BÀI TẬP CHƯƠNG TÍCH PHÂN1.1 Cách tính tích phân 1.
Trang 1BÀI TẬP CHƯƠNG TÍCH PHÂN
1.1 Cách tính tích phân
1 Tích phân phân thức đơn giản loại 2: R mx + n
(ax2+ bx + c)kdx Biến đổi để đưa về thành tổng 2 tích phân dạngR du
uk,R du (u2+ a2)k với k = 1, 2
2 Tích phân hàm hữu tỉ : f (x) = Pn(x)
Qm(x): Phân tích 5 f (x) =P mx + n
(ax + b)k +
P mx + n (ax2+ bx + c)k, k = 1, 2
3 Tích phân hàm vô tỉ dạng : f (x,r ax + bn
cx + d) ; đặt t =
n
r ax + b
cx + d
4 Tích phân hàm vô tỉ dạng : f (x,√
ax2+ bx + c)
Ta biến đổi : ax2+ bx + c =
√ a
x + b 2a
2
+4ac − b
2
4a tức là đưa
√
ax2+ bx + c thành 1 trong
3 dạng√
u2+ a2,√
u2− a2,√
a2− u2 Sau đó đặt u = a.tant, u = a.sint, u = a
cost hoặc sử dụng trực tiếp các tích phân dạng R √ du
u2± a2,R √ du
a2− u2, R √
u2− a2du
5 Dạng đặc biệt 1: f (x) = √ mx + n
ax2+ bx + c Tính như tính tích phân phân thức đơn giản loại 2, đưa về thành tổng 2 tp dạng R √du
u và
R du
√
u2± a2,√ du
a2− u2
6 Dạng đặc biệt 2: f (x) = c
(mx + n)√
ax2+ bx + c Đặt mx + n = 1
t để đưa về dạng trên.
7 Tích phân Trebusev: f (x) = xm(a + bxn)p, với m, n, p là các số hữu tỉ với 3 trường hợp :
a p ∈ Z : đặt x = ts với s = BCN N (m, n)
b m + 1
n ∈ Z : đặt a + bxn= ts với s là mẫu số của p
c m + 1
n + p ∈ Z : đặt ax
−n+ b = ts với s là mẫu số của p
1.2 Tính các tích phân sau:
1 I1 =R e√xdx
Trang 23 I3 =R cosx
ex dx
4 I4 =R arcsin√
x
√
1 − x
5 I5 =R dx
2x2− 4x + 5
6 I6 =R xdx
x4+ 6x2+ 13
7 I7 =R x4+ 3x3+ 3x2− 5
(x + 1)3 dx
8 I8 =R 3x
2+ 2x − 1
x3− 3x + 2 dx
9 I9 =R dx
x(x6+ 1)
10 I10 =R dx
4cosx + 3sinx + 5
11 I11 =R dx
sin4xcos2x
12 I12 =R √ dx
cosxsin3x
13 I13 =R dx
4sin2x − 7cos2x
14 I14 =R 1
x
r x − 1
x + 1dx
15 I15 =R x − 1
√
1 − 4x − x2dx
16 I16 =R x√x2− 4dx
17 I17 =R dx
(x2+ 9)√
16 − x2
18 I18 =R √ dx
x √4
x+
19 I19 =
ln6
R
ln2
ex√
ex− 2)
ex+ 2 dx
20 I20 =
2√3
R
2
√
x2 + 4
x2 dx
Trang 32 Ứng dụng hình học của tích phân
2.1 Công thức
1 Diện tích miền D giới hạn bởi f1(x) ≤ y ≤ f2(x), a ≤ x ≤ b được tính bởi
S(D) =
b
R
a
(f2(x) − f1(x)) dx
2 Thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay hình thang cong 0 ≤ y ≤ f (x), a ≤ x ≤ b quanh
a Trục Ox: Vx= π
b
R
a
f2(x)dx
b Trục Oy: Vy = 2π
b
R
a
xf (x)dx
3 Diện tích mặt tròn xoay khi quay cung AB : y = f (x), a ≤ x ≤ b quanh trục Ox là :
S = 2π
b
R
a
f (x)
q
1 + f02(x)dx Khi quay quanh trục Oy: ta đổi vai trò x, y cho nhau
4 Độ dài cung AB : y = f (x), a ≤ x ≤ b là : L =
b
R
a
q
1 + f02(x)dx
2.2 Bài tập
1 Tính diện tích các miền phẳng sau:
D1 : y2 = 2x, x2 = 2y
D2 : x2+ y2 = 8, y2 = 2x phần trong hình tròn
D3 : y = ln(x + 2), y = 2lnx, y = 0
D4 : (y − 2)2 = x − 1, y = 0, và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có tung độ là 3
D5 : y = ex, y = e−x, x = 1
D6 : y = 1
1 + x2, y = x
2
2
2 Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D quanh trục tương ứng:
Vx : y = 2x − x2, y = 0, 0 ≤ x ≤ 2
Vx : y2 = (x − 1)3, x = 2
Vy : y = x
2
2 + 2x + 2, y = 2
V : y = x2, y = 4 quay quanh đường thẳng x = 2
3 Tính diện tích mặt cong tạo khi quay miền D quanh trục tương ứng:
Sx, Sy : x
2
4 +
y2
9 ≤ 1
Sx : y = x2, y = x
Sx : y = tanx, 0 ≤ x ≤ π
4
Trang 44 Tính độ dài cung:
y = x
2
4 − lnx
2 , 1 ≤ x ≤ e
y =√
x3, 0 ≤ x ≤ 4
y = lncosx, 0 ≤ x ≤ a, a ≤ π
2