Từ điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A vẽ các tiếp tuyến MP, MP’ với đường tròn.. b Khi M di động trên đường thẳng d thì tâm I của đường tròn nội tiếp MPP’ di chuyể[r]
Trang 1Chương 1: VÉC TƠ
§ 1 Các
* Véc là ! có #$ !%
* Ký ()* AB là véc có (, -* là A, (, */( là B
* Giá 23 véc AB là #4 ! ! ( qua A và B
* 6 dài ! AB !8( là $ 9 dài) 23 véc AB
* (;* < !/ A = !8 B !8( là #$ ! 23 véc AB
* Véc không là véc có (, -* và (, */( trùng nhau Ký ()*B 0
* Hai véc cùng C # ! là hai véc có giá song song E trùng nhau
CD AB
CD //
AB CD
//
b //
c
0 b //
a
CD AB
CD AB
CD //
AB
b c
0 b a
CD AB
CD AB
CD
CD EF
CD AB
Cho (, O / P và véc không Q( ! (, M sao cho a OM a
§ 2
1 Định nghĩa:
HQ ! 23 hai véc a và b là véc #T xác P # sau:
H< (, A MJ >V xác P các (, B và C sao cho AB a , BC b Khi
" véc AC #T !8( là Q ! 23 hai véc a và b
Ký ()*B AC a b AC AB BC.
2 Tính chất:
4 Quy Z ba (,B $( ba (, A, B, C MJ >V ta có: AB BC AC.
5 Quy Z hình bình hành: H] giác ABCD là hình bình hành thì:
6 M là trung (, 23 ! AB MA MB 0
7 G là @8 ! tâm 23 ABC GA GB GC 0
AC AD
) ( )
( 3.
2.
0 0 1
c b a c b a
a b b a
a a a
Trang 2§ 3 hai véc
1 Véc tơ đối của một véc tơ:
* =* a b 0 thì ta nói là véc a /( 23 , E là véc /( 23 b b a
* Ký ()* véc /( 23 véc là - H< " suy ra:a a
Véc /( 23 véc là véc !#T #$ ! +$( véc và có a a cùng dài +$( véc a
* Véc /( 23 véc là véc 0 0
2 Hiệu của hai véc tơ:
* - = + (- ).a b a b
* Cho @#$ véc MN thì (, O ta luôn có: MN ON - OM
§ 4 Phép nhân "# $% & "# véc
1 Định nghĩa:
* Tích 23 véc +$( D/ d k là véc ký ()* là k và #T xác a a
P # sau:
=* k 0 thì k a a
* ( ) xét: 1 = a a
(-1) = - a a
2 Các tính chất của phép nhân véc tơ với một số:
$( hai véc , MJ >V và 8( D/ d k, l, ta có:a b
1) k(l ) = (kl) a a 2) (k + l) = k + l ; (k – l) = k - l a a a a a a 3) k( + ) = k + k ; k( - ) = k - k a b a b a b a b
4) k = a 0 khi và f khi k = o E = a 0
1 = 1 = .a a a
3) Quan hệ giữ hai véc tơ cùng phương:
Định lý:
1 Cho hai véc và , thì và cùng C # ! khi và f khi g a b a 0 a b
( duy J D/ d k sao cho = kb a
Trang 32 6(;* >() - và 2 , ba (, phân M() A, B, C ! hàng là có D/
k sao cho ABk AC.
4) Phân tích một véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương:
Định lý: Cho hai véc và không cùng C # !% $( 8( véc , g a b u
( duy J EC D/ d (m, n) sao cho: = m + nu a b
6(, I là trung (, 23 ! AB khi và f khi +$( (, O MJ >V
ta có: OI OAOB
2 1
6(, G là @8 ! tâm 23 ABC khi và f khi +$( (, O MJ >V ta có:
3
1
OC OB OA
§ 5 , # véc và ."
1) 6/( +$( ) @h 83 O ,;i j hay Oxy
1 u ; a b ua ib j
2 M x; y OM x; y OM x i y j
2) =* A = (x; y), B = (x’; y’) thì ABx' x; y' y
3) =* u (x; y)và v (x' ;y' )thì:
1 uvxx' ; y y'
2 k ukx;ky
B BÀI 2 RÈN 5678(:
1 Cho ABC 8( A’ /( U] ! +$( A qua B; B’ /( U] ! +$( B qua C và C’
/( U] ! +$( C qua A CMR: ABC và A’B’C’ có cùng @8 ! tâm
2 Cho 4 (, A, B, C, D 8( I, J - #T là trung (, 23 AB và CD a) CMR: ACBDADBC 2IJ
b) 8( G là trung (, 23 IJ, CMR: GAGBGCGD 0
c) 8( P, Q - #T là trung (, 23 AC và BD ; M, N - #T là trung
(, 23 AD, BC CMR: ba #4 ! ! IJ, PQ và MN có chung trung (,%
3 Cho ABC @8 ! tâm G 8( D, E là các (, xác P Mn(
5
2 ,
2AB AE AC
a) Tính DE và DG theo ABvà AC
b) CMR: ba (, D, G, E ! hàng
Trang 44 Cho ABC.
a) Xác P các (, D, E q3 mãn các ! ]B
0 2
; 0
4DADB EA EC b) Tìm sC TC các (, M q3 mãn ) ]B 4MAMB MA 2MC
5 Cho ABC 8( D là (, xác P Mn( AD AC, M là trung (, 23
5
2
BD a) Tính AM theo ABvà AC
b) AM Z BC ( I Tính và
IC
IB
.
AI AM
6 Cho ABC 8( D và E là các (, xác P Mn( .
5
2
; 3
2
AC AE
AB
8( K là trung (, 23 DE và M là (, xác P Mn( BM x BC.
a) Tính AK , AM theo AB, ACvà x
b) Tìm x sao cho A, K, M ! hàng
7 Cho hình thang ABCD và O là giao (, 23 hai #4 ! chéo AC và BD Qua O >t #4 ! ! song song +$( 1Y hình thang, #4 ! ! này Z các
bên AD và BC ( M và N CMR:
Trong "
b a
DC a AB b MN
8 Cho tam giác ABC và trung *Y= CC1, #4 ! ! /( A +$( trung (,
M 23 CC1 Z BC ( P ] ! minh @w !B CP : PB 1 : 2
9 6/( +$( ) @h Oxy cho ba (, A = (a1;a2), B = (b1;b2), C = (c1;c2)
a) Tính trung (, I 23 ! AC
b) Xác P 23 (, D sao cho ABCD là hình bình hành
10 Cho ] giác ABCD, trên các AB và CD JY - #T các (, M,N 8( P, Q là giao (, 23 các #4 ! ! /( trung (, 23 các /( 7()
23 hai ] giác AMND và MBCN ] ! minh @w ! PQ không C h * vào +() 8 các (, M, N
11 8( M và N là các (, chia ! AB = a theo y D/ m và n ( m và
n ;* $ 1)
a) Tính theo a, m, n các ! MA, NA, NB và MN
b) 8( O là trung (, 23 ! MN, tính:
OB OM
12 8( AM là phân giác 23 tam giác ABC +$( AC = b, AB = c
CMR: MC
Trang 513 Cho tam giác ABC, Tìm sC TC (, M z mãn:
14 Cho ABC 8( O, G, H - #T là tâm #4 ! tròn ! ( (=C @8 ! tâm, @d tâm 23 tam giác, A’ là (, /( U] ! +$( A qua O, D là trung (, 23 BC
a) Xét quan ) !(|3 các véc B BH và A' C; BA' và HC
b) CMR: 2 OD AH
c) CMR: OAOBOC OH 3 OG
H< " suy ra O, G, H ! hàng Tìm y D/ mà (, G chia ! OH
d) CMR: HAHBHC 2 HO 3 HG
15 Cho hình bình hành ABCD Trên BC JY (, H; trên BD JY (, K
6
1
; 5
1
BD BK
BC
16 Cho ABC 8( A’, B’, C’ - #T là các (, #T xác P Mn(
CMR:
CA CC
BC BB
AB
AA' ; ' ; '
a) ABC và A’B’C’ có cùng @8 ! tâm
b) MAMBMC MA' MB' MC' +$( M là (, MJ >V%
17 Cho ABC và M là (, MJ >VB
a) CMR: véc B 3 MA 5 MB 2 MC là không Q( không C h * vào +P trí 23 (, M
b) Tìm (, I sao cho: 3 IA 2 IBIC 0 c) CMR: #4 ! ! MN xác P Mn( MN 3 MA 2 MBMC ( qua (, / P %
d) Tìm sC TC | ! (, M sao cho: 3 MA 2MBMC MBMC
e) CMR: +$( 4 (, A, B, C, M q3 mãn ) ] sau `Y thì A, B,
C ! hàng MA 2 MB 3 MC 0
18 Cho 6 (, MJ >V A, B, C, D, E, F CMR: ADBECF AEBF CD
19 Cho ] giác ABCD có M, N, P, Q theo ] d là trung (, 23 AD,
BC, DB, AC CMR:
AB DC
PQ b
DC AB MN
a
2
1 )
2
1 )
MC MA MB
MA b
MC MB MA a
)
0 )
Trang 620 Cho ] giác ABCD có @8 ! tâm G 8( A1, B1, C1, D1 - #T là @8 ! tâm 23 BCD, CDA, DAB, ABC CMR:
a) G là @8 ! tâm 23 ] giác A1B1C1D1 b) A, G, A1 ! hàng và tính: .
1
GA GA
21 Cho ABC có AB = 3, AC = 4, I AD là phân giác trong 23 tam giác sao cho: , M là trung (, 23 AC
7
10
AI
AD
a) Tính BD theo DC; AI theo ID
b) Tính AD, AI theo AB và AC
c) Tính BI , BM theo AB và AC H< " suy ra B, I, M ! hàng
22 Cho ABC và (, M tùy ý
a) CMR: u(M) 3 MA 5 MB 2 MC không C h * +P trí (, M b) Xác P (, I sao cho: 3 IA 2 IBIC 0
c) 6#4 ! ! FQ thay Q( q3 mãn: PQ 3 PA 2 PBPC CMR:
PQ luôn ( qua (, / P %
d) Tìm sC TC các (, M q3 mãn trong các (;* >() sau:
MB MA MC
MB
MA 2
3 :
1 0
MC MB MC
MB
MA 3
2 :
2 0
MB MC k R k
MC MB
2 :
30
23 Cho ] giác ABCD và #4 ! ! Tìm trên (, M sao cho:
có giá @P q J%
MC MB
MA
a) 3
có giá @P q J%
MD MC MB MA
có giá @P q J%
MD MC
MB MA
24 Trên E C ! 83 Oxy cho A(-1; 1), B(2; 4), C(1; 3)
a) CMR: A, B, C ! hàng
b) Xác P 83 (, E sao cho ABE s M(1; 2) là @8 ! tâm
và tính SABE Xác P 83 (, D sao cho 4 (, A, B, C, D sC thành hàng (, (;* hòa
25 Trên E C ! 83 Oxy cho A(1; 0), B(0; 3), C(-3; -5)
Trang 7a) CMR A, B, C không ! hàng Xác P 83 (, D sao cho ] giác ABCD là hình bình hành
b) Xác P 83 (, I sao cho: 2 IA 3 IB 2 IC 0 c) Tìm sC TC (, M sao cho: 2 MA 3 MB 2 MC MAMB
26 Trên E C ! 83 Oxy cho A(-1; 4), B(-4; 0), C(2; -2)
a) CMR: ABC
b) Tìm 83 (, D sao cho ] giác ABCD là hình bình hành
c) Tìm 83 tâm I và bán kính R 23 #4 ! tròn ! ( (=C ABC d) Tính chu vi và 83 @8 ! tâm G 23 ABC
e) Tính dài trung *Y= BI 23 ABC
f) 6#4 ! ! AC Z Ox, Oy ( M, N Các (, M, N chia
! AB theo y D/ nào?
g) Phân giác trong 23 góc ABC Z AB ( E Tìm 83 (, E h) Tìm (, P Ox sao cho (PA + PC) q J
27 Cho O là tâm và M là (, tùy ý * (; trong 23 tam giác ;* ABC Qua M >t #4 ! ! song song +$( BC, Z AB, AC ( C1, B1; >t #4 !
! song song +$( AC, Z AB, BC ( C2, A2; >t #4 ! ! song song +$( AB,
Z AC, BC ( B2, A1 8( D, E, F là hình (=* 23 M trên các BC, CA, AB CMR: a) Các tam giác: MA1A2, MB1B2, MC1C2 ;*%
b) MA1 MA2 MB1MB2 MC1MC2 2 MDMEMF
c) MD ME MF MO
2
3
28 8( O, G, H - #T là tâm #4 ! tròn ! ( (=C @8 ! tâm, @d tâm
23 ABC có các a, b, c CMR:
a) OAOBOCOH
b) H, G, O ! hàng và HO = 3.GO
c) a.IAb.IBc.IC 0 I là `#4 ! tròn ( (=C ABC
d) a.GAb.GBc.GC 0 ABC ;*%
29 Cho không cùng a C # ! +$( b
a) CMR: uab không cùng C # ! +$( vab
b) Tìm x sao cho: ua ( 2x 1 )b cùng C # ! +$( v x ab
c) Tìm x sao cho: u 3 ax.b cùng C # ! +$( v x a b
3
2 ).
1
Trang 830 Cho ABC vuông ( A, M là (, thay Q( trong tam giác và D, E, F
- #T là hình (=* 23 M trên BC, CA, AB Tìm sC TC | ! (, M sao cho: MDMEMF MA
31 Cho ABC JY (, A1 * BC q3 mãn A1B 3 A1C; C1
* AC sao cho AA1 BB1CC1 0 Tính y D/B và
A B
C B
1
1
B C
A C
1 1
32 Cho ABC vuông ( C, H là hình (=* 23 C trên AB JY các (,
M AB, N AC sao cho BM = BC, CN = CH CMR: MN AC
33.Cho hình bình hành ABCD 8( I, J, K là các (, xác P Mn(B
CMR: (;* >() - và 2 , I, J, K )
0 (
,
,
AB AJ AC AK AD
AI
! hàng là:
1 1 1
34 } 7h ! C # ! pháp 83 ] ! minh MJ ! ] 0* (3/CD>( M(= 7 !B Cho hai M D/ d (a1, a2, a3, , an) và (b1, b2, b3, , bn) CMR:
a1 a2 an 2 b1 b2 bn2 a12 b12 a22 b22 a2n b2n.
KJ* Mw ! UzY ra khi và f khi có duy J D/ d t q3 ai = t.bi i1 n,
35 ] ! minh P ;lý Mênêlauýt:
Cho ABC và cá (, A’, B’, C’ - #T * BC, CA, AB ] ! minh
@w ! (;* >() - và 2 , A’, B’, C’ ! hàng là: 1
'
'
'
' '
B C
A C A B
C B C A
B A
36 ] ! minh P lý Xêva:
Cho ABC và cá (, A’, B’, C’ - #T * BC, CA, AB ] ! minh
@w ! (;* >() - và 2 , các #4 ! ! AA’, BB’, CC’ g ! quy hay song
'
'
'
' '
B C
A C A B
C B C
A
B
A
Trang 9Chương II: TÍCH VÔ <=(> ? HAI VÉC A VÀ B(> CD(>
A LÝ 67F
§1 Giá
1 Tỷ số lượng giác của góc bất kỳ: (00 1800)
M(x; y) là (, * 3 #4 ! tròn +P là góc !(|3 Ox
và OM thì:
2 Các công thức cần nhớ:
* Hai góc L nhau: và 900 -
sin = cos(900- ); cos = sin(900- ); tan = cot(900- ); cot = tan(900- )
* Hai góc bù nhau: và 1800 -
sin = sin(1800- ); cos = - cos(1800- );
tan = - tan(1800- ); cot = - cot(1800- )
3 Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:
Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
2
1
2
2
2
2
3
2
2
2
1
0
2
3
2
2
2
1
0
2
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
§2 Tích vô
1 Góc giữa hai véc tơ:
) 0 0
( cot
; ) 90 0
( tan
; cos
;
y
x hay
x x
y x
y
) 0 (sin sin
1 cot
1 )
; ) 0 (cos cos
1 tan
1
)
1 cos sin
) );
0 (sin sin
cos cot
)
; ) 0 (cos cos
sin tan
)
2 2
2 2
2 2
e d
c b
a
Trang 10Khi " D/ 23 góc AOB #T !8( là D/ 23 góc !(|3 hai véc ,
a
OA OBb.
và a b
* Ký a, b
* Chú ý: + =* E là véc thì góc !(|3 hai véc và là tùy ý a b 0 a b
9< 00 = 1800)
+ =* a, b = 900 thì a b
+ a, b = 00 ; a b a, b = 1800 a b
2 Tích vô hướng của hai véc tơ:
*
* Công U hình W a.ba.b' +$( là hình (=* 23 véc trên b' b
#4 ! ! ]3 véc a.
* Các tính
0
2
;
10 a bb a 0 a b ab
; 4
3
2 2 0
0
a a a a b
a k b k a b a
.
50 a bc a ba c 0 ab2 a2 a bb2 0 ab ab a2b2
3 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:
* M/(O) = MA.MBMO2 R2 d2R2.
* Chú ý:
+ M (O) PM/(O)
+ M w trong #4 ! tròn (O) PM/(O) < 0.
+ M w ngoài #4 ! tròn (O) PM/(O) > 0.
+ M w ngoài #4 ! tròn (O) và MT là (=C *Y= (T là (=C (,:
thì PM/(O) = MT2 MT2.
4.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng và ứng dụng:
Trong ) 83 O ;;i j cho hai véc a (x;y); b (x' ;y' ) Khi "B
0 ' ' 0
2
; ' '
10 a bxxyy 0 a b xxyy
' '
' ' ,
cos 4
; 3
2 2 2 2 0
2 2
y x y x
yy xx b
a y
x a
§3
1 Định lý côsin:
Trong ABC +$( BC = a, CA = b, AB =c, ta có:
a2 = b2 + c2 - 2bccosA
)
; cos(
.b a b a b
a
Trang 11b2 = c2 + a2 - 2cacosB
c2 = a2 + b2 - 2abcosC H< P lý côsin suy ra các công ] tính côsin 23 các góc 23 ABC:
2 Định lý sin: $( 8( ABC ( (=C #4 ! tròn (O; R), ta có:
3 Công thức trung tuyến và ứng dụng:
2 2
; 2 2
; 2 2
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
m b a
b m a c
a m c
4 2
; 4 2
; 4 2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
m b a c m a c b
30 I là trung (, 23 ! AB =a sC TC | ! (, M q3 mãn
) ] MA2+ MB2 =k2, trong " k là D/ không Q( cho @#$ .
4 2
2 2
2 k a
MI
H< "B + =* 2k2 > a2 thì {M} là #4 ! tròn tâm I bán kính .
2
2k2 a2
+ =* 2k2 = a2 thì {M} O
+ =* 2k2 < AB2 thì {M}= Ø
4 Các công thức tính diện tích ABC:
2
1 2
1 2
1
10 S ABC ah a bh b ch c
sin 2
1 sin 2
1 sin 2
1
20 S ABC ab C bc A ca B
4
30
R
abc
S ABC
) )(
)(
(
40 S ABC p pa pb pc
2
) (
50 S ABC pr abc r
B BÀI 2 RÈN 5678(:
1 ] ! minh các w ! ! ]B
a) cos2( cos4 + sin2.cos2 + sin2 + tg2) = 1
b) 1 - (sin6 + cos6) = 3sin2 cos2
2 a) Rút !8 M(,* ]B
x
x x
x
2
sin
cos 1 1 sin
cos 1
R C
c B
b A
a
2 sin sin
; 2
cos
; 2
cos
; 2
cos
2 2 2 2
2 2 2
2 2
ab
c b a C ca
b a c B bc
a c b
Trang 12b) Tính giá @P 23 A M(=
2
1 cosx
3 Tìm giá @P $ J 23 hàm D/B y asin 2 xccos 2 x acos 2 xcsin 2 x
(Các giá @P 23 a và c q3 mãn , M(,* ] có ! 3:%
4 ] ! minh các M(,* ] sau:
4 2
2
4 2
2
sin sin
cos
cos cos
sin )
; sin 1
cos 1
cos sin
1 cos sin
cos cot
sin
sin 1 ) cot
cos
sin )
2 6
2 2
2 2
g b
tg g
tg c
5 CMR các M(,* ] sau `Y không C h * vào x
A = 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x)
B = cos6x + 2sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + sin4x
C = (tgx + cotgx)2 - (cotgx - tgx)2
1 cot
1 cot 1
2
gx
2 4
2 4
sin 4 cos cos
4
6 Trong E C ! 83 Oxy cho A(-2; 2), B(6; 4), C(4; 2)
a) CMR: ABC Tính cosB, tính SABC ? b) Tìm (, M Ox sao cho MAB vuông
c) Tìm 83 @d tâm H 23 ABC
d) Tìm (, E sao cho ] giác ABCE là hình thang vuông ( E và A
7 CMR: a) ABC là ;* =*B
c b a
c b a a
C b a
3 3 3 2
cos 2
b) ABC là cân =*B 2
cos sin
sin
C B A
8 Cho ABC:
a) a 2 3 ; b 2 2 ; c 6 2 Tính góc A, B, C và R, ha, ma b) A = 600; b = 6; c = 12 Tính góc B, C và a, R, r
c) B = 1050; C = 300; BH AC ( H; BH = 3 Tính góc A và a, b, c,
SABC
9 Cho #4 ! tròn (C) tâm O và #4 ! ! d 6#4 ! ! ( qua O và vuông góc +$( d ( H Z #4 ! tròn ( A, B 6#4 ! ! d1( qua H Z #4 ! tròn (C) ( M, N Các #4 ! ! AM, AN Z #4 ! ! d ( M’, N’ CMR:
a) AB.AH AM.AM' AN.AN' ; HM.'HN' HA.HB
b) 6#4 ! tròn ! ( (=C AM’N’ ( qua (, / P khác (,
A khi d1 di !%
10 Cho ba (, A, B, C ! hàng theo ] d "% Qua A, C + #4 ! tròn (O) MJ >V% H< B #4 ! ! vuông góc +$( OA Z #4 ! tròn ( M, M’
...2
3< /small>
3< /small>
3< /small>
3< /small>
3< /small>
3< /small>
3< /small>
§2 Tích...
1 1
32 Cho ABC vng ( C, H hình (=* 23 C AB JY (,
M AB, N AC cho BM = BC, CN = CH CMR: MN AC
33 .Cho hình bình hành ABCD 8( I, J, K (,... 23 ! AC
b) Xác P 23 (, D cho ABCD hình bình hành
10 Cho ] giác ABCD, AB CD JY - #T (, M,N 8( P, Q giao (, 23 #4 ! ! /( trung (, 23