Tuyệt chiêu hàm số

Tuyệt Chiêu Hàm Số Trong các đề thi Đại học chủ đề về hàm số rất được quan tâm vì phần này khá hay và cũng khó, đa phần học sinh thường bỏ qua câu này, nhưng với phần tài liệu này sẽ cung cấp những bài tập điển hình giúp các em đạt được điểm trọn vẹn trong phần này.Mời các bạn tham khảo nhé

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 ðịnh nghĩa :

Giả sử K là một khoảng , một ñoạn hoặc một nửa khoảng Hàm số f xác ñịnh trên K ñược gọi là

• ðồng biến trên K nếu với mọi x x1, 2 ∈K , x1 <x2 ⇒ f x( ) ( )1 < f x2

• Nghịch biến trên K nếu với mọi x x1, 2 ∈K , x1 <x2 ⇒ f x( ) ( )1 > f x2

2 ðiều kiện cần ñể hàm số ñơn ñiệu :

Giả sử hàm số f có ñạo hàm trên khoảng I

• Nếu hàm số f ñồng biến trên khoảng I thì f'( )x ≥ với mọi x0 ∈ I

• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f '( )x ≤ với mọi x0 ∈ I

3 ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñơn ñiệu :

ðịnh lý 1 : ðịnh lý về giá trị trung bình của phép vi phân (ðịnh lý Lagrange):

Nếu hàm số f liên tục trên a b;  và có ñạo hàm trên khoảng ( )a b thì tồn tại ít nhất một ñiểm ; c∈( )a b;sao cho f b( ) ( )−f a = f '( )(c b −a)

ðịnh lý 2 :

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một ñoạn , f là hàm số liên tục trên I và có ñạo hàm tại mọi ñiểm trong của I ( tức là ñiểm thuộc I nhưng không phải ñầu mút của I ) Khi ñó :

• Nếu f'( )x > với mọi x0 ∈ thì hàm số f ñồng biến trên khoảng I I

• Nếu f'( )x < với mọi x0 ∈ thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I I

• Nếu f'( )x = với mọi x0 ∈ thì hàm số f không ñổi trên khoảng I I

Vậy hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng (−∞;1)và (1; +∞ )

Vì hàm số ñồng biến trên mỗi nửa khoảng (−∞ −  và ; 1 − +∞ 1; )nên hàm số ñồng biến trên ℝ

Hoặc ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số :

f x < x ∈ − ⇒ f x nghịch biến trên khoảng (−1; 0)

Ngoài ra : Học sinh có thể giải f'( )x = , tìm ra hai nghiệm 0 x = −1,x = , kẻ bảng biến thiên rồi kết 0luận

Xét chiều biến thiên của các hàm số :

f x < x ∈ −∞ − ⇒ f x nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ − và ; 1) ( )0;1

Ngoài ra : Học sinh có thể giải f'( )x = , tìm ra hai nghiệm 0 x = −1,x =0,x = , kẻ bảng biến thiên rồi 1kết luận

π π

2 Chứng minh rằng hàm số f x( )= cos 2x −2x + nghịch biến trên ℝ 3

Tìm khoảng ñơn ñiệu của hàm số f x( )= sinx trên khoảng (0;2π )

Nếu hàm số y = f x ( ) luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) thì

số nghiệm của phương trình : f x ( ) = ksẽ không nhiều hơn một và f x ( ) ( ) = f y khi và chỉ khi

2

3 2

3

tan tan

Nên dấu của f x '( ) chính là dấu của sin x Từ ñây ta có f x ( ) ≥ f (0) = 2

Vậy phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất x = 0

f x = có nhiều nhất là một nghiệm Do ñó phương trình f x ( ) = 0có nhiều nhất là hai nghiệm

và f ( ) ( ) 0 = f 1 = 0 nên phương trình ñã cho có hai nghiệm x = 0, x = 1

Chú ý :

• Nếu hàm số y = f x ( ) luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến )

và hàm số y = g x ( ) luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) trên

D, thì số nghiệm trên D của phương trình f x ( ) ( ) = g x không nhiều hơn một

• Nếu hàm số y = f x ( )) có ñạo hàm ñến cấp n và phương trình f( )k ( ) x = 0 có m nghiệm, khi ñó phương trình f(k−1)( ) x = 0có nhiều nhất là m + 1 nghiệm

42

xx

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

+ Nếu x <y ⇒ f x( )< f y( ) ⇒y <x (mâu thuẫn)

Suy ra x = y, thế vào hệ ta ñược x3 +x = 0 ⇔ x x( 2 +1)= 0 ⇔ x = 0 ì v x2 + >1 0

Vậy hệ có nghiệm duy nhất 0

0

xy

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 0

0

xy

f t = t − ≤ ∀ ∈ − t ⇒ f t nghịch biến trên ñoạn [ 1;1] −

Do ñó: (*) ⇔ x = y thay vào (2) ta ñược nghiệm của hệ là:

6

1 2

Ví dụ 5:

= − phương trình (2) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1; 1

Suy ra phương trình (2) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt

và f ( 1) − = 0 nên ( ) * * có nghiệm duy nhất y = − 1

Vậy nghiệm của hệ là:

0 1

x y

1

x

y

ye

xe

y

ey

xx

1

x

y

ye

yxe

Vậy h x liên tục và có ñồ thị là ñường cong lõm trên ( ) (1; +∞ )

Do ñó ñể chứng minh ( )2 có 2 nghiệm lớn hơn 1 ta chỉ cần chứng minh tồn tại x0 >1mà h x( )0 < 0

Giải hệ phương trình sau:

1

2 2

2

212121

xy

xyz

yzx

21

Do ñó : x > > ⇒y z f x( ) ( ) ( )> f y > f z ⇒y > > Mâu thuẫn, do ñó ñiều giả sử sai z x

Tương tự x < < không thoả y z

32

x ≥ ⇒y f x ≥ f y ⇒y ≥z ⇒ ≥ y z

3 3( ) ( )

g = , do ñó phương trình g x ( ) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1

Do ñó hệ ñã cho có nghiệm là x = = = y z 1

2

3 2

3 2

ñồng biến trên khoảng ( −∞ ;6)

Ta giả sử ( x y z ; ; ) là nghiệm của hệ thì x = y = zthay vào hệ ta có:

1

tx

Xét hàm số f x ( ) = 5 x − + 1 x + 3 liên tục trên nửa khoảng 1

; 5

  và f (1) = 4 , khi ñó bất phương trình cho ⇔ f x ( ) ≥ f (1) ⇔ x ≥ 1.

Vậy bất phương trình cho có nghiệm là x ≥ 1

• Nếu x < ⇒ 1 f x ( ) > f (1) = = 8 g (1) > g x ( ) ⇒ (*) vô nghiệm

Vậy nghiệm của bất phương trình ñã cho là: 3

1

2 x

biến trên khoảng ( 5; +∞ ) và f (7) = 4 , do ñó ( ) * ⇔ f x ( ) ≤ f (7) ⇔ x ≤ 7

Vậy nghiệm của bất phương trình ñã cho là: 1

Vậy nghiệm của bất phương trình ñã cho là: − ≤ 2 x < 1

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN THAM SỐ

trên mỗi nửa khoảng (−∞ −; 2 và − +∞2; )nên hàm số f x ñồng biến trên ℝ ( )

• Nếu a = − Hàm số 2 f x ñồng biến trên ℝ ( )

• Nếu a < − hoặc 2 a > thì 2 f '( )x = có hai nghiệm phân biệt 0 x x1, 2 Giả sử x1 <x2 Khi ñó hàm số nghịch biến trên khoảng (x x1; 2),ñồng biến trên mỗi khoảng (−∞;x1)và (x2;+∞ Do ñó ) a < − hoặc 22

a > không thoả mãn yêu cầu bài toán

Vậy hàm số f x ñồng biến trên ℝ khi và chỉ khi 2( ) − ≤ ≤ a 2

Chú ý : lời giải cách 1 thiếu tự nhiên, không trong sáng

Dấu của f '( )x là dấu của g x ( )

Hàm số f x ñồng biến trên mỗi khoảng ( ) (−∞ −; 1) và (− +∞1; ) khi và chỉ khi g x( )≥ ∀ ≠ − 0, x 1 1( )

• Xét m − = ⇔1 0 m = ⇒1 g x( )= > ∀ ≠ − ⇒1 0, x 1 m = 1 ( )a thoả mãn yêu cầu bài toán

+ ñồng biến mỗi khoảng xác ñịnh

2 Với giá trị nào của m hàm số ( ) mx 4

f x

+

=+ nghịch biến khoảng (−∞;1)

Ta có ( )

2 2

4

f x

−

=

+

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) khi và chỉ khi ( ) ( )

;1

m



− ∉ −∞



2

;1

m

m

 − < − < < − < <



Vậy : với − <2 m ≤ − thì thoả yêu cầu bài toán 1

Ví dụ 3:

Giải :

1

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ

Ta có :y' =6x2 −4x +m

Hàm số ñã cho ñồng biến trên khoảng (1; +∞ khi và chỉ khi ) y' ≥ ∀ ∈0, x (1;+∞ )

Xét hàm số ( ) 2

g x = x − x liên tục trên khoảng (1; +∞ , ta có )

g x = x − > ∀ > ⇔x g x ñồng biến trên khoảng (1; +∞ và )

x

x 1 +∞

( ) ' g x +

( ) g x +∞

2

Dựa vào bảng biến thiên suy ra 2 ≥ −m ⇔m ≥ − 2

2

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ

Ta có :y' = 3mx2 −2x + 3

Hàm số ñã cho ñồng biến trên khoảng (−3; 0) khi và chỉ khi y' ≥ ∀ ∈ −0, x ( 3; 0)

2

3

x

x

+

Tìm ñiều kiện của tham số m sao cho hàm số :

y = x − x −mx − ñồng biến trên khoảng (1; +∞ ? )

y =mx −x + x +m− ñồng biến trên khoảng (−3; 0)?

Vậy m ≤ − thoả yêu cầu bài toán 10

Với cách giải này học sinh nên dùng cho bài trắc nghiệm, góc ñộ bài toán tự luận thiếu ñi tính chuẩn xác

và trong sáng của bài toán

= ⇒ = > ∀ ≠ Hàm số ñồng biến trên các khoảng

(−∞; 0) và 0;( +∞), do ñó cũng ñồng biến trên khoảng (1; +∞ )

Vậy m = 0 ( )a thoả mãn yêu cầu bài toán

Từ ( )a và ( )b suy ra 0 ≤m ≤ thì thoả mãn yêu cầu bài toán 1

−

=+ ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó )

x nghịch biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó )

=+ ñồng biến trên khoảng ( )−1;1 , nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ − và ; 1) (1; +∞ )

b Chứng minh rằng với mọi m∈ −1;1( ), phương trình 2 + =

sin x cosx m có nghiệm duy nhất thuộc ñoạn 0;π

3; 

Hàm số liên tục trên ñoạn 0;π và y' =sinx(2 cosx −1 ,) x ∈( )0;π

Vì x ∈( )0;π ⇒sinx > nên trong khoảng 0 ( ) ( ) 1

)

b Chứng minh rằng với mọi m∈ −1;1( ), phương trình 2 + =

sin x cosx m có nghiệm duy nhất thuộc ñoạn 0;π

3; nên trên ñoạn này ,

phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất thuộc ñoạn 0;π

10 Cho A( ) ( )−1;1 ,B 2; 4 là hai ñiểm của parabol = 2

y x Xác ñịnh ñiểm C thuộc parabol sao cho tiếp tuyến tại C với parabol song song với ñường thẳng AB

11 Với giá trị nào của a hàm số ( ) 3

thấy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (1− m;1)và (1;1+ m ; do ñó không thoả ñiều kiện )

Vậy :hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó khi và chỉ khi m ≤ 0

Chú ý : Bài toán trên ñược mở rộng như sau

• > phương trình y' = có hai nghiệm 0 x1 < <1 x2 ⇒hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng

( )x1;1 và 1;( )x2 , trường hợp này không thỏa

13 Với giá trị nào của m , các hàm số nghịch biến trên ℝ

m hay thì y' =0 có hai nghiệm x x1, 2 (x1 <x2) Hàm số ñồng biến trên khoảng

(x x1; 2) Trường hợp này không thỏa mãn

Ngoài ra ta có thể trình bày : Hàm số nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi

x

x > −x với mọi x > , 0

3sin

6

x

x < −x với mọi x < 0)

d sinx +tanx >2x với mọi 0;

a sin x < với mọi x x > 0

Hàm số f x( )= −x sinxliên tục trên nửa khoảng 0;

MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG KỲ THI TÚ TÀI &TUYỂN SINH ðẠIHỌC

1 Tìm tham số m ñể ñồ thị của hàm số ñồng biến trên ℝ :