TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.. ðịnh nghĩa : Giả sử K là một khoảng , một ñoạn hoặc một nửa khoảng... Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ.. Do ñó hàm số ñồng biến trên ℝ.. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ.
Trang 1
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 ðịnh nghĩa :
Giả sử K là một khoảng , một ñoạn hoặc một nửa khoảng Hàm số f xác ñịnh trên K ñược gọi là
• ðồng biến trên K nếu với mọi x x1, 2 ∈K , x1 <x2 ⇒ f x( ) ( )1 < f x2
• Nghịch biến trên K nếu với mọi x x1, 2 ∈K , x1 <x2 ⇒ f x( ) ( )1 > f x2
2 ðiều kiện cần ñể hàm số ñơn ñiệu :
Giả sử hàm số f có ñạo hàm trên khoảng I
• Nếu hàm số f ñồng biến trên khoảng I thì f'( )x ≥ với mọi x0 ∈ I
• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f '( )x ≤ với mọi x0 ∈ I
3 ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñơn ñiệu :
ðịnh lý 1 : ðịnh lý về giá trị trung bình của phép vi phân (ðịnh lý Lagrange):
Nếu hàm số f liên tục trên a b; và có ñạo hàm trên khoảng ( )a b thì tồn tại ít nhất một ñiểm ; c∈( )a b; sao cho f b( ) ( )−f a = f '( )(c b −a)
ðịnh lý 2 :
Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một ñoạn , f là hàm số liên tục trên I và có ñạo hàm tại mọi ñiểm trong của I ( tức là ñiểm thuộc I nhưng không phải ñầu mút của I ) Khi ñó :
• Nếu f'( )x > với mọi x0 ∈ thì hàm số f ñồng biến trên khoảng I I
• Nếu f'( )x < với mọi x0 ∈ thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I I
• Nếu f'( )x = với mọi x0 ∈ thì hàm số f không ñổi trên khoảng I I
Chú ý :
• Nếu hàm số f liên tục trên ;a b và có ñạo hàm f'( )x > trên khoảng 0 ( )a b thì hàm số f ñồng biến ; trên a b;
• Nếu hàm số f liên tục trên ;a b và có ñạo hàm f'( )x < trên khoảng 0 ( )a b thì hàm số f nghịch ; biến trên a b;
TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ
Trang 2
CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
Ví dụ 1:
Xét chiều biến thiên của các hàm số :
Giải :
3
a f x = x − x + x −
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ
Ta có ( ) 2
f x =x − x +
( )
f x = ⇔x = x =
Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau :
x −∞ 2 4 +∞
( )
'
f x + 0 − 0 +
( )
f x +∞
−∞
Vậy hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng (−∞;2)và (4; +∞ , nghịch biến trên khoảng ) ( )2; 4
2 )
1
b f x
x
−
=
− Hàm số ñã cho xác ñịnh trên tập hợp ℝ\ 1{ }
Ta có ( )
2 2
x
Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau :
x −∞ 1 +∞
( )
'
f x + +
+∞ +∞
( )
f x
−∞ −∞
3
a f x = x − x + x −
2 )
1
b f x
x
−
=
−
c f x =x + x + x +
d f x = x − x − x +
Trang 3
Vậy hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng (−∞;1)và (1; +∞ )
c f x =x + x + x +
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ
2
f x = x = x + = x +
( )
f x = ⇔x = − và f'( )x > với mọi 0 x ≠ − 1
Vì hàm số ñồng biến trên mỗi nửa khoảng (−∞ − và ; 1 − +∞ 1; )nên hàm số ñồng biến trên ℝ
Hoặc ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số :
x −∞ 1− +∞
( )
'
f x + 0 +
( )
f x +∞
1
−∞
Vì hàm số ñồng biến trên mỗi nửa khoảng (−∞ − và ; 1 − +∞ 1; )nên hàm số ñồng biến trên ℝ
d f x = x − x − x + Tương tự bài a )
Ví dụ 2:
Giải :
a f x = x + x +
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ
Ta có ( ) 2
f x = x + x
f x > x ∈ −∞ − +∞ ⇒ f x ñồng biến trên mỗi khoảng (−∞ − và ; 1) (0; +∞ )
f x < x ∈ − ⇒ f x nghịch biến trên khoảng (−1; 0)
Ngoài ra : Học sinh có thể giải f'( )x = , tìm ra hai nghiệm 0 x = −1,x = , kẻ bảng biến thiên rồi kết 0 luận
Xét chiều biến thiên của các hàm số :
a f x = x + x +
b f x =x − x −
c f x = − x + x − x −
d f x = x −x
Trang 4
b f x =x − x −
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ
Ta có ( ) 3
f x = x − x
f x > x ∈ − +∞ ⇒ f x ñồng biến trên mỗi khoảng (−1; 0) và (1; +∞ )
f x < x ∈ −∞ − ⇒ f x nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ − và ; 1) ( )0;1
Ngoài ra : Học sinh có thể giải f'( )x = , tìm ra hai nghiệm 0 x = −1,x =0,x = , kẻ bảng biến thiên rồi 1 kết luận
c f x = − x + x − x −
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ
2
f x = − x + x − = − x −
2
f x = ⇔x = và f'( )x < với mọi 0 3
2
x ≠
Vì hàm số nghịch biến trên mỗi nửa khoảng 3
; 2
−∞
3
; 2
+∞
nên hàm số nghịch biến trên ℝ
d f x = x −x
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên 0;2
2
x
x x
−
−
f x > x ∈ ⇒ f x ñồng biến trên khoảng ( )0;1
f x < x ∈ ⇒ f x nghịch biến trên khoảng ( )1;2
Hoặc có thể trình bày :
f x > x ∈ ⇒ f x ñồng biến trên ñoạn 0;1
f x < x ∈ ⇒ f x nghịch biến trên ñoạn 1;2
Ví dụ 3:
Giải :
Dễ thấy hàm số ñã cho liên tục trên ñoạn 0;2 và có ñạo hàm '( ) 2 0
4
x
f x
x
−
( )0;2
x ∈ Do ñó hàm số nghịch biến trên ñoạn 0;2
Chứng minh rằng hàm số ( ) 2
4
f x = −x nghịch biến trên ñoạn 0;2
Trang 5
Ví dụ 4:
Giải :
1
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ
Ta có ( ) 2
Vì 3x2 ≥ 0,x ∈ℝ 1+sinx ≥ 0,x ∈ℝ nên f'( )x ≥0,x ∈ ℝ Do ñó hàm số ñồng biến trên ℝ
2 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ
Ta có f '( )x = −2 sin 2( x +1)≤ ∀ ∈ ℝ và 0, x '( ) 0 sin 2 1 ,
4
f x = ⇔ x = − ⇔x = −π +kπ k
∈ ℤ
Hàm số nghịch biến trên mỗi ñoạn ; ( 1) ,
ℝ
Ví dụ 5:
Giải :
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên khoảng (0;2π ) và có ñạo hàm f'( )x = cos ,x x∈(0;2π )
Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau :
x 0
2
π 3
2
π
2π
( )
'
f x + 0 − 0 +
( )
f x 1 0
0 1−
Hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng 0;
2
π
và
3
;2 2
π π
, nghịch biến trên khoảng
3
;
π π
1 Chứng minh rằng hàm số ( ) 3
f x =x + −x x − ñồng biến trên ℝ
2 Chứng minh rằng hàm số f x( )= cos 2x −2x + nghịch biến trên ℝ 3
Tìm khoảng ñơn ñiệu của hàm số f x( )= sinx trên khoảng (0;2π )
Trang 6
Ví dụ 6:
Giải :
Xét hàm số f x( ) =sinx +tanx −2x liên tục trên nửa khoảng 0;
2
π
.Ta có :
2
π
là hàm số ñồng biến trên 0;
2
π
2
hay sinx tanx 2 ,x x 0;2
π
ỨNG DỤNG ðẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ðẠI SỐ
Ví dụ 1:
Giải :
ðặt t = sin2x ; 0 ≤ ≤ t 1
* 81 (1 ) , 0;1
256
⇔ + − = ∈
Xét hàm số f t ( ) = 81 t5 + (1 − t )5 liên tục trên ñoạn 0;1 , ta có:
'( ) 5[81 (1 ) ],t 0;1
f t = t − − t ∈
81 (1 ) 1 '( ) 0
4 0;1
t
= −
∈
Lập bảng biến thiên và từ bảng biến thiên ta có: 1 81
( ) ( )
4 256
f t ≥ f =
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈
Chứng minh rằng : sin tan 2 , 0;
2
81sin cos *
256
x + x =
Trang 7
Ví dụ 2:
Giải :
1 3 (2 x + 9 x + 3) (4 + x + 2)( 1 + + x x + 1) = 0 (1)
3 x (2 ( 3 ) x 3) (2 x 1)(2 (2 x 1) 3) (2)
⇔ − + − + = + + + +
ðặt u = − 3 , x v = 2 x + 1, , u v > 0
Xét hàm số f t ( ) = 2 t + t4 + 3 , t t2 > 0
4 2
3
+
+
ñồng biến trên khoảng ( 0; +∞ )
5
5
x = − là nghiệm duy nhất của phương trình
Chú ý :
Nếu hàm số y = f x ( ) luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) thì
số nghiệm của phương trình : f x ( ) = ksẽ không nhiều hơn một và f x ( ) ( ) = f y khi và chỉ khi
x = y
2
tan
2 os =2 , - ;
2 2
x
e c x x π π
Xét hàm số :
2
tan ( ) x os
f x = e + c x liên tục trên khoảng - ;
2 2
x π π
∈
Ta có
Giải phương trình :
1 3 (2 x + 9 x + 3) (4 + x + 2)( 1 + + x x + 1) = 0
2
tan
2 osx=2 , - ;
2 2
x
e c x π π
3 2003x + 2005x = 4006 x + 2
3
4 3x = + + 1 x log (1 2 ) + x
Trang 8
2
3 2
3
tan tan
2
'( ) 2 tan sin sin
x
Vì 2 etan2x ≥ > 2 c os3x > 0
Nên dấu của f x '( ) chính là dấu của sin x Từ ñây ta có f x ( ) ≥ f (0) = 2
Vậy phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất x = 0
3 2003x + 2005x = 4006 x + 2
Xét hàm số : f x ( ) = 2003x + 2005x − 4006 x − 2
Ta có: f x '( ) = 2003 ln 2003 2005 ln 2005x + x − 4006
( )
f x = có nhiều nhất là một nghiệm Do ñó phương trình f x ( ) = 0có nhiều nhất là hai nghiệm
và f ( ) ( ) 0 = f 1 = 0 nên phương trình ñã cho có hai nghiệm x = 0, x = 1
Chú ý :
• Nếu hàm số y = f x ( ) luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến )
và hàm số y = g x ( ) luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) trên
D, thì số nghiệm trên D của phương trình f x ( ) ( ) = g x không nhiều hơn một
• Nếu hàm số y = f x ( )) có ñạo hàm ñến cấp n và phương trình f( )k ( ) x = 0 có m nghiệm, khi ñó phương trình f(k−1)( ) x = 0có nhiều nhất là m + 1 nghiệm
3
4 3x = + + 1 x log (1 2 ) + x
1
2
x > −
Phương trình cho
( )
⇔ + = + + + ⇔ + = + + +
Xét hàm số: f t ( ) = + t log ,3t t > 0 ta có ( ) 1 ( )
ln 3
t
= + > > ⇒ là hàm ñồng biến
khoảng ( 0; +∞ ) nên phương trình
( ) * ⇔ f (3 )x = f (1 2 ) + x ⇔ 3x = 2 x + ⇔ 1 3x − 2 x − = 1 0 * * ( )
Xét hàm số: f x ( ) = 3x − 2 x − ⇒ 1 f x '( ) = 3 ln 3 2x − ⇒ f "( ) x = 3 ln 3x 2 > 0
Trang 9
f x
⇒ = có nhiều nhất là hai nghiệm, và f (0) = f ( ) 1 = 0 nên phương trình ñã cho có hai nghiệmx = 0, x = 1
Ví dụ 3:
Giải :
ðiều kiện x2 −3x + ≥ ⇔2 0 x ≤ ∨ ≥1 x 2
ðặt u = x2 −3x +2,u ≥ 0
2
2
1
u
u
−
3
1
5
u
liên tục trên nửa khoảng +∞0; ), ta có :
( )
2
( 2)ln 3 5
u
u
f = ⇒u = là nghiệm phương trình ( )* *
2
2
x
x
=
=
thoả ñiều kiện
Ví dụ 4:
2
3 1 2
3
1
5
x x
− −
Giải hệ phương trình :
( )
3
3
3
6 6
1 (2)
Trang 10
Giải :
ðiều kiện:
3
4 2
3
4 2
x x
− ≤ ≤
− ≤ ≤
Cách 1:
Trừ (1) và (2) ta ñược:
2x +3− 4−x = 2y+3− 4−y ( )3
2
, ta có:
2
= + + − > ∀ ∈ − ⇒ (3)⇔ f x( )= f y( ) ⇔ x = y
Thay x =y vào (1) ,ta ñược:
2x +3 + 4−x = 4 ⇔ x +7+2 (2x +3)(4−x) =16
2
2
3
9
x x
=
− ≥
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
11
,
9
x x
y
y
=
Cách 2:
Trừ (1) và (2) ta ñược:
Thay x =y vào (1) ,ta ñược:
2x +3 + 4−x = 4 ⇔ x +7+2 (2x +3)(4−x) =16
2
2
3
9
x x
=
− ≥