Bài toán tính thể tích và khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp : Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau , ta có thể tiến h nh theo một trong các cách dưới đâ

BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO

NHAU Phương pháp : Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau , ta có thể tiến

h nh theo một trong các cách dưới đây :

Cách 1 : Dựa v o định nghĩa ( Xác định đường vuông góc chung )

Cách n y thường được tiến h nh khi ta biết được hai đường thẳng vuông góc với nhau Khi đó ta l m như sau :

Bước 1 : Xác định một mặt phẳng (P) chứa vuông góc với đường thẳng Tức l đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) , trong đó có đường thẳng

Bước 2 : Tìm giao điểm I của đường thẳng với mặt phẳng (P) Từ I kẻ IH vuông góc với , với H Khi đó IH l đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng

Bước 3 : Tính độ d i đoạn thẳng IH

Ta thường vận dụng hệ thức lượng tam giác v tam giác đồng dạng ; định lý Pitagor để tính độ

d i đoạn IH

Cách 2 : Dựa v o khoảng cách giữa đường thẳng v mặt phẳng song song

Giả sử ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau , ta có thể tiến h nh như sau :

Bước 1 : Lấy mặt phẳng (P) chứa đường thẳng v song song với đường thẳng Khi đó d( = d(

Nên lấy sao cho ta dễ d ng tính được khoảng cách

Bước 2 : Tính khoảng cách giữa đường thẳng v mặt phẳng (P)

THÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 1 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC l tam giác vuông ,

AB = BC = a , cạnh bên AA’ = a√ Gọi M l trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ v khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , B’C

Giải

Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B

Thể tích khối lăng trụ l :

√ √ (đvtt)

Gọi E l trung điểm của BB’

Khi đó mặt phẳng (AME) // B’C nên d(AM,B’C) = d(B’C,(AME))

Nhận thấy d(B,(AME)) = d(C,(AME))

Gọi h l khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME)

Do tứ diện BAME có BA , BM , BE đôi một vuông góc nên suy ra đường cao :

√

Khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C v AM bằng khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) :

h = √

Thí dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD l hình vuông cạnh a Gọi M v N lần lượt l

trung điểm của cạnh AB v AD , H l giao điểm của CN v DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) v SH = a√ Tính thể tích khối chóp S.CDNM v khoảng cách giữa hai đường thẳng DM v SC theo a

Giải :

Tính thể tích khối chóp S.CDNM

Ta có : SH ⏊ (ABCD) suy ra SH l đường cao



 √ √ (đvtt)

Tính khoảng cách giữa DM v SC

+ Ta có : ΔCDN = ΔDAM (c.g.c)

 { ⏊ ⏊ => DM ⏊ => DM ⏊

Kẻ HK ⏊ => HK ⏊ MD => HK = d(DM,SC)

Với : { √



 => HK = √

√

Thí dụ 3 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC l tam giác vuông cân tại B ,

AB = BC =2a , hai mặt phẳng (SAB) v (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi

M l trung điểm AB , mặt phẳng qua SM v song song với BC , cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) v (ABC) bằng Tính thể tích khối chóp S.BCNM v khoảng cách giữa hai đường thẳng AB v SN theo a

Giải :

Theo giả thiết :

{ ⏊

=> SA ⏊ (ABC)

=> SA l đường cao hình chóp S.BCMN

Do : { ⏊ ⏊ => BC ⏊ (SAB)

 ( )̂ ̂

Trong tam giác vuông SAB ta có :

SA = AB.tan = 2a√ v

= 2 = 2

Nên √ = √

Kẻ NI // AB để có AMNI l hình vuông , vậy khoảng cách của AB đến SN chính l hướng cao của ΔSAI , gọi h l chiều cao đó , ta có :

( √ ) √ √

Thí dụ 4 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD l hình thoi , AC cắt BD tại gốc tọa độ O Biết ( √ ) Gọi M l trung điểm của cạnh SC a Tính góc v khoảng cách giữa hai đường thẳng SA v BM b Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N Tính thể tích hình chóp S.ABMN Giải : Cách 1 : a Giả thiết => SO ⏊ (ABCD) ; SA = SC = 2√ Ta có OM // SA => Góc (SA , MB) = ̂

OB ⏊ (SAC) => OB ⏊ OM Tam giác OBM có tan ̂ =

=> tan ̂ = √ => ̂

Vẽ OH ⏊ SA => OH ⏊ OM v OH ⏊ OB => OH ⏊ (OMB) Vì SA // OM => SA // (OMB) => d(SA,MB) = d(H,(OMB)) = OH = √

b (ABM) SD = N => N l trung điểm SD Ta có :

=>

Tương tự :

Vậy

√ √

Cách 2 : a O l trung điểm BD => D ; O l trung điểm AC => C

M l trung điểm SC => M( √ ) ; ⃗⃗⃗⃗ ( √ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

( √ ) ;

Gọi l góc nhọn tạo bởi SA v BM cos = | | √

Gọi (α) l mặt phẳng chứa SA v // BM Suy ra PT :

(α) : √ √

Ta có : d(SA,BM) = d(B,(α)) = √

PT mp(ABM) : √ √ √

PT tham số SD : {

√ Tọa độ điểm N = SD (ABM) => N( √ )

⃗⃗⃗⃗ ( √ ) ; ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( √ ) ;

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( √ )

[ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ( √ ) [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ √

[ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √

Vậy √ √ √ (đvtt)