Các dạng bài tập tích phân thường gặp trong đề thi đại học

Đổi cận lấy tích phân ta có... Dùng công thức tích phân từng phần với ... Bài 6: Tính thể tích của các vật thể tròn xoay tạo bởi các đường sau khi quay quanh Ox.

Trang 1

Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com

Chủ đề 3: CÁC DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Dạng 1: Tích phân các hàm phân thức và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

Kỹ thuật phân tích hệ số bất định

Loại 1: 2

1



(A, B tìm theo đồng nhất hệ số)

Loại 2:

2

(A, B, C tìm theo đồng nhất hệ số)

Ví dụ 1: Tính tích phân sau:

3





Giải:

Ta có

4

3



Ví dụ 2: Tính tích phân sau:

1

0

3 1

x







Giải: Phân tích:

2

3



Trang 2

Từ đó suy ra:

Vậy tích phân viết lại dưới dạng

1 0

ln( 1) |

Lại đặt  x 2M(1 x x2 ') N , ta viết được tích phân

1

2

x





 

Vậy ln 2 2

3 3

Bài tập luyện tập

Bài 1: Tính các tích phân sau:

2

1

2

12

7x dx x

x

3

1 2 3

16 x

dx x

2 2

0

4)

3

0

2

x x  x dx

1

2 2

1(1 )

dx x

  6)

dx



1







dx



Hướng dẫn:

5) Đặt x = tant

2

6)

Trang 3

Dạng 2: Tích phân các hàm số vô tỷ

Kiểu 1: Đặt ẩn phụ t f x( )

Ví dụ 3: Tính tích phân

2

3

dx I





Giải

dx

x

 Khi đó ta có

2

2 1

I

cos

dy

y

Vậy

1

dy





Kiểu 2: Lượng giác hóa

+) Nếu tích phân dạng ( , 2 2)

n

m

cos











+) Nếu tích phân dạng ( , 2 2)

n

m

Ví dụ 4: Tính tích phân sau

3 2

9 

 ( x )

x

Giải:

Đặt x3sintdx3costdt Đổi cận lấy tích phân ta có

Trang 4

 2 3

2

6 6

I







Kiểu 3: Kỹ thuật nhân liên hợp

Ví dụ 5: Tính tích phân

/ 4

sin 1

x









Giải

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân với ( 2

1 x  ) ta có: x

2

/4

4

5 5

sin

1

x



+) Tính I5' Đặt x = -t, khi đó ta có:



+) Tính ''

5

I Dùng công thức tích phân từng phần với



Trang 5

4

5

4





Vậy I 5 2

9)

2

3

1

dx

1

0 1

2

1

x dx

1 x 1



12)

0

x

dx (x 1) x 1 

1

xdx

2

0

xdx

x2 2 x



15)

2

1

dx

x 2x 1

2

3 0

x 1 dx 3x 1



2 2 2

2

0 1

x dx x





18)

3

0

3

x

dx



  

2 0

2 1

dx x



1 2

2 0

1 4

x dx x







Hướng dẫn:

1 x t 10) Đặt 2

1 x t hoặc x = sint 11) Đặt x  1 t

12) x 1 t, 13) Nhân liên hợp 14) Nhân liên hợp

15) Đặt 2x  16) 1 t 3

18) Đặt x 1 t, 19) Đặt 1 x 2 t 20) Đặt x = 2sint

Dạng 3: Tích phân các hàm số mũ và logarit

Loại 1: Biến đổi và sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản

Trang 6

Ví dụ 6: Tính tích phân

0

2

1 2

x

dx e





Giải:

2

1 2

+) Tính

1

2 1

1

x

+) Tính

1

ln(1 2 ) | ln

x

Vậy 1 1ln 2 1

e

Loại 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 7: Tính tích phân sau: 2

1

ln (2 ln )

e

x dx



Giải:

Đặt 2 lnx t lnx t 2 dx dt

x

Đổi cận: Với x   e t 3

Với x   1 t 2

3

2 2



Ví dụ 8: Tính nguyên hàm 1

(1 x)

x dx





Trang 7

Giải:

Đặt

x

dt

e

1



1

x x

xe

C xe



1

ln (ln 1)

e

I





 



Giải:

Chia cả tử và mẫu cho x3, ta được:

2

3 3

ln (ln 1)

1



Đặt lnx 1 1 t dt ln2x dx

x x     x

2

e



Loại 3: Sử dụng công thức tích phân từng phần

Ví dụ 10: Tính tích phân sau: 2

1

3 x

0

Ix e dx

Giải:

Trang 8

Đặt

2

1 2

x





 





Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có

1

0

23)

ln 2 2

x

e dx

e 

 ; 24)

2

1

1 ln

e

x dx x



0

(1 x)

x

e dx e



26)

3

0

2x  4 dx

10 2

1 lg

ln 8

ln 3

e 1.e dx



ln 2

2

0

29) x dx x

e e

2 0

ln 1 x

dx

1 x

















e

dx x x x x

x I

1

2 ln 3 ln 1 ln

32)

ln 3 x

x 3

0

e dx

(1 e )

1

3 x

0

x e dx

2 0

1

dx x





35)

1

3 2 ln

1 2 ln

e

x dx





4

1

ln(1 x)

dx



0

2 x 3

1



Hướng dẫn:

Trang 9

23) Đặt e x 1 t 27) Dùng công thức từng phần

2

v













28) e x 1 t 29) te x 30) xtantvà

4

31) Kết hợp từng phần và đặt ẩn phụ 32) e x 1 t

33) x2  và dùng tích phân từng phần t 34) dùng từng phần với uln(x 1x2)

35) Đặt 1 2 ln x  t 36) Đặt 1 x t

Dạng 4: Tích phân các hàm số lượng giác

Loại 1: Dùng công thức nguyên hàm hàm số hợp

Ví dụ 10: Tính tích phân

2

cos

4 sin

x













Giải:

)

1 2

cos

+) Tính I1

Ta có:

0 2





Xét

0

2

4 sin

x











Trang 10

Đặt x  t dx dt

Đổi cận: Với

Với x   0 t 0



Thay (2) vào (1) I1 0

+) Tính I 2

Ta có:

2

(ln s inx 2 ln 2 s inx )

x



2









Vậy 1ln 9

4

I 

Bình luận: Trong tích phân này chúng ta nhận dạng tích phân ( ) 0

a

f x dx





(Chứng minh bằng cách đặt x = -t)

Loại 2: Dùng công thức tích phân từng phần

Tính: ( ) lg

b



Trang 11

Phương pháp:

'( ) ( )









Ví dụ 11: Tính tích phân:

3

2

3

sin cos

x





 

Giải:

Đặt

2

1





sin x

cos os

dx

x

3 3

1 3

3

4 3





I cosx   cosdx  I

Tính I1

I1=

1



 cosdx x  coscosxdx x  d(s in )sinx x  ( sin )(d(s in )x x s inx)  ( s inx) (( sin )(x s inx) (s in )s inx)d x

3 3





ln

I

Trang 12

Loại 3: Đặt ẩn phụ

Ví dụ 12: Tính các tích phân sau

a)

2

0

sin 2 cos 4 sin

x

dx





4 0

4





sin sin ( s inx cos )

x x

Giải:

a) Ta có:

I =

2

0

sin 2 cos 4 sin

x

dx







2

2 0

2 sin cos

1 3sin

dx x









3

tdt

Đổi cận: Với x0 t 1, 2

2

1

0

tdt

t

b)

4

2 0

2







(s inx cos )sinx cos(s inx cos )x dx

4

2 0

2





 

(s inx cos )d(sinx x cos )(s inx cos )x x Đặt s inx cos x t

Đổi cận: Với x  0 t 1

Trang 13

Với 2

4



2 2





dt

t

2

1



Loại 4: Dạng tích phân đưa về tanx và cotx

Ví dụ 13: Tính

2 4

3 6

cos

4

x dx







Giải

Ta có:

2

4 6

1 1



 



cot

x

40)

4

2

0

1 sin 2

cos

x

dx x





1 2

0 sin ( )

x

3 2

4

cos

1 sin

x dx x



 



43)

4

0

sin xdx



2

3 0

4 sin (sin cos )

x dx





2 2

0 sin xdx



 

 

 



Trang 14

46)

2

0

sin 2 sin

1 3cos

dx x





2

6

0

1 cos x sin x cos xdx





6

0

cos 2 sin 3 cos

xdx







49)

2

0





4

0

x dx

1 cos 2x





2 cos x

0

e sin 2xdx



52)

2 4

4

sin cos (tan 2 tan 5)

x

dx



3 2

2 3

0

sin cos

1 sin

dx x





54)

2

3

sin sin

cot sin

xdx x





2 sin x cosx 1

dx sin x 2cosx 3 0



1

0

1

x





Hướng dẫn:

40)

4 0

tan |







42)

dx





44) Đặt

2

46) Đặt 1 3cos x  t 47) Đặt 61 cos x 3  t

48)

2

3





3

 

Trang 15

52) Đặt tanx = t

53) 1 sin x t

Dạng 5: Ứng dụng tích phân

Ví dụ 14:

a) Tính diện tích của hình tạo bởi y 4x2,x   y 2 0

b) Tính diện tích của hình tạo bởi y 2x2 và

2

y x  x

Giải:

a) Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình:

4x2   x 2

2

2 0



   





x x

0

2 2

 





x x

x

x x

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

=

2

0

2

2 2



   

(x )

+) Tính I

Đặt x2sintdx2costdt và 4x2  4 4 sin2t 2 1sin2t 2 cos2t 2cost

0



 I cos tdt ( cos )t dt( tsin )t 

Trang 16

Vậy S2 (đvdt)

b) Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình:

2x2  x22x2 (1)

+) Nếu 2x 2 0x 1 thì (1)2x  2 x22x 2

2 0

4( )

x







(1)2x 2 x 2x 2

2 2 ( )

2

x





 Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 0 hoặc x = -2

Diện tích hình phẳng cần tìm là



Ví dụ 15:

a) Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau khi quay quanh Ox:

y 1 2x x 2 và y 1

b) Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau

y x ln(1x) ;3 y và x = 1 0

Giải:

a) Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình:

Trang 17

2

0

2

 





x x

x

x x

x

Thể tích tròn xoay cần tính được cho bởi

4

3



+) tính I

 (   )  (  ) 

Đặt x 1 sintdxcostdt



1

2



I   sin tcostdt  cos tdt  cos t dt

2





 dt  cos td t( ) t sin t

b) Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình:

Trang 18

x ln(1x3) 0

3

0

x





Thể tích tròn xoay cần tính được cho bởi

Đặt

2

3

1 3

x













3

0 0

1

x



 +) Tính I

1 3

3

0

x

Vậy 3ln 2 1

V   (đvtt)

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 trong các đường sau:

a)yx33x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ 1

2

x  

b) yxsin

2

4

Trang 19

c) y lnx , y 0,x 1,x e

e

    d) y(e1)x, y (e x 1)x

e) y 4x2,x   y 2 0 f) y 2x2 , y x22x 2

g) x y x,   y 2 0,y0

Bài 6: Tính thể tích của các vật thể tròn xoay tạo bởi các đường sau khi quay quanh Ox

a) sin4 os4 , 0, ,

2



x

, y = 0, x =e

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	673,44 KB