai đường tròn :

a) Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:

Cho (C): x2 + y2 – 2ax- 2by +c = 0  (x- a)2 + (y- b)2 = R2 ( a2+b2 – c >0),

tâm I (a, b), M(x0, y0) PM/(I) = (x0 – a)2 + (y0 – b)2 – R2

b) Trục đẳng phương của hai đường tròn :

Xét (C): x2 + y2 – 2ax- 2by +c = 0

(C’): x2 + y2 – 2a’x- 2b’y +c’ = 0 và M (x, y)

Gọi d là trục đẳng phương của hai đường tròn

M thuộc d  PM/(C) = PM/(C’)  x2 + y2 – 2ax- 2by +c = x2 + y2 –

I M

Với a≠a’ hoặc b≠b’ => (*) là phương trình một đường thẳng Đường

thẳng đó là

trục đẳng phương của hai đường tròn

3 Tiếp tuyến của đường tròn:

Cho (I ; R), I (a, b)

a) Phương trình tiếp tuyến của (I ; R) tại M

d là đường thẳng đi qua M có VTPT là IM uuur

a) Đường tròn có tâm I(-1 ; 4), bán kính R= 1

b) Đường tròn có tâm I(2 ; 0), bán kính R= 5

c) PT  (x +4)2 + (y – 2)2 = 25

=> Đường tròn có tâm I(-4 ; 2), bán kính R= 5

d) Chia cả hai vế cho 3 Tương tự ý c

Ví dụ 2 : Cho phương trình : x2 + y2 + 2mx – 2my + 3m2 – 4 = 0 (1)

a) Xác định m để (1) là phương trình một đường tròn

b) Chứng minh tâm các đường tròn này di động trên một đọan thẳng khi mthay đổi

c) Viết phương trình đường tròn (1) biết nó có bán kính bằng 1

d) Tính m khi đường tròn (1) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 2x – y = 0

Giải:

a) Ta có: a = m, b = -m, c = 3m2 – 4 Để (1) là phương trình đường trònthì:

a2+ b2 – c > 0  m2+ m2 – (3m2– 4) > 0  4 – m2 > 0  - 2 < m < 2 b) Với - 2 < m < 2, đường tròn có tâm I(-m; m)