PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TỎNG KHÔNG GIAN

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và nằm trong α cắt mặt cầu S theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất là... Gọi M N P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với , ,các mặt phẳng to

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG III CHỦ ĐỀ 5.13 Một số bài toán tổng hợp khác.

( )S x: 2+y2+ −z2 6x−6y− + =8z 18 0 Phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và nằm trong

( )α cắt mặt cầu ( )S theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất là.

⇒ nằm trong mặt cầu ( )S , nên mọi đường thẳng ∆ qua M đều cắt mặt cầu ( )S tại hai

điểm ,A B phân biệt Để AB nhỏ nhất thì khoảng cách từ I đến ∆ lớn nhất, khoảng cách này

Câu 3 [2H3-5.13-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2] Trong không gian với hệ tọa

độ Oxyz , cho điểm A(2;1;3) và đường thẳng : 1 2

.5+ + =

Câu 4 [2H3-5.13-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2] Trong không gian với hệ tọa

độ Oxyz , cho đường thẳng : 2

Chọn B.

Mặt cầu ( )S có tâm I(1;2;1 ,) R= 2

Đường thẳng d nhận ur=(2; 1;4− ) làm vectơ chỉ phương

Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng d

Vậy phương trình đường thẳng D cần tìm là: : 1 2 3

Gọi d là đường thẳng đi qua I(1; 2;3) và vuông góc ( )P

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng d là

1 2

2 23

4

3.122.31.4

2 2

−++

+

−

413

78

c

c

Câu 8 [2H3-5.13-3] [THPT Nguyễn Tất Thành] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba

điểm A(2; 3;7 ,− ) B(0; 4; 3− ) và C(4; 2;5) Tìm tọa độ điểm M nằm trên mp (Oxy sao cho)

Có : MA MB MCuuur uuur uuuur+ + = MG GA MG GB MG GCuuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur+ + + + +

= 3MG GA GB GCuuuur uuur uuur uuur+ + +

Tìm G sao cho : GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0 hay G là trọng tâm ∆ABC Khi đó : G(2;1;3).

Từ đó : MA MB MCuuur uuur uuuur+ + = 3MGuuuur =3.MG

MA MB MC+ +

uuur uuur uuuur

nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất Mà M nằm trên mp (Oxy vậy M là)hình chiếu của G lên (Oxy hay ) M(2;1;0 ) .

Câu 9 [2H3-5.13-3] [THPT Đặng Thúc Hứa] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường ,

1 2

x

t y

1;1;11; 2; 2

M u

0; 1;31;2; 2

M u

x y z

= =  ÷

rr

rr

Câu 10 [2H3-5.13-3] [THPT chuyên Lương Thế Vinh] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho

hai điểm A(6; 3;4− ), B a b c( ; ; ) Gọi M N P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với , ,các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oxz) và (Oyz) Biết rằng M N P nằm trên đoạn AB sao cho, ,

Câu 11 [2H3-5.13-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu

( )S có phương trình( ) ( ) (2 ) (2 )2

S x− + y− + −z = Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa trục Ox và cắt ( )S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2

Vì mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 nênmặt phẳng ( )P đi qua tâm I(1; 2;3) .

AB T

Câu 14 [2H3-5.13-3] [CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

bốn điểm A(1;0; 1− ) , B(3; 1; 2− − ) , C(6; 2;3− ) , D(0;1;6) Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng điqua hai điểm C, D và cách đều hai điểm A, B ?

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi ( )P là mặt phẳng đi qua hai điểm C, Dvà cách đều hai điểm A, B

Có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu của bài toán

TH1: Mặt phẳng ( )P đi qua hai điểm C, Dvà song song với đường thẳng chứa hai điểm A,

B

TH2: Mặt phẳng ( )P đi qua hai điểm C, Dvà đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB

Câu 15 [2H3-5.13-3] [THPT chuyên KHTN lần 1] Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng

Ta có VTCP của d và 1 d lần lượt là 2 uur1 = −(1; 1;2) và uuur2 = −( 2;0;1)

Do mặt phẳng ( )α cách đều d và 1 d nên 2 ( )α song song với d và 1 d 2

Do đó VTPT của ( )α là nr=u uur uur1, 2= − − −( 1; 5; 2) hay nur′ =(1;5; 2)

Phương trình ( )α có dạng x+5y+2z m+ =0

Do ( )α cách đều hai đường thẳng d và 1 d nên 2 d A( ,( )α ) =d B( ,( )α ) với ( )

1 2

2;1;02;3;0

Câu 16 [2H3-5.13-3] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2] Trong không gian với hệ trục toạ độ

Oxyz , cho ba điểm A a( ;0;0), B(0; ;0b ) , C(0;0;c trong đó , ,) a b c là các số dương thay đổi

a b c ⇒M(2; 2;1− ) (∈ ABC )

Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABC khi đó: ) OH OM≤ nên OH lớn nhất bằng

OM khi H ≡M Khi đó khoảng cách từ O đến (ABC lớn nhất bằng)

Ta có ( ABC qua ) B, có vtpt nr =uuur uuurAB AC, =(2; 2;3) ⇒(ABC) : 2x+2y+ − =3z 9 0

Gọi I a b c là tâm đường tròn đi qua ba điểm ( ; ; ) A B C, , .

A , B(−1;2;0) , C(2; 3;2− ) Tập hợp tất cả các điểm M cách đều ba điểm , , A B C là

một đường thẳng d Viết phương trình tham số của d

Cách 1: Ta có: uuurAB= −( 2;1; 1− ), uuurAC =(1; 4;1− ) nên ur =uuur uuurAB AC, = −( 3;1;7).

Phương trình mặt phẳng (ABC là ) −3(x− + − +1) ( y 1) (7 z− = ⇔ − + +1) 0 3x y 7z− =4 0.Tập hợp tất cả các điểm M cách đều ba điểm , , A B C là một đường thẳng d nên d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Do đó d có một vecto chỉ phương ur nên loại phương án B và C

Gọi I x y z là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( ; ; )

Do d đi qua I , thay tọa độ điểm I vào hai đáp án A và D nên loại A

Cách 2: Ta có: uuurAB= −( 2;1; 1− ), uuurAC =(1; 4;1− ) nên ur =uuur uuurAB AC, = −( 3;1;7).

Tập hợp tất cả các điểm M cách đều ba điểm , , A B C là một đường thẳng d nên d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Do đó d có một vecto chỉ phương ur nên loại phương án B và C

Gọi

8 3' :

Thử trực tiếp ta có: d A d( ; ') ≠d C d( ; ') nên loại A

Câu 19 [2H3-5.13-3] [THPT Chuyên LHP] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P

đi qua M(2;1; 2) và cắt ba trục tọa độ lần lượt tại ba điểm , ,A B C sao cho M là trực tâm của

tam giác ABC Mặt phẳng( )P đi qua điểm nào sau đây?

A. T(2; 1;3− ) B. S(1;1;4) . C. H(−3;3;5) D. K(1;5;2).

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi ( )P là mặt phẳng đi qua M(2;1; 2) khi đó ( )P cắt ba trục tọa độ tại ba điểm A B C, , .

Tứ diện OABC có OM ⊥(ABC) hay OMuuuur là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P

Phương trình tổng quát của ( )P là: 2(x− +2) (1 y− +1) (2 z− = ⇔2) 0 2x y+ +2z− =9 0.Thay tọa độ bốn điểm vào phương trình mặt phẳng ( )P ta thấy điểm T(2; 1;3− ) thuộc ( )P

Câu 20 [2H3-5.13-3] [THPT CHUYÊN BẾN TRE] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt

cầu ( ) ( ) (2 )2 2

S x− + y− +z = Mặt phẳng Oxy cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến là

đường tròn ( )T Có bao nhiêu điểm trên ( )T có tọa độ là các số nguyên?

Câu 24 [2H3-5.13-3] [SỞ GD-ĐT ĐỒNG NAI] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt

phẳng ( )P và đường thẳng ( )d tương ứng có phương trình là 2x y− + − =3z 3 0 và

− − Biết đường thẳng ( )d cắt mặt phẳng ( )P tại điểm M Gọi N là điểm

thuộc ( )d sao cho MN =3, gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm N trên mặt phẳng ( )P

Gọi α là góc giữa ( )P và ( )d Ta có: sin . 8 4 cos 5

Câu 25 [2H3-5.13-3] [THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm

K d∈ ⇔K t t + ⇒t uuurAK = −t t− t+ ⇒uuur uurAK u = ⇔ = ⇒t uuurAK = − −

Câu 26 [2H3-5.13-3] [THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT] Trong không gian với hệ tọa đô Oxyz, cho

B , C(2; 1; –1) và D(3; 1; 4) Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng chia tứ diện

ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau?

C. Có vô số mặt phẳng D. 4 mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Trên các cạnh AB AC AD lấy lần lượt , ,, , M N P sao cho 1

2

AM AN AP

AB AC CB = thì mp (MNP)chia khối tứ diện ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau nên có vô số mặt phẳng thỏamãn yêu cầu đề bài

Câu 28 [2H3-5.13-3] [THPT Nguyễn Văn Cừ] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , choA(1; 5; 0) ,

Vậy diện tích tam giác MAB nhỏ nhất khi t = ⇒1 M(1;0; 2)

Câu 29 [2H3-5.13-3] [THPT Nguyễn Đăng Đạo] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tứ diện

ABCD có A(1;1;0), B(0;1; 1- ), C(2;0;1) , D(1;1;1) Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng qua A và chia

tứ diện thành hai phần có thể tích bằng nhau?

Gọi H là giao điểm của d và ( )α 2; 1 10;

3; 4; 21;1;1

u M

2; 3; 13; 2;0

u M

Gọi ( )α là mặt phẳng tạo bởi 2 đường thẳng d d 1, 2

d cắt d d1, 2⇒d có 2 điểm chung với ( )α ⇒ ⊂d ( )α

Gọi I = ∩d d J3, = ∩ ⇒d d4 I J, ∈( )α

Phương trình ( )α : 2x y z+ + − =4 0

Lại có: d4∩( )α tại 1 điểm, d3∩( )α tại 1 điểm

⇒ tồn tại duy nhất 1 đường thẳng d cắt cả 4 đường d d d d 1, 2, 3, 4

Câu 32 [2H3-5.13-3] [THPT Lý Nhân Tông] Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng

Câu 34. Khi đó d B d( , ′) lớn nhất khi H A≡ ⇔ AB⊥d′.

Câu 35. Gọi M = ∩ ⇒d d′ M(− +1 2 ; ; 2t t − ⇒t) uuuurAM(− +1 2 ;t t+ −1; t)

Câu 36. d′ ⊥AB⇔uuuur uuurAM ⊥ AB⇔uuuur uuurAM AB = ⇔ = ⇔ =0 7t 0 t 0

Câu 37. Khi đó, M(−1;0; 2)

Câu 38. d′ qua A, có VTCP uuuurAM(−1;1;0).

Câu 39 [2H3-5.13-3] [THPT Lý Nhân Tông] Cho 3 đường thẳng ( )1 : 4

2:

Khi đó, đường thẳng d đi qua N và P

Câu 42 [2H3-5.13-3] [THPT LƯƠNG TÀI 2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt

M − Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt đường thẳng ∆ tại điểm A và cắt

mặt phẳng ( )P tại B sao cho M là trung điểm AB ?

Do A∈∆⇒ = +A (3 2 ,1t −t, 2+t), mà M là trung điểm AB nên B= − −( 1 2 , 1 , 4t − + − −t t) ( ) ( ): 1 2 t 1 t 4 t 2 0 2 ( 5,1, 6 ) MB ( 6,1, 5)

Câu 44 [2H3-5.13-3] [THPT Hoàng Quốc Việt] Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt phẳng

( )P : x y z+ − + =3 0 và mặt cầu ( )S :x2+y2+ −z2 6x−8y−2z+23=0 Tìm điểm M trên

mặt cầu ( )S sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( )P là lớn nhất.

A , B(0; 1; 0− ), C(0; 0; 1),D(1; 1; 1− ) Mặt cầu tiếp xúc 6 cạnh tứ diện ABCD

cắt (ACD theo thiết diện ) S Chọn mệnh đề đúng?

1 1

12

2 2

;

22

Câu 46 [2H3-5.13-3] [THPT Tiên Du 1] Cho các điểm A(1;0;0 ,) (B 0;1;0 ,) (C 0;0;1 ,) (D 0;0;0) Hỏi

có bao nhiêu điểm P cách đều các mặt phẳng (ABC) (, BCD) (, CDA) (, DAB )

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: DA DB DC= = và ABC là tam giác đều Vậy chóp ABCD là chóp đều Vậy có 5

điểm cách đều các mặt bên là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện và 4 tâm mặt cầu bàng tiếp tứ diện (mặt cầu tiếp xúc với các mặt bên ngoài khối tứ diện)

Câu 47 [2H3-5.13-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Trong không gian Oxyz , cho điểm

AM ngắn nhất khi M là hình chiếu của A lên ( )P

AM qua A(- - -1; 1; 2) và có vectơ chỉ phương ur=(1;1;1),

AM có phương trình:

112

ì =- +ïï

ïï =- +íï

ï =- +ïïî

Câu 48 [2H3-5.13-3]Trong không gian với hệ trục Oxyz , biết rằng tập hợp tất cả các điểm M x y z( ; ; )

sao cho x + + =y z 3 là một hình đa diện Tính thể tích V của khối đa diện đó.

Câu 49 [2H3-5.13-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 03] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 5

điểm A(1;2;3), B(0;0;2), C(1;0;0),D(0; 1;0), − E(5;6;7) Số mặt phẳng nhiều nhất được tạo thành

từ 5 điểm trên là:

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Trong 5 điểm trên, không có 4 điểm nào đồng phẳng Tử 3 điểm bất kì tạo thành được mộtmặt phẳng số mặt phẳng được tạo thành là.C =53 10.

( )S x: 2+y2+z2 – 2 – 4 – 6 – 2 0x y z = và mặt phẳng ( )P : 4x+3 –12y z+ =10 0 Mặt phẳngtiếp xúc với (S) và song song với (P) có phương trình là:

4

3.122.31.4

2 2

−++

+

−

413

1 2

x

t y

1;1;11; 2; 2

M u

0; 1;31;2; 2

M u

x y z

= =  ÷

rr

rr

Câu 54 [2H3-5.13-3] [THPT – THD Nam Dinh] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho

mặt phẳng ( )P : x y z+ − + =2 0 và hai điểm A(3;4;1), B(7; 4; 3− − ) Tìm hoành độ của điểm

M Biết rằng M thuộc ( )P , tam giác ABM vuông tại M , diện tích nhỏ nhất và hoành độđiểm M lớn hơn 2

⇒r uuur= Lại có A không nằm trên ( )P nên ABP( )P

Gọi I là trung điểm của AB ⇒I(5;0; 1− ), IA=2 6

Phương trình mặt cầu đường kính AB là: ( ) ( )2 2 ( )2

S x− +y + +z = Tam giác MAB vuông tại M ⇒M∈( )S

Tọa độ hình chiếu của I(5;0; 1− ) lên mặt phẳng ( )P là 7; 8 5;

353

AM qua A(- - -1; 1; 2) và có vectơ chỉ phương ur=(1;1;1),.

AM có phương trình:

112

ì =- +ïï

ïï =- +íï

ï =- +ïïî

− Hai điểm M , N lần lượt thuộc hai đường thẳng d và 1 d sao cho 2

đường thẳng MN cắt mặt cầu ( )S tại hai điểm A B, Tìm tọa độ điểm N để đoạn thẳng AB có

Câu 57 [2H3-5.13-3]Trong không gian với hệ trục Oxyz , biết rằng tập hợp tất cả các điểm M x y z( ; ; )

sao cho x + + =y z 3 là một hình đa diện Tính thể tích V của khối đa diện đó.