Các dạng bài toán hình học giải tích trong hệ tọa độ phẳng oxy ôn thi đại học 2013

Dạng 1: Các dạng toán về các yếu tố của tam giác Một số bài toán thường gặp là tính tọa độ các đỉnh, viết phương trình các đường thẳng có liên quan đến một tam giác khi biết ba điều ki

CHỦ ĐỀ 11 : CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

TRONG MẶT PHẲNG

Dạng 1: Các dạng toán về các yếu tố của tam giác

Một số bài toán thường gặp là tính tọa độ các đỉnh, viết phương trình các đường thẳng có liên

quan đến một tam giác khi biết ba điều kiện cho trước

Chú ý:

 Cần nắm vững tính chất của: Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác

 Đầu bài thường cho kết hợp các đường như: đường trung tuyến và đường cao, đường cao

và đường phân giác trong

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có B 1;5 và đường cao AH x: 2y 2 0, đường phân giác trong CI x:   y 1 0 Tìm tọa độ đỉnh A và C

Tọa độ H là nghiệm của

Gọi d là đường thẳng qua G và

song song với BC d x: 2y 3 0 Gọi giao điểm của d và AH là I  tọa độ I là nghiệm của hệ sau

m BC

2 Cho tam giác ABC , biết đường phân giác trong của góc A và đường cao kẻ từ B có

phương trình lần lượt là : x  y 2 0 và 4x3y 1 0 Biết rằng H 1; 1 là hình

chiếu vuông góc của C trên AB Tìm tọa độ điểm C

3 Cho tam giác ABC biết C4; 1 đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình lần lượt là : 2x3y120 và 2x3y0.Lập phương trình các cạnh của

tam giác ABC

  và trực tâm trùng với gốc tọa

độ Tìm tọa độ điểm B , C và diện tích tam giác ABC biết x B x C

Dạng 2: Các dạng toán về điểm và đường thẳng

Bài toán về điểm, đường thẳng là bài toán rất phổ biến trong các đề thi ĐH_CĐ Để giải quyết bài toán này ta cần nắm vững các công thức về độ dài đoạn thẳng, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường song song, góc giữa hai đường, góc giữa hai vectơ Ta xét một số ví dụ sau đây.

  thỏa mãn bài toán

Ví dụ 2: Cho đường thẳng : 3x4y 4 0, điểm N2; 5  và 2;5

2

I 

  Tìm trên  hai điểm

M và P đối xứng nhau qua I , sao cho diện tích tam giác MNP bằng 15

 2 Từ    1 ; 2 ta có hệ: 4 3 0

6

b a ab ab

a b

5 2

c  

Giải

Đường tròn  C có tâm I1;3, bán kính

1

R Ta có: d I d ,  2 R nên d nằm ngoài

 C

Gọi IH là đường thẳng qua I và vuông góc với

d  IH: 4x3y 5 0 H là giao điểm của

1 Cho bốn điểm A 1; 0 , B2; 4, C1; 4, D 3;5 Tìm M thuộc : 3x  y 5 0 sao

cho hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau

I

H N

2 Cho đường thẳng d x: 3y 4 0 và đường tròn   2 2

4 Cho đường thẳng d x:  y 0 và M 2;1 Lập phương trình  cắt trục hoành tại A, cắt

d tại B sao cho tam giác AMB vuông cân tại M

7 Cho điểm P7;8 và hai đường thẳng d1: 2x5y 3 0, d2: 5x2y 7 0cắt nhau

tại A Viết phương trình đường thẳng d qua P cắt d d tại B và C sao cho 1, 2 29

2

ABC

Đáp số: d: 7x3y250

d Oy nên BD song song với Ox và B, D đối

xứng nhau qua d Gọi 3 B x B;y B;D x D;y D,

 CD    1; 2 n CD 2; 1  Gọi AE là phân giác của

BAC Lấy C’ đối xứng với C qua AE ' : 15 0

D

M

N

Với :b2a, chọn a   1 b 2 BC x: 2y 7 0 Vì AD qua M3;3 và song song với

Hoặc AB: 4x3y 1 0;BC: 3x4y 7 0;DC: 3x4y240;AD: 3x4y320

7x - y + 8 = 0

C D

9 Cho hình chữ nhật ABCD có AB: 2x  y 3 0 , tâm I thuộc đường thẳng

Dạng 4: Các bài toán về đường tròn

4.1: Các bài toán lập phương trình đường tròn

Lập phương trình đường tròn ta cần xác định tâm và bán kính của đường tròn đó

Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn đi qua A1;3 và tiếp xúc với hai đường 1: 7x y 0

a b

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn đi qua A1; 2 và cắt : 3x4y 7 0 theo đường

kính BC sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 2,5

Giải

d2

d1

I A

4.2: Các bài toán phối hợp giữa điểm, đường thẳng và đường tròn

Dạng toán xác định điểm, viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường tròn rất đa dạng

Ta xét các ví dụ điển hình sau

Ví dụ 1: Cho đường tròn   2 2

C x y  x y  và đường thẳng d x:  y 100 Viết phương trình  vuông góc với d và cắt  C theo một dây cung BC có độ dài bằng 2

A

B

C

Ví dụ 2: Cho đường tròn   2 2

C x y  x y  có tâm I và đường thẳng d x:   y 1 0

.Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến với  C và tứ giác IAMB là

hình vuông với A và B là hai tiếp điểm

1 Cho hai đường thẳng d1: 4x3y140, d2: 3x4y130 và điểm M2; 2 Viết phương trình đường tròn  C qua M tiếp xúc với d và cắt 1 d theo dây cung 2 AB8.

2 Cho hai đường thẳng d1: 3x y 0, d2: 3x y 0 Gọi  C là đường tròn tiếp xúc

với d tại A, cắt 1 d tại B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B Viết phương trình 2

đường tròn  C biết tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 và điểm A có hoành độ dương

Đáp số:

12

9 Cho đường tròn   2 2 2

C x y  x my m   có tâm I thuộc đường thẳng

d mx y Tìm m để đường thẳng d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho

tam giác IAB có diện tích bằng 12

Dạng 5: Các bài toán về elip

Elip thường xuất hiện trong đề thi ĐH_CĐ Đây là bài toán không khó nhưng yêu cầu học sinh phải nắm vững lí thuyết mới làm được Sau đây ta xét các ví vụ

Ví dụ 1: Cho đường tròn   2 2

C x y  Viết phương trình chính tắc của elip E , biết rằng

 E có độ dài trục lớn bằng 8 và  E cắt  C tại 4 điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình

3

m    m n Vậy elip  : 2 2 1

16163

Vậy bốn đỉnh của elip là: 5;0, 5;0 ,0; 22 , 0; 22

E   Và hai điểm A3; 2 , B3; 2 Tìm trên  E điểm C có

tọa độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất

23

E   Viết phương trình tiếp tuyến của  E biết

a) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d x:  y 20130

b) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: 2x  y 1 0một góc 45

Giải

a) Đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d x:  y 20130 :x  y m 0

 là tiếp tuyến của  E 2



313

k k

Tọa độ giao điểm A B, của d và  E là nghiệm của hệ phương trình :

2 Cho hình thoi ABCD có 4 đỉnh trùng với các đỉnh của một elip, bán kính đường tròn nội

tiếp hình thoi bằng 2 Viết phương trình chính tắc của elip, biết tâm sai 1

E   và hai điểm A 3; 4 , B 5;3 Xác định M trên elip sao cho

diện tích tam giác MAB có giá trị nhỏ nhất

E   Gọi M0x, N0y sao cho MN tiếp xúc với  E Xác

định tọa độ M N, sao cho MN ngắn nhất

Đáp số: MN 7 M2 7;0 ; N 0; 21