CÁC DẠNG BÀI TOÁN HÌNH LỚP 10

Tính độ dài của các vectơ AB AD VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương, ta th

Trang 1

Vec tơ và các phép tốn

1 Các định nghĩa

Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đĩ.

Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu  AB .

Vectơ – khơng là vectơ cĩ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0.

Chú ý: + Ta cịn sử dụng kí hiệu a b, ,  để biểu diễn vectơ.

+ Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ

Mọi vectơ 0 đều bằng nhau.

2 Các phép tốn trên vectơ

a) Tổng của hai vectơ

b) Hiệu của hai vectơ

Vectơ đối của a là vectơ b sao cho a b 0 Kí hiệu vectơ đối của a là a 

c) Tích của một vectơ với một số

Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a và b a 0cùng phương  k R b ka: 

Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng  k  0: AB k AC

Biểu thị một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương: Cho hai vectơ khơng cùng

Chú ý:

Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

I VECTƠ

Trang 2

(O tuỳ ý).O tuỳ ý).

VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ

Bài 1.Cho tứ giác ABCD Cĩ thể xác định được bao nhiêu vectơ (O tuỳ ý).khác 0) cĩ điểm đầu và

điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?

Bài 2.Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD,

Bài 4 Cho ABC đều cạnh a, trực tâm H Tính độ dài của các vectơ HA HB HC   , , .

Bài 5.Cho hình vuơng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài của các vectơ AB AD

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ

Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương, ta thường sử dụng:

– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.

– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất của các hình.

Bài 1.Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:

BC Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN cĩ chung trung điểm

Bài 3.Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD Chứng minh:

Trang 3

Bài 7.Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm

Gọi I là trung điểm của CD, G là

Bài 10. Cho tam giác ABC Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI=3BI Gọi F là

điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB=2FC

VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đĩ đối với hình vẽ Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM a

 

, trong đĩ O và a đã được xác định Ta thường sử dụng các tính chất về:

– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.

– Hình bình hành.

– Trung điểm của đoạn thẳng.

– Trọng tâm tam giác, …

Bài 1 Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA MB MC 0  

Bài 2 Cho đoạn thẳng AB cĩ trung điểm I M là điểm tuỳ ý khơng nằm trên đường thẳng

AB Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI

Trang 4

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau

 Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đĩ thoả mãn đẳng thức AB k AC

Bài 2.Cho ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB2IC

b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (O tuỳ ý).HD: J là trọng tâm AIB)

Bài 3 Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P

Bài 7 Cho tam giác ABC, A là điểm đối xứng của A qua B, B là điểm đối xứng của B qua

C, C là điểm đối xứng của C qua A Chứng minh các tam giác ABC và ABC cĩ chungtrọng tâm

Bài 8 Cho ABC Gọi A, B, C là các điểm định bởi: A B2  3A C 0

Chứng minh các tam giác ABC và ABC cĩ cùng trọng tâm

Bài 9 Trên các cạnh AB, BC, CA của ABC lấy các điểm A, B, C sao cho:

Trang 5

Chứng minh các tam giác ABC và ABC cĩ chung trọng tâm

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đĩ để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết Chẳng hạn:

– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đĩ.

– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng khơng đổi đường trịn cĩ tâm là điểm cố định và bán kính là khoảng khơng đổi.

Bài 1.Cho 2 điểm cố định A, B Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

Bài 2.Cho ABC.

Bài 3.Cho ABC.

 

thì AB AB + Nếu A(a), B(b) thì AB b a  .

II TOẠ ĐỘ

Trang 6

Vectơ và các phép tốn

+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta cĩ: AB BC AC

2 Hệ trục toạ độ

Bài 2.Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(O tuỳ ý).2), B(O tuỳ ý).4), C(O tuỳ ý).1), D(O tuỳ ý).6).

Bài 3.Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tuỳ ý.

Trang 7

các đoạn IJ và KL cĩ chung trung điểm

VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục Bài 1.Viết tọa độ của các vectơ sau:

Bài 2 Viết dưới dạng uxi yj 

a) u(2; 3); u ( 1;4);u(2;0);u(0; 1)

.b) u(1;3);u(4; 1); u(1;0);u(0;0)

Bài 5 Cho hai điểm A(3; 5), (1;0) B

c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.

Bài 6 Cho ba điểm A(O tuỳ ý).–1; 1), B(O tuỳ ý).1; 3), C(O tuỳ ý).–2; 0).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB

Bài 7 Cho ba điểm A(O tuỳ ý).1; 2), B(O tuỳ ý).0; 4), C(O tuỳ ý).3; 2).

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB

Bài 8 Cho ba điểm A(O tuỳ ý).1; –2), B(O tuỳ ý).2; 3), C(O tuỳ ý).–1; –2).

a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C

b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành cĩ 3 đỉnh là A, B, C

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG I Bài 1 Cho tam giác ABC với trực tâm H, B là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường

Trang 8

Bài 5 Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý.

Trang 9

Vec tơ và các phép toán

Bài 16 Cho ABC Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI Gọi F là điểm trên cạnh

BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC

Bài 17 Cho ABC có A(O tuỳ ý).4; 3) , B(O tuỳ ý).1; 2) , C(O tuỳ ý).3; 2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Bài 18 Cho A(O tuỳ ý).2; 3), B(O tuỳ ý).1; 1), C(O tuỳ ý).6; 0).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

Bài 19 Cho A(O tuỳ ý).0; 2) , B(O tuỳ ý).6; 4) , C(O tuỳ ý).1; 1) Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho:

a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh

b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh

Bài 20 Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung

Bài 21 Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.

Bài 22 Cho tứ giác ABCD.

Bài 23 Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD A, B, C, D lần lượt là trọng tâm của các

tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh:

a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA, BB, CC, DD

b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác ABCD

Bài 24 Cho tứ giác ABCD Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao

Trang 10

Bài 27 Cho ABC Lấy các điểm M N, P: MB 2MC NA 2NC PA PB  0

a) Tính PM PN theo AB và AC                             ,                             . b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Bài 28 Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G Các điểm M, N thoả mãn: MA3 4MB0

Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ABC

Bài 29 Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho

Bài 31 Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho a b c 0  

Bài 33 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN 2MA MB MC 

c) Gọi P là trung điểm của BN Chứng minh đường thẳng MP luơn đi qua một điểm cốđịnh

Bài 34 Cho ABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:

Trang 11

Bài 36 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1.

Bài 37 Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB

Trang 12

Vectơ và các phép toán

âm

trên

véc tơ đối nhau

giác ABCD là hình bình hành.

Trang 13

cùng độ dài

nhau

thì cùng phương

nhau

đây đúng ?

0

u a

phương

D Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướng.

Trang 14

sai

gọi là vectơ có phương tùy ý

vectơ có độ dài không xác định

Trang 15

giác ABCD là hình vuông.

chúng cùng hướng và cùng độ dài

Câu 28. Cho tứ giác ABCD Có thể xác định được bao nhiêu vectơ



Trang 16

Câu 34. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Ba vectơ bằng vecto BA là:

không có điểm nào

và điểm cuối của vectơ đó



Trang 17

thể viết : MN OM ON   

vectơ thứ hai

hai điểm M và P Khi đó các cặp vecto nào sau đây cùng hướng ?

phân biệt cho trước là

phương

Trang 18

nào sau đây là đúng ?

G là trọng tâm của tam giác ABC , với M là trung điểm của BC

trung điểm của đoạn AB

Trang 19

Trang 20

22

luận nào sau đây đúng:

Trang 21

A

32

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

Trang 22

dưới đây là đẳng thức sai?

MA BM MC thì M phải thỏa mãn mệnh đề nào?

Trang 23

a

Trang 24

32

a

33

a

Câu 1. Cho 4 điểm bất kì A B C O, , , Đẳng thức nào sau đây đúng?

Trang 25

Câu 9. Cho ba vectơ a b   , và c  đều khác vectơ – không Trong đó hai

Câu 14. Cho hình chữ nhật ABCD , gọi O là giao điểm của AC và BD,

phát biểu nào là đúng?

Trang 26

33

Trang 27

Trang 28

Câu 39. Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện cần và đủ để G

Trang 29

Câu 45. Cho tam giác ABC , trọng tâm là G Phát biểu nào là đúng?

MA MB MC thì M phải thỏa mãn mệnh đề nào?

Câu 47. Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của 2 đường

chéo Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

Trang 30

Lời giải Câu 50. Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó Đẳng thức nào

dưới đây là đẳng thức sai?

GM

23



AM

.

nào sau đây là sai:

Trang 31

Câu 7: Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ AM theo hai véctơ AB

A 2  3

AM AG B   2

32

trung điểm của đoạn AB

A OA OB  B  

Trang 32

Đẳng thức nào sau đây đúng?

Trang 33

hành ABCD Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai?

Câu 22: Cho tam giác ABC và Ithỏa  3

IA IB Đẳng thức nào sau đây là

 a b

12

Trang 34

A

1

32



12



3

2.

Câu 28: Cho tam giác ABC , có trọng tâm G Gọi A B C lần lượt là1, ,1 1

Trang 35

Câu 31: Cho hình bình hành ABCD , điểm M thoả mãn:    

MA MC AB Khi đó M là trung điểm của:

Trong các câu trên, thì:

Không có câu nào sai

Câu 35: Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho

và I là trung điểm của AB Đẳng thức nào sau đây đúng?

Trang 36

 a b

Đẳng thức nào sau đây đúng?

.Đẳng thức nào sau đây đúng?

I là trung điểm của AB Đẳng thức nào sau đây đúng?

Trang 37

N thuộc cạnh BC sao choBN 2NC Đẳng thức nào sau đây đúng?

.Đẳng thức nào sau đây đúng?

thức nào sau đây đúng?

giác ABCD Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trang 38

D

nào sau đây đúng?

Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho A x y A; A và Bx y Tọa độ trung B; B

điểm I của đoạn thẳng AB là:

Trang 39

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho A x y A; A, B x y và C x y Tọa độ B; B  C; C

trọng tâm G của tam giác ABC là:

Câu 6: Trong hệ trục O i j; ; 

  là:

Câu 8: Cho hai điểm A1;0

AB là:

A

1

; 12



Trang 40

Trang 41

Câu 18: Cho ax; 2 , b  5;1 , cx;7 Vec tơ c2a3b nếu:

Câu 25: Trong mặt phẳng Oxy , cho B5; 4 ,  C3;7 Tọa độ của điểm E

đối xứng với C qua B là

Trang 42

Câu 30: Trong mặt phẳng Oxy , cho A2;0 , B5; 4 ,  C5;1 Tọa độ

điểm D để tứ giác BCAD là hình bình hành là:

Câu 32: Trong mặt phẳng Oxy , gọi B B', '' và '''B lần lượt là điểm đối

Trang 43

Câu 38: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(O tuỳ ý).2; 1) Điểm B là điểm đối

xứng của A qua trục hoành Tọa độ điểm B là:

A B(O tuỳ ý).2;1) B B  (O tuỳ ý) 2; 1) C B(O tuỳ ý).1; 2) D.

Trang 44

Câu 40: Cho các vectơ a4; 2 ,  b  1; 1 ,  c2;5 Phân tích vectơ b

Câu 43: Cho hai điểm M8; 1 ,  N3;2

Nếu P là điểm đối xứng với điểm

M qua điểm N thì P có tọa độ là:

Trang 45

Câu 48: Các điểm M2;3, N0; 4 , P  1;6 lần lượt là trung điểm các

cạnh BC , CA , AB của tam giác ABC Tọa độ đỉnh A của tam giác

nằm trên trục Ox Toạ độ của điểm P là

Trang 46

3/ Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua 2 điểm A(O tuỳ ý).3 ; 2) và B(O tuỳ ý).1 ; 4)

A (O tuỳ ý).4 ; 2) B (O tuỳ ý).2 ; 1) C (O tuỳ ý).1 ; 2) D (O tuỳ ý).1 ; 2)

4/ Tìm vectơ pháp tuyến của đ thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A(O tuỳ ý).a ; 0) và B(O tuỳ ý).0 ; b)

A (O tuỳ ý).b ; a) B (O tuỳ ý).b ; a) C (O tuỳ ý).b ; a) D (O tuỳ ý).a ; b)

5/ Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox

A (O tuỳ ý).1 ; 0) B.(O tuỳ ý).0 ; 1) C (O tuỳ ý).1 ; 0) D (O tuỳ ý).1 ; 1)

6/ Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Oy

A.(O tuỳ ý).1 ; 0) B (O tuỳ ý).0 ; 1) C (O tuỳ ý).1 ; 0) D (O tuỳ ý).1 ; 1)

7/ Tìm vectơ pháp tuyến của đường phân giác của góc xOy

A (O tuỳ ý).1 ; 0) B (O tuỳ ý).0 ; 1) C.(O tuỳ ý).1 ; 1) D (O tuỳ ý).1 ; 1)

8/ Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và điểm (O tuỳ ý).a; b) (O tuỳ ý).với a,

b khác không)

A (O tuỳ ý).1 ; 0) B (O tuỳ ý).a ; b) C (O tuỳ ý).a ; b) D.(O tuỳ ý).b ; a)

9/ Cho 2 điểm A(O tuỳ ý).1; 4), B(O tuỳ ý).3; 2) Viết phương trình tổng quát đường trung trực củađoạn thẳng AB

Trang 47

10/ Cho 2 điểm A(O tuỳ ý).1 ; 4), B(O tuỳ ý).3 ; 4 ) Viết phương trình tổng quát đường trung trực củađoạn thẳng AB

A.x 2 = 0 B x + y 2 = 0 C y + 4 = 0 D y  4 = 011/ Cho 2 điểm A(O tuỳ ý).1 ; 4), B(O tuỳ ý).1 ; 2 ) Viết phương trình tổng quát đường trung trực củađoạn thẳng AB

12/ Cho 2 điểm A(O tuỳ ý).4 ; 7), B(O tuỳ ý).7 ; 4 ) Viết phương trình tổng quát đường trung trực củađoạn thẳng AB

A x + y = 0 B x + y = 1 C.x  y = 0 D x  y = 113/ Cho 2 điểm A(O tuỳ ý).4 ; 1), B(O tuỳ ý).1 ; 4 ) Viết phương trình tổng quát đường trung trực củađoạn thẳng AB

A x  3y = 0 B 3x + y + 1 = 0 C 3x  y = 0 D.3x + y = 0

18/ Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm A(O tuỳ ý).0 ; 5) và B(O tuỳ ý).3 ; 0)

A 53 1

y x

B  5 3 1

y x

C 3 5 1

y x

D 5 3 1

y x

19/.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm A(O tuỳ ý).3 ; 1) và B(O tuỳ ý).6 ; 2)

20/ Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm O(O tuỳ ý).0 ; 0) và song songvới đường thẳng có phương trình 6x  4y + 1 = 0

Trang 49

28/ Cho ABC có A(O tuỳ ý).2 ; 1), B(O tuỳ ý).4 ; 5), C(O tuỳ ý).3 ; 2) Viết phương trình tổng quát củađường cao BH

41;

31;

31/ Đường thẳng 12x  7y + 5 = 0 không đi qua điểm nào sau đây?

171;

32/ Phần đường thẳng :3 4 1

yx

nằm trong góc xOy có độ dài bằng bao nhiêu?

33/ Đường thẳng : 5x + 3y = 15 tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tíchbằng bao nhiêu?

34/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : 5x + 2y  10 = 0 và trục hoành Ox

A (O tuỳ ý).0 ; 5) B (O tuỳ ý).2 ; 0) C (O tuỳ ý).2 ; 0) D (O tuỳ ý).0 ; 2)

35/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : 15x  2y  10 = 0 và trục tung Oy

A (O tuỳ ý).3

2

; 5) B.(O tuỳ ý).0 ; 5) C (O tuỳ ý).0 ; 5) D (O tuỳ ý).5 ; 0)

36/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : 7x  3y + 16 = 0 và đường thẳng D: x +

10 = 0

A.(O tuỳ ý).10 ; 18) B (O tuỳ ý).10 ; 18) C (O tuỳ ý).10 ; 18) D (O tuỳ ý).10 ; 18)

37/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : 5x  2y + 12 = 0 và đường thẳng D: y +

1 = 0

Định dạng
Số trang	78
Dung lượng	3,19 MB