NHOM 8 KHOANG CACH

Hình thành khái niệm và cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng... hình thành cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Để điều chỉnh độ nghiêng của mô hình một k

KHOẢNG CÁCH Danh sách thành viên nhóm 8:

- Thầy Nguyễn Văn Dục – THPT Ngô Gia Tự

- Cô Võ Thị Phương Lan – THPT Ngô Gia Tự

- Thầy Nguyễn Xuân Quân – THPT Nguyễn Huệ

- Thầy Nguyễn Đức Hiệp - THPT Nguyễn Huệ

- Thầy Phạm Văn Nhị - THPT Nguyễn Thái Bình

- Thầy Đào Văn Vinh - THPT Nguyễn Thái Bình

- Cô Bùi Thị Thanh Huyền – THPT DTNT Nơ Trang Lơng

- Cô Văn Thị Bích Thủy – THPT Nguyễn Trãi

- Thầy Bùi Quốc Thuận – THPT Trần Phú

- Thầy Trần Hồng Dân – THPT Trần Phú

A Hoạt động khởi động:

(Hình thành khái niệm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng)

- Nơi đang đứng:

- Đi đến đường Giải phóng theo đường mất 5 phút.

- Đi đến đường Giải phóng theo đường mất 20 phút.

- Đi đến đường Giải phóng theo đường mất 15 phút.

Giả sử tốc độ đi bộ là 100m/Phút Câu trả lời nào sau đây phù hợp cho câu hỏi: Chỗ bạn đang đứng cách đường Giải Phóng bao xa?

(Hình thành khái niệm và cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng)

Hãy tính chiều cao của kim tự tháp (có dạng hình chóp tứ giác đều) khi biết chiều dài một cạnh bên và một cạnh đáy?

(hình thành cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng)

Để điều chỉnh độ nghiêng của mô hình một kim tự tháp cần thanh kim loại nối từ điểm C đến 1 điểm G trên cạnh AF Xác định điểm G để thanh kim loại là ngắn nhất Chiều dài tối thiểu của thanh kim loại là bao nhiêu?

(hình thành khái niệm – cách dựng đường vuông góc chung – khoảng cách giữa hai đường

chéo nhau)

Phương án điều chỉnh độ nghiêng của mô hình kim tự tháp khác được đề xuất: Nối từ một điểm của cạnh bên tới một điểm của đường chéo cạnh đáy Cách xác định vị trí 2 điểm nối

để thanh kim loại dùng để nối là ngắn nhất Độ dài tối thiểu của thanh kim loại dùng để nối

là bao nhiêu?

B Nội dung chính:

I) khoảng cách

1) khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

HĐ1.1 Tìm hình chiếu của điểm M lên

đường thẳng a

HĐ2: Hình thành kiến thức

Cho điểm O và đường thẳng a Gọi H là

hình chiếu vuông góc của O trên a Khi đó

độ dài đoạn OH được gọi là khoảng cách

từ điểm O đến đường thẳng a

Kí hiệu:

d(M;a)=MH

Vẽ hình

HĐ3: Củng cố

Ví dụ: Cho tam giác ABC có diện tích

bẳng 8 cạnh BC=4 Tính đường cao AH

2) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

HĐ1.1 Tính khoảng cách từ học sinh A

đến mặt phẳng bảng?

HĐ2: Hình thành kiến thức

Cho điểm O và mp( )α Gọi H là hình

chiếu vuông góc của O lên mp( )α Khi

đó, OH được gọi là khoảng cách từ điểm

O đến mp( )α (hình 3.39)

Kí hiệu: d O( ,( )α =) OH

Vẽ hình

HĐ3: Củng cố

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật

' ' ' '

AB a BC b AA= = =c Tính khoảng

cách từ B đến mặt phẳng (ACC A ' ')

II) khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song.

1) khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

HĐ1.1 Cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB=3; AD=4

Tính khoảng cách từ AD đến mặt phẳng

(A’B’C’D’)

HĐ2: Hình thành kiến thức

Cho a//( )α Khoảng cách giữa đt a và

mp( )α là khoảng cách giữa một điểm

bất kì thuộc a đến mp( )α .(hình 3.40)

Kí hiệu d a( ,( )α )

Vẽ hình

HĐ3: Củng cố

Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng tam giác

.

ABC DEF, gọi G là trung điểm của FD

Tính khoảng cách từ EG đến mặt phẳng

( ABC)

2) khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ Biết AB=3,AD=4

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

(ABB’A’) và (CDD’C’)

HĐ2: Hình thành kiến thức

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song

song là khoảng cách giữa một điểm bất

kì thuộc mp này đến mp kia.(hình 3.41)

Kí hiệu: d( ( ) ( )α , β )

Vẽ hình

HĐ3: Củng cố

Ví dụ: Cho hình lập phương

ABCD A B C D có cạnh bằng 2 Tính

khoảng cách giữa hai mặt phẳng

( AB D′ ′) và (BC D′ ).

A 3 B 3

2

C 2

3 D 3

3

III Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

1 Định nghĩa

HĐ 1.1 Cho hình hộp chữ nhật

' ' ' '

ABCD A B C D Hai đường thẳng

' '

A B và AD là

A hai đường thẳng song song.

B hai đường thẳng cắt nhau.

C hai đường thẳng chéo nhau.

Đường thẳng '

AA

D hai đường thẳng trùng nhau.

HĐ 1.2 Hãy tìm 1 đường thẳng vừa

vuông góc, vừa cắt cả hai đường thẳng

' '

A B và AD

HĐ2: Hình thành kiến thức

Đường thẳng AA được gọi là đường'

vuông góc chung của hai đường thẳng

chéo nhau A B và AD Từ đó, ta có' '

định nghĩa:

a) Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng

chéo nhau a, b và cùng vuông góc với

mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường

vuông góc chung của a và b.

b) Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt

hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt

tại M, N thì độ dài đoạn MN gọi là

khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau a và b.

Vẽ hình

HĐ3: Củng cố

HĐ3.1 Cho hình hộp chữ nhật

' ' ' '

ABCD A B C D Đường vuông góc

chung của hai đường thẳng AA và ' BC

là

A DC

B CC '

C AC

D AB

HĐ3.2 Cho hình lập phương

' ' ' '

ABCD A B C D có cạnh 3cm Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng AB

và CC '

2 Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

HĐ1.1 Cho hình hộp chữ nhật

' ' ' '

ABCD A B C D Hãy tìm 1 mặt

phẳng chứa đường thẳng A C và song' '

song với BD

Mặt phẳng (A B C D ' ' ' ')

HĐ1.2 Hãy tìm hình chiếu vuông góc

của đường thẳng BD lên mặt phẳng

' ' ' '

A B C D

Đường thẳng B D' '

HĐ1.3 Gọi I là giao điểm của A C và' '

' '

B D Từ I dựng đường thẳng V

vuông góc mặt phẳng (A B C D Hỏi' ' ' ')

đường thẳng V có cắt và vuông góc với

đường thẳng BD

không ?

HĐ2: Hình thành kiến thức

Từ ba hoạt động trên, ta có cách xác

định đường vuông góc chung của hai

đường thẳng chéo nhau như sau:

Cho hai đt chéo nhau a và b Gọi (β) là

mp chứa b và song song a, a’ là hình

chiếu vuông góc của a lên (β).

Vì a//(β) nên a//a’ Do đó b ∩ a’=N.

Gọi (α) là mp chứa a và a’, ∆ là đt qua

N và vuông góc với (β) Khi đó (α

)≡(a,a’) vuông góc với (β) Như vậy ∆

nằm trong (α) nên cắt a tại M và cắt b

tại N, đồng thời ∆cùng vuông góc với

cả a và b Vậy ∆là đường vuông góc

chung của a và b.

HĐ3: Củng cố

HĐ3.1 Cho hình hộp chữ nhật

' ' ' '

ABCD A B C D Hãy tìm đường

vuông góc chung của hai đường thẳng

'

AA và B C'

3 Nhận xét

HĐ1.1 Cho hình hộp chữ nhật

' ' ' '

ABCD A B C D Em có so sánh gì

về khoảng cách giữa hai đường thẳng

BD và A C với khoảng cách giữa ' '

đường thẳng BD và mặt phẳng

(A B C D ?' ' ' ')

Bằng nhau

HĐ1.2 Cho hình hộp chữ nhật

' ' ' '

ABCD A B C D Em có so sánh gì

về khoảng cách giữa hai đường thẳng

BD và A C với khoảng cách giữa hai ' '

mặt phẳng (ABCD và ) (A B C D ?' ' ' ')

Bằng nhau

HĐ2: Hình thành kiến thức

a) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

chéo nhau bằng khoảng cách từ một

điểm trên đường thẳng này đến mp song

song với nó và chứa đường thẳng kia

b) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mặt

phẳng song song lần lượt chứa 2 đường

thẳng đó.

HĐ3: Củng cố

HĐ3.1 Cho hình hộp chữ nhật

' ' ' '

ABCD A B C D có AB =3cm,

4

BC = cm, AA'=5cm Gọi M , N

lần lượt là trung điểm AD và ' ' A B

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

BM và C N'

d BM C N d ABCD A B C D

=

HĐ3.2 Cho hình chóp S ABCD có

ABCD là hình vuông cạnh a , SA

vuông góc với đáy Tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng SB và CD

( ) ( ( ) )

( )

,

d CD SB d CD SAB

=

C. Luyện tập:

Câu 1. Cho tứ diện ABCD có cạnh AB AC AD, , đôi một vuông góc nhau và có cùng độ dài a

Tính khoảng cách d từ A đến đường thẳng DC theo a

A

2

a

2

a

d = C

3

a

d= . D d=a.

Câu 2. Cho tứ diện ABCD có cạnh AB AC AD, , đôi một vuông góc nhau và có cùng độ dài a

Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (BCD)theo a

3

a

2

a

d = C 4 3

3

a

d= D 3

3

a

d = Lời giải

Chọn D.

Tam giác ACDcân đỉnh A

Dựng

( ) ( ,( ) )

AH ⊥BM ⇒AH ⊥ BCD ⇒d A BCD =AH

2

CD a= ⇒AM = a

3

a AH

AH = AB + AM ⇒ =

Câu 3. Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′có cạnh bằng 2 Tính khoảng cách giữa hai mặt

phẳng ( AB D′ ′) và (BC D′ ).

3

Lời giải Chọn C.

Gọi O AC= ∩BD O, ' =A C' ' ∩B D OH' ', ⊥AO'

( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) )

/ / ' '

'/ / '





BD B D

AB D C BD d AB D C BD d O AB D

AB DC



B D A C

B D ACC A B D OH

B D CC

( ) ( ( ) )

' '

'



OH B D

OH AB D OH d O AB D

OH AO

Tính OH: 2 2 2

.

Câu 4. Chóp tứ giác đều S ABCD. cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 45 0 Ta có

khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SA bằng:

A

2

a

3

2

a

D

2 2

a

Lời giải Chọn B.

Gọi I là trung điểm AB ⇒SI ⊥AB (tam giác SAB cân tại S)

Dựng OH ⊥SI (với H∈SI)

(góc(SAB),(ABCD)) g cSIOó 45

Ta có:

( )

OH SI



⊥

Tam giác SOI vuông tại O ta có: tan 45 2. 2

a a

SO= oOI = = và 2 2 2

OH =OI +SO

2

2

OH = a + a

   

 ÷  ÷

a a a

= + =

2 3

a OH

Ta lại có CD/ /AB⇒CD/ /(SAB).

3 3

a a

d CD SA =d CD SAB =d C SAB = d O SAB = OH = =

Câu 5. Cho hình chópS ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2, SA⊥(ABCD), SA a= .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB là

2

a D a 2

Lời giải Chọn C.

Dựng hình bình hành ACBE.

Ta có A / /C BE⇒AC/ /(SBE)

( , ) ( ,( ) )

d AC SB d AC SBE

( ) ( , )

d A SBE

=

Gọi K là hình chiếu vuông góc của Alên EB,

H là hình chiếu vuông góc của Alên SK

Suy ra d A SBE( ,( ) ) =AH .

Ta có AK =BO a=

2

2

AH

AH = SA + AK ⇒ = SA AK =

+

2 2

a AH

IV Vận dụng:

Bài toán 1: Số liệu: cạnh đáy 100m, góc ở đáy của một mặt bên là 72 0 Tính chiều cao của kim tự tháp.

S

D

C B

A E

K

H

O

Đáp án: 147m

Bài số 2: Số liệu: cạnh đáy 100m, góc ở đáy của một mặt bên là 72 0 Xác định điểm G là hình chiếu của C lên AF, tính độ dài CG.

Đáp án: CG = 127.5m

Bài số 3: Số liệu: cạnh đáy 100m, góc ở đáy của một mặt bên là 72 0 Tính khoảng cách giữa

FD và AC

V Sáng tạo:

Eratosthenes (tiếng Hy Lạp: Ερατοσθένης; 276 TCN – 194 TCN ) là một nhà toán học , địa lý và thiên văn người

Hy Lạp Những người cùng thời với ông gọi ông là "Beta" do ông là người nổi tiếng thứ hai trên thế giới vào thời

đó trong nhiều lĩnh vực.

Tổng quan về cuộc đời của Eratosthenes

Ông sinh ra tại Cyrene (ngày nay thuộc Libya ), nhưng làm việc và mất tại Alexandria ( Ai Cập ) thời kỳ Ptolemy Ông được nhắc tới vì đã nghĩ ra hệ thống kinh độ và vĩ độ cũng như tính toán ra kích thước của Trái Đất

Eratosthenes nghiên cứu tại Alexandria và một số năm tại Athena (Hy Lạp) Năm 236 TCN ông được Ptolemy III Euergetes I giao nhiệm vụ làm thủ thư tại Thư viện Alexandria Ông đã có một số cống hiến cho toán học và khoa học và là một người bạn thân của Archimedes Khoảng năm 255 TCN ông đã phát minh ra hỗn thiên nghi , là thiết

bị được sử dụng rộng rãi cho đến khi phát minh mô hình vũ trụ ra đời vào thế kỷ 18

Trong tác phẩm Trong các chuyển động tròn của các thiên thể Cleomedes đã cho là ông đã tính toán chu vi của Trái Đất vào khoảng năm 240 TCN , bằng sử dụng các phương pháp lượng giác và kiến thức về góc lên của Mặt Trời vào giữa trưa tại Alexandria và Syene (ngày nay là Aswan , Ai Cập).

Đo đạc Trái Đất

Eratosthenes đã biết rằng tại thời điểm hạ chí vào giữa trưa tại khu vực ở trên đường bắc chí tuyến thì Mặt Trời phải xuất hiện ở thiên đỉnh , ngay phía trên đầu người quan sát — mặc dù Syene trên thực tế là nằm ở phía bắc và rất sát với đường chí tuyến này.

Từ đo đạc ông cũng biết rằng tại thành phố quê hương của ông là Alexandria thì góc lên của Mặt Trời là khoảng 7° về phía nam của thiên đỉnh vào cùng một thời điểm Giả sử là Alexandria nằm ở phía bắc của Syene -

Alexandria trên thực tế nằm nghiêng nhiều về kinh độ phía tây - ông đã kết luận rằng khoảng cách từ Alexandria tới Syene phải khoảng 7/360 của chu vi Trái Đất.

Khoảng cách giữa hai thành phố đã được biết từ các chuyến đi của các đoàn lữ hành là khoảng 5.000 stadion

Ở đây có một số sai số trong tính toán này Syene không nằm chính xác trên bắc chí tuyến và cũng không thẳng về

phía nam của Alexandria; cũng như Mặt Trời không cách xa Trái Đất vô cùng lớn (Eratosthenes đã biết điều này, nhưng chúng ta không nói/không biết là ông đã chỉnh điều này chưa) Nghiêm túc hơn nữa thì các góc trong thời

cổ đại chỉ có thể đo chính xác đến mức của độ hoặc 1/4 độ và việc đo đạc khoảng cách trên mặt đất thì còn kém hơn nữa Ông đã xác định giá trị cuối cùng là 700 stadion trên một độ, điều này hàm ý chu vi Trái Đất là khoảng

252.000 stadion Độ lớn chính xác của stadion mà ông đã sử dụng thì ngày nay người ta không biết chính xác (stadion phổ biến của người Attike là khoảng 185 m), nhưng nói chung người ta tin rằng giá trị mà Eratosthenes đưa ra tương ứng với khoảng 39.690 km - 46.620 km Chu vi của Trái Đất dọc theo các cực ngày nay đo được là khoảng 40.008 km Phương pháp của Eratosthenes khoảng 150 năm sau đã được Posidonius sử dụng.

Khoảng năm 200 TCN Eratosthenes cũng được coi là người đã nghĩ ra/chấp nhận sử dụng từ γηγραφειν hay

γειαγραφειν tức địa lý , là khoa học mô tả Trái Đất.

Các cống hiến khác của Eratosthenes còn có:

• Sàng Eratosthenes là cách thức tìm các số nguyên tố

• Đo đạc khoảng cách Mặt Trời-Trái Đất, ngày nay gọi là đơn vị thiên văn (1 AU≈804.000.000 stadion).

• Đo đạc khoảng cách tới Mặt Trăng (780.000 stadion).

• Đo đạc độ nghiêng của mặt phẳng hoàng đạo với sai số góc 7'.

Eratosthenes còn được biết đến với tên gọi β , vì ông coi mình là thứ hai trên thế giới trong nhiều lĩnh vực Ông cũng được biết đến vì tính kiêu căng Năm 195 TCN ông bị mù và năm sau đó đã mất vì chết đói.

Tập hợp chắp vá các huyền thoại về bầu trời của người Hellen được gọi là Catasterismi (Katasterismoi) đã được

coi là của Eratosthenes, tên của một người đáng nể, để tăng thêm sự tin tưởng vào nó.