Một số công thức toán học lớp 10&11

1. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 1.1. Tính chất 1 (tính chất bắc cầu): a > b và b > c a > c 1.2. Tính chất 2: a > b a + c > b + c Tức là: Nếu cộng 2 vế của bắt đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho. Hệ quả (Quy tắc chuyển vế): a > b + c a – c > b 1.3 Tính chất 3: Nếu cộng các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc trừ hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều. 1.4 Tính chất 4: a > b a.c > b.c nếu c > 0 hoặc a > b c.c < b.c nếu c < 0 1.5 Tính chất 5: Nếu nhân các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều. 1.6 Tính chất 6: a > b > 0 an > bn (n nguyển dương) 1.7 Tính chất 7: (n nguyên dương)

MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC LỚP 10 & 11

1 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:

1.1 Tính chất 1 (tính chất bắc cầu): a > b và b > c  a > c

1.2 Tính chất 2: a > b  a + c > b + c

Tức là: Nếu cộng 2 vế của bắt đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng

chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho

Hệ quả (Quy tắc chuyển vế): a > b + c  a – c > b

1.3 Tính chất 3:

a b

a c b d

c d











Nếu cộng các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều Chú ý: KHÔNG có quy tắc trừ hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều

1.4 Tính chất 4:

a > b  a.c > b.c nếu c > 0 hoặc a > b  c.c < b.c nếu c < 0

1.5 Tính chất 5:

0

0

a b

a c b d

c d

 







Nếu nhân các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều Chú ý: KHÔNG có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều

1.6 Tính chất 6:

a > b > 0  an > bn (n nguyển dương)

1.7 Tính chất 7:

2 Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si):

Định lí: Nếu a 0và b 0 thì

2

a b

a b



 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b

Tức là: Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của

chúng

Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ

bẳng nhau

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện

tích lớn nhất

Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2 số đó

bằng nhau

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi

nhỏ nhất

3 Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối:

0 0

x x

x









Từ định nghĩa suy ra: với mọi x R ta có:

a |x|  0

b |x|2 = x2

c x  |x| và -x  |x|

Định lí: Với mọi số thực a và b ta có:

|a + b|  |a| + |b| (1)

|a – b|  |a| + |b| (2)

|a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b  0

|a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b  0

4 Định lí Vi-et:

Nếu phương trình bậc 2: ax2 + bx +c = 0 (*) có 2 nghiệm x1 , x2 (a 0) thì tổng và tích 2 nghiệm đó là:

S = x1 + x2 = b

a



P = x1.x2 = c

a

Chú ý:

+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = 1 và x2 = c

a

+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = -1 và x2 = c

a



Hệ quả: Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phương

trình: x2 – S.x + P = 0

5 Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước:

a Định nghĩa: Cho 2 điểm phân biệt A, B Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k

nếu MA k MB 

b Định lí: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  1 thì với điểm O bất kì ta có:

1

OA kOB OM

k









nếu x  0 nếu x < 0

b Nếu G là trọng tâm tam giác, thì với mọi điểm O ta có: 3OG OA OB OC  

7 Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác:

7.1 Định lí Cosin trong tam giác:

Định lí: Với mọi tam giác ABC, ta luôn có:

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

7.2 Định lí sin trong tam giác:

Định lí: Trong tam giác ABC, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ta có:

2

R

7.3 Công thức độ dài đường trung tuyến:

2

2

2

a

b

c

m

m

m







8 Tỉ số lượng giác của một số góc cần nhớ:

Góc

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 0

6



4



3



2

3

4

6





2

2 2

3

2

2 2

1

2

2 2

1

9 Công thức biến đổi tích thành tổng:

1 cos cos [cos( ) cos( )]

2 1 sin sin [cos( ) cos( )]

2 1 sin cos [sin( ) sin( )]

2

10 Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos 2cos cos

cos cos 2sin sin

sin sin 2sin cos

sin sin 2 cos sin

11.Công thức nhân đôi:

2

cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin sin 2 2sin cos

2

tga

tg a





12 Công thức nhân ba:

3 3

13 Công thức hạ bậc:

2

2

3

3

cos 2 1 cos

2

1 cos 2 sin

2

1 cos 2

1 cos 2 3sin sin 3 sin

4 3cos cos3 cos

4

a a

a a

a

tg a

a

a

a























14 Công thức cộng:

sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin

Ngoài ra ta cũng có công thức sau với một số điều kiện:

tga tgb

tg a b

tga tgb tga tgb

tg a b

tga tgb









a k b  k a b   k

(**) có điều kiện: , ,

a k b  k a b   k

15 Công thức tính tga, cosa, sina theo

2

a

t tg :

2

2

2

2

2 sin

1 1 cos

1 2 ,

t a

t t a

t t

t

















16 Công thức liên hệ giữa 2 góc bù nhau, phụ nhau, đối nhau và hơn kém nhau 1 góc

 hoặc

2



:

16.1 Hai góc bù nhau:

sin( ) sin cos( ) cos ( )

( )

cotg a cotga









 

 

 

 

16.2 Hai góc phụ nhau:

2

2

2

2

tg a cotga cotg a tga









16.3 Hai góc đối nhau:

tg a tga cotg a cotga

16.4 Hai góc hơn kém nhau

2



:

2

2

2

2

tg a tga cotg a cotga









16.5 Hai góc hơn kém nhau :

sin( ) sin

tg a tga cotg a cotga









16.6 Một số công thức đặc biệt:

4

4





17 Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp:

17.1 Hoán vị:

+ Định nghĩa: Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử đó, được sắp xếp

theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần Số tất cả các hoán vị khác nhau của n phần tử ký hiệu là Pn

+ Công thức : Pn =1.2.3 n = n !

17.2 Chỉnh hợp:

+ Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử ( 0 k n  ) là một bộ sắp thứ tự gồm

k phần tử lấy ra từ n phần tử đã cho số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử ký hiệu là

k

n

A

+Công thức :

1

0

1

!

! ( 1) ( 1)

! 1

!

k

n

k

n

n

n

n A

n k

A









 



(qui ước 0! = 1)

17.3 Tổ chợp:

+ Định nghĩa: Cho một tập hợp a gồm n phần tử (n nguyên dương) Một tổ hợp chập k

của n phần tử (0 k n  ) là một tập con của a gồm k phần tử Số tất cả các tổ hợp chập k của

n phần tử ký hiệu là k

n

C

+ Công thức:

!

!

k n

k n

n C

k n k

C

k







+ Tính chất:

0

0 1

1

1

k n k

n







17.4 Công thức Newton:

Tk là số hạng thứ k +1 của khai triển nhị thức (a + b)n : k n k k

T C a b



a b C a C a b C a b  C a  b C b

18 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian:

18.1 Trong mặt phẳng:

Cho các vec-tơ a x y b x y( , ), ( , )1 1  2 2 và các điểm A x y B x y( , ), ( , )1 1 2 2 :

a b x x  y y

2 2

1 1

| |a  x y

dAB x  x  y  y

1 2 1 2

cos( , )a b x x y y





 

1 2 1 2 0

a b     x x  y y 

18.2 Trong không gian:

Cho các vec-tơ a x y z b x y z( , , ), ( , , )1 1 1  2 2 2 và các điểm A x y z B x y z( , , ), ( , , )1 1 1 2 2 2 :

2 2 2

| |a  x y z

dAB x  x  y  y  z  z

1 2 1 2 1 2

cos( , )a b x x y y z z



 

1 2 1 2 1 2 0

a b     x x  y y  z z 

19 Đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian:

19.1 Đường thẳng trong mặt phẳng:

a Khoảng cách:

+ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đương thẳng (d) : Ax + By + C = 0

MH

A B





+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Ax + By + C1 = 0 và Ax + By + C2 = 0

A B





b Vị trí tương đối 2 đường thẳng:

(d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0

(d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0

*( ) ( )

*( ) / /( )

*( ) ( )

*( ) ( )



c Góc giữa 2 đường thẳng:

(d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0

(d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0

( , )d d

 

1 2 1 2

d Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng (d 1 )và (d 2 ):

A x B y C A x B y C



  (góc nhọn lấy dấu – , góc tù lấy dấu + )

e Phương trình chùm đường thẳng có tâm là giao của 2 đường thẳng (d 1 )và (d 2 ):

(A x B y C ) (A x B y C ) 0

       với 22 0

19.2 Đường thẳng trong không gian:

Góc giữa 2 đường thẳng:

(d1) có vector chỉ phương u( , , )a b c1 1 1

(d2) có vector chỉ phương v( , , )a b c2 2 2



 là góc giữa (d1) và (d2)

1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( )d  d  a a b b c c 0

20 Mặt phẳng:

a Khoảng cách từ điểm M(x 0 , y 0 ) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:

MH



b Chùm mặt phẳng đi qua giao tuyến của 2 mặt phẳng:

P A x B y C z D

Q A x B y C z D

    là phương trình mặt phẳng có dạng:

(A x B y C z D) (A x B y C z D ) 0

21.Cấp số cộng:

+ Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số

hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai

1 2 1

U   U U  U 

2 1

2

n







+ Số hạng tổng quát: U n U1d n( 1)

+ Tổng n số hạng đầu:

1

2

n n

a a n

U  

1

2

n

a d n

22 Cấp số nhân:

+ Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng

thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội

"n Є N*, Un + 1 = Un.q

+ Tính chất :

1





U   U U  , U n > 0

+ Số hạng tổng quát :

Un = U1.qn - 1

+ Tổng n số hạng đầu tiên: 1 2 1

1

1

n

q

q





+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1

1

1

U

q



CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM & TÍCH

PHÂN 12

I Đạo hàm:

1 Bảng các đạo hàm cơ bản:

STT Hàm số y Đạo hàm y’

2

u u

'

u u



u

.ln

u

u a

' cos

u u

1 C 0

2 x

1

x



x(x0)

ln

x a

cos x

1

sin x



2 Tính chất của đạo hàm:

a (u + v)’ = u’ + v’

b (u – v)’ = u’ – v’

c (u.v)’ = u’.v + u.v’

d (u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’

e

'

2

u u v v u





II Nguyên hàm:

1 Bảng các nguyên hàm cơ bản:

STT Hàm số & Nguyên hàm



( 1)

3 dx dx ln | |x C

4 e dx e x  xC

5

ln

x

a

6 sinxdx cosx C

7 cosxdxsinx C

1 cos x dx tgx C 

sin x dxcotgx C

2 Một số nguyên hàm khác:

* Hàm y =( )m

a

x  (m1) Hàm số có dạng : m'

u

u = u'.u-m (m1) với u = x-

Nguyên hàm là : ( )m

a dx

x 

1 (m 1)(x )m



* Hàm y = 2

2ax b

ax bx c



  Đặt t = ax2bx c  t' = 2ax + b Hàm số có dạng : t'

t  Họ nguyên hàm của hàm số là : ln|t| + C = ln|ax2bx c | + C

ax b

dx ax bx c C

ax bx c





1

y

ax bx c



  Ta có các trường hợp sau :

+ Mẫu số 2

ax bx c có 2 nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 và giả sử x 1 < x 2 Ta có :

2

ax bx c = a x x x x(  1)(  2) Ta có thể viết như sau :

2

1

dx

ax bx c

 =a x x x x(  11)(  2)dx= 1 2

1



=

a x x x x x x



1 ln

x x

C

a x x x x





+ Mẫu số có nghiệm kép : ax2bx c a x m  (  )2



+ Mẫu số không có nghiệm (vô nghiệm):

ax bx c a x m   n Đặt u = (x m )2 Ta có :

* ax2bx c a u  2n

 21

dx

au n

 Đặt u n a tgt

* ax2bx c a u  2 n  21

dx

au  n

 Nguyên hàm là :

2

2

ln 2

n u a

n

u





3 Họ nguyên hàm của các hàm vô tỉ :

3.1 Hàm số có dạng : f x( ) 21 2

x k



x k





* Cách 1 : Đặt x2k2 = -x + t  t = x + x2k2

 dt = (1 2x 2)dx

x k



x k x

dx

x k

x k

 2dx 2 dt

t

t

*Cách 2: Biến đổi :

1



    ( Nhân tử và mẫu với x x2k2 )

1 ( )

x

x k

f x







( Chia tử và mẫu cho 2 2

x k )

Đặt t x  x2k2 Suy ra : dt t (1 2x 2)dx

x k

 

  f x dx ( ) dt

t Vậy nguyên hàm là : f x dx( ) ln | |t Cln |x x2k2 |C

3.2 Hàm số dạng : f x( ) 21 2

k x



 và f u( ) 21 2

k u





Đặt x k sint với [ ; ]

2 2

x   (hoặc x k cost với x[0; ] )

(1 sin )

k t dt dx

k  x  k  t

| cos | cos )

k t dt t dt

t

Vì [ ; ]

2 2

t   nên cost > 0  cos cos

t dt t

dt dt t C

Tương tự: 21 2du

k  u

3.3 Hàm số dạng : f x( ) x2 k2 ; f u( ) u2 k2

Nguyên hàm là : 2 2 2 2 2ln | 2 2 |

x  k dx x  k  x x  k C



Cách khác: đặt

sin

k x

t

 hoặc

cos

k x

t

 với [0; ]

2

t 

3.4 Hàm số dạng : f x( ) ax2bx c

 Ta biến đổi về một trong hai dạng sau: f x( ) u2  k2 hoặc f x( ) u2k2 rồi áp dụng theo mục 3

3.5 Hàm số dạng : f x( ) x2k2 và f u( ) u2k2

Đặt x ktgt , u ktgt với [- ; ]

2 2

t  

3.6 Hàm số dạng : f x( ) 2 1 2

x m



 hoặc f u( ) 2 1 2

u m





Phân tích thành : 2 2

1 ( )

f x

x m



x m x m rồi áp dụng theo công thức đã học

3.7 Hàm số dạng : f x( ) 21 2

x m



 hoặc f u( ) 21 2





+ Đặt x mtgt , umtgt với [- ; ]

2 2

t  

Vì [- ; ]

2 2

t   nên | ost |2 ost2

+ Đặt tiếp : u sint  du = costdt .Do đó : 2 2

c



4 Các trường hợp tổng quát cần chú ý :

a Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với cosx : Đặt: t = sinx

b Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx : Đặt: t = cosx

c Trường hợp: f(x) là hàm chẵn đới với sinx và cosx :

R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx)

d Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx và cosx : Đặt: t = tgx

e.Trường hợp: f(x) chỉ chứa sinx hoặc cosx : Đặt

2

x

t tg

* Phương pháp chung:

A Dạng f(x) = sin 2n x.cos 2m x :

2

2

(c) sin2nxcos2m xdx Thay cos2x = 1 – sin2x hoặc thay sin2x = 1 – cos2x rối chuyển về dạng

(a) hoặc (b)

B Dạng :

2n

2m

sin ( )

os

x a

f x





 Đặt t = tgx

III Phương trình lượng giác

1 Phương trình cơ bản:

* sinx = sina x = a + k2π

hoặc x = π - a + k2π

* cosx = cosa ⟺ x = ± a + k2π

* tgx = tg a ⟺ x = a + kπ (x ≠ kπ (x ≠ kx ≠ kπ (x ≠ k )

* cotgx = cotga ⟺ x = a + kπ (x ≠ kπ)

2 Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx:

Các phương trình lượng giác

* asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0 (1)

* asin3x + bsin2x.cosx + c.sinx.cos2x + dcos3x = 0 (2)

* asin4x + bsin3x.cosx + csin2x.cos2x + dsinx.cos3x + ecos4x = 0 (3)

Do cosx ≠ 0 nên chia hai vế của phương trình (1), (2), (3) theo thứ tự cho cos2x, cos3x, cos4x đưa phương trình đã cho về phương trình mới và ta dễ dàng giải các phương trình này

3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

* sinx + bcosx + c = 0 (1), a2 + b2 ≠ 0 phương trình (1) có nghiệm a2 + b2 - c2 ≥ 0

Có ba cách giải loại phương trình này :

- Giả sử a ≠ 0

(1) sinx bcosx c 0

Đặt : tg b

a

 

(2) sinx tg cosx c 0

a



a

Ta dễ dàng giải phương trình này

- Đặt :

2

x

tg t

2



Giải phương trình bậc hai đối với t, dễ dàng giải được phương trình (1)

- Do a2b2 0, chia hai vế của phương trình cho a2b2 :

(1) 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

Đặt :

sin cos

a

a b

b

a b



















2 2



 (đây là phương trình cơ bản)

Chú ý : Ta luôn có :

| sina x b sin |x  a2b2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi sin(x + a) = 1

4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:

a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) (a, b, c là hằng số)

Giải phương trình (1) bằng cách đặt :

sinx + cosx = t , | |t  2

Đưa (1) về phương trình

bt22at (b2 ) 0c 

Giải phương trình (2) với | |t  2.

5 Hệ phương trình lượng giác:

1) Hệ phương trình lượng giác một ẩn Chẳng hạn có hệ phương trình :

sin 1

x

x











Có hai phương pháp giải :

* Phương pháp thế, giải một phương trình của hệ rồi thế nghiệm tìm được vào phương trình còn lại

* Phương pháp tìm nghiệm chung, giải tìm nghiệm của mỗi phương trình trong hệ, sau đó tìm nghiệm chung

2) Hệ phương trình lượng giác hai ẩn Chẳng hạn có hệ phương trình :

3

x y











Phương pháp chung là đưa nó về hệ phương trình đại số hai ẩn, hoặc đa về phương trình tổng tích