Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Cơ sở lí luận 1/ Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 4 2/ Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc 4 3/ Phương pháp xác định khoảng cách từ điểm M đến P dựa 4/ Quan hệ gi

HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ

MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

Người thực hiện: Trần Thị Vân

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2018

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Mục lục

Trang

I MỞ ĐẦU

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận

1/ Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 4 2/ Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc 4 3/ Phương pháp xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) dựa

4/ Quan hệ giữa khoảng cách từ hai điểm đến cùng một mặt

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5 2.3 Giải pháp

1 Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến mặt bên của

2 Bài toán 2: Khoảng cách từ một điểm đến mặt đáy của hình

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận 16

I MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song… là các bài toán thường gặp trong chương III hình học lớp 11 Việc giải các bài toán này, phần lớn là đưa về tính khoảng cách

từ một điểm đến một mặt phẳng

Từ năm học 2016-2017, môn toán đã được đổi sang hình thức thi trắc nghiệm, bên cạnh sự cần thiết của nắm chắc lý thuyết thì việc hiểu và thuần thục các kỹ năng giải bài tập là vô cùng quan trọng đối với các em học sinh

Khi giảng dạy bài “Khoảng cách” của môn hình học không gian lớp 11 tôi thấy :

- Theo phân phối chương trình bài học chỉ gồm 2 tiết lí thuyết và 1 tiết bài tập Việc áp dụng kiến thức vào làm bài toán tính khoảng cách chỉ thông qua vài ví

dụ chung chung trong khi lượng bài tập liên quan đến khái niệm này tương đối nhiều và phong phú

- Nếu giáo viên không phân dạng bài tập để hướng dẫn học sinh rèn luyện phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thì các em có lực học ở mức độ trung bình khá sẽ rất khó khăn trong việc áp dụng định nghĩa,

định lí, phương pháp chung vào các bài cụ thể

Từ những lý do trên, tôi đã chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh tính khoảng

cách từ một điểm đến mặt phẳng ”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia có lực học

ở mức độ trung bình khá làm thành thạo bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình chóp Trên cơ sở đó, các em sẽ tiến tới làm tốt bài toán này trên các loại hình khác như: hình lăng trụ, hình hộp…

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu, tổng kết một số kĩ năng tính khoảng cách từ một điểm

đến mặt bên và mặt đáy của hình chóp

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1 Nghiên cứu lý luận dạy học

2 Thực hành qua các tiết học tự chọn và ôn thi tốt nghiệp

3 Tổng kết, đánh giá, đúc rút kinh nghiệm qua việc giảng dạy ở các năm.

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận

1/ Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M đến mặt

phẳng (P)là khoảng cách giữa điểm

M và hình chiếu vuông góc H của

M trên mặt phẳng (P)

Khoảng cách từ điểm M đến mặt

phẳng (P) kí hiệu là: d(M; (P)) [1].

2/ Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

Định lí:

Nếu hai mặt phẳng vuông góc

với nhau thì bất cứ đường thẳng

nào nằm trong mặt phẳng này

mà vuông góc với giao tuyến sẽ

vuông góc với mặt phẳng kia [1].

3/ Phương pháp xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) dựa vào định

nghĩa

*Bước 1: Tìm một mp (Q)vuông góc với

)

(P và chứa M

Xác định giao tuyến  của (Q) và

)

(P

*Bước 2: Trong mp (Q), dựng đường thẳng

MH vuông góc với  tại H thì H là hình

chiếu vuông góc của M trên mp (P), do đó

MH P

M

d( ; ( ))  [2].

4/ Quan hệ giữa khoảng cách từ hai điểm đến cùng một mặt phẳng

Trong không gian, cho mp (P)hai điểm phân biệt M , N không thuộc mp (P):

a



M

H P

M

H



Nếu MN (P)  I thì:

( ;( ))

( ;( )) ( ;( )) ( ;( ))

[2].

Nếu MN // (P) thì:

d(M; (P)) d(N; (P)) [2].

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Nhiều học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia có lực học ở mức độ trung bình khá khi giải quyết câu hỏi về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thì rất thuộc phương pháp nhưng lúng túng khi áp dụng Lý do là các em chưa được rèn luyện cách áp dụng phương pháp chung vào từng loại điểm và mặt trong hình cụ thể

2.3 Giải pháp

Trước thực trạng trên tôi đã phân chia bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong hình chóp thành hai bài toán với ba dạng nhỏ và cụ thể hóa phương pháp giúp các em dễ dàng tiếp thu, áp dụng

Bài toán 1 Khoảng cách từ một điểm đến mặt bên của hình chóp.

Dạng 1.1: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp Dạng 1.2: Khoảng cách từ một điểm khác chân đường cao đến mặt bên của

hình chóp

Bài toán 2 Khoảng cách từ một điểm đến mặt đáy của hình chóp.

1 BÀI TOÁN 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT BÊN CỦA HÌNH CHÓP

Dạng 1.1: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp a/ Bài toán: Cho hình chóp S ABCD có đường cao là SH Xác định khoảng

cách từ chân đường cao H đến mặt bên (SBC)

M N

c/ Phương pháp:

* Bước 2:

HK SBC

H

d( ; ( )) 

HI HS

HK   ; HK HI.SinSIH ; HK2 SK IK.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại C , cạnh AB 2a

và góc ABC 60 0 Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  a Tính

theo a khoảng cách từ điểm A đến (SBC)

b/ Phân tích: Đầu tiên, cần lấy một

mp(Q) vuông góc với (SBC)và chứa H :

Xét thấy đã có sẵn SH BC (SBC), để lấy

mp( )Q vuông góc với (SBC), ta chọn lấy

mp(Q) vuông góc với BC Vậy kẻ thêm

một đường thẳng vuông góc với BCvà cắt

SH là có mp(Q)

H

K

C

A

D

B S

I

Hướng dẫn:

* Đã biết A là chân đường cao của hình chóp nên có sẵn SABC, kẻ từ A

đường thẳng vuông góc với BCchính là ACBC, suy ra (SAC) (  SBC)

Xác định (SAC) (  SBC) SC

* Trong mp(SAC), dựng AK  SC tại K , ta được: d(A; (SBC)) AK

Tính AK: Theo giả thiết ta có: ABC vuông tại C, cạnh AB 2avà góc

 60 0

ABC  nên suy ra: AC  a 3 Tam giác SAC vuông tại A có AK là đường cao nên 2 2 2 2 2 2

3

4 3

1 1 1 1 1

a a a AC AS

2

3

a

AK 

Vậy :

2

3 ))

(

; (A SBC a

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC. có đáy lá tam giác đều cạnh bằng a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC, mặt phẳng

SAB tạo với đáy một góc bằng 60 0 Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SAB.

Hướng dẫn:

600

2a

A

S

K

B C

a

M

A

I

S

K

a

600

* Đã có sẵn SH AB, kẻ HK AB ( K là trng điểm BIvới I là trung điểm

AB ) ta được (SHK) (  SAB) Xác định (SHK) (  SAB) SK

* Từ H kẻ HM SK  tại M  HM SAB d H; SAB     HM

Tính HM :

Xác định góc giữa mp(SAB) và mp(ABC) là SKH 60 0

a

HK  CI  , HM HK.sin SKH   3a

8

Vậy ( ;( )) 3

8

a

Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC 60 0 Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và mp( ABCD) bằng 450 Tính

theo a khoảng cách từ A đến mp(SBD)

Hướng dẫn:

Nhận xét: Điểm A là chân đường cao và (SBD) là mặt bên hình chóp S ABD.

* Đã có SABD, trong (ABCD) dựng AI  BD tại I (I là trung điểm của

BD) ta được (SAI)  (SBD) Xác định (SAI) (  SBD) SI

* Trong (SAI) dựng AK  SI tại K suy ra d(A; (SBD)) AK

Tính AK:

+ Xác định góc giữa SC và mp( ABCD) là ACS 45 0

+ ABC là các tam giác đều cạnh a nên AC a 

2

a

AI 

+ SAC vuông tại A và có ACS 45 0suy ra SA AC a 

+Tam giác SAI vuông tại A có AK là đường cao nên

1 2 12 12 42 12 52 5

5

a AK

Vậy : ( ;( )) 5

5

a

I A

K

D C

B

S

a

Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a 2  và

BC a  Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa cạnh bên SC với đáy là 60 0

Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)

Đáp số: d A; SBD     3a 58

29

Bài 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác

SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi I , F lần lượt là trung điểm của AB và AD Tính theo a

a/ khoảng cách từ I đến mp(SCD)

b/ khoảng cách từ I đến mp(SFC)

Đáp số: a/ ( ;( )) 21

7

a

8

2 3 )) (

; (I SFC a

Bài 3 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác vuông tại

B, AB  a, AA' 2a

 Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C', I là giao điểm của AM và A'C Tính theo a khoảng cách từ A đến mp(IBC)

Đáp số:

5

5 2 )) (

; (A IBC a

Dạng 1.2: Khoảng cách từ một điểm khác chân đường cao đến mặt bên của hình chóp.

a/ Bài toán: Cho hình chóp S ABCD có đường cao SH Lấy điểm M

thuộc mặt phẳng đáy sao cho M khác H Tính khoảng cách từ M đến mặt bên (SBC)

(Hình a) (Hình b)

c/ Phương pháp: Áp dụng cho 2 trường hợp sau

K

B

A

C H

S

D

B A

C H

M

I S

Tiến hành dựng MK  BC tại K , được d(M; (SBC)) MK .

khoảng cách từ H” như sau

( ;( ))

có tỷ lệ khoảng cách dễ tìm trước, cuối cùng mới chuyển đến H)

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,AC  2a

 30 0

ACB  Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và SH  a 2 Tính theo a :

a/ Khoảng cách từ B đến mp(SAC)

b/ Khoảng cách từ C đến mp(SAB) [4]

Hướng dẫn: Xét tam giác ABC vuông tại B, ta có: BC  AC.cosACB 

3

a

a/ AB  AC.sinACB a

* Vì (SAC ) SH nên (SAC)  (ABC); (SAC) (  ABC) AC Kẻ BM  AC tại M

suy ra BM  (SAC) Do đó d(B; (SAC)) BM

* Trong ABC: 2 2 2 2 2 3 2

4 3

1 1 1 1 1

a a a BC BA

3

a

BM 

Vậy d(B; (SAC))

2

3

a

b/

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn 10

H

B

S

2a

300

K

I

S

2a

30 0

Xét thấy mp(SAB) không chứa H, do đó để tính d C SAB( ;( )) chuyển về

( ;( ))

d H SAB

* Ta có CH  (SAB) A và CA 2HA d(C; (SAB))  2d(H; (SAB))

* Xác định d(H; (SAB)): Trong ( ABC), kẻ HI  AB tại I (HI // BC) Nối SI Trong (SHI), kẻ HK  SI tại K Ta được d(H; (SAB)) HK

* Tính HK : Xét SHI vuông tại H , HK là đường cao

ta có: 2 2 2 2

6

11 1

1 1

a HS HI

66

a

Vậy: d(C; (SAB))  2HK

11

66

2a

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

D, SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết AB 2a, AD CD a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( ABCD) bằng 45 0 Tính theo a khoảng cách từ điểm B

đến mặt phẳng (SCD)

Hướng dẫn:

* Vì AB //(SCD) nên d(B; (SCD)) d(A; (SCD))

* Gọi H là hình chiếu của A trên SD,

chứng minh được AH là khoảng cách từ A

đến (SCD)

* Từ giả thiết chứng minh được AC  CB,

CB

SC  suy ra góc giữa hai mặt phẳng(SBC)

và ( ABCD) bằng SCA  45 0, tính được SA

* Trong tam giác vuông SAD tính được AH

Đáp số:

3

6 ))

(

; (B SCD a

Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S ABC có độ dài cạnh đáy bằng a 3, độ dài cạnh bên bằng 2a Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm

của SA Tính theo a khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC)

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn 11

45 0

H A

B I

C D

S

2a a

a

C

M

A

H S

2a

Hướng dẫn: G là chân đường cao của hình chóp, nếu “ chuyển trực tiếp

khoảng cách từ M về khoảng cách từ G ” sẽ khó thấy tỷ lệ khoảng cách, vậy ta

chọn chuyển M về A , A về G

* ( ;( )) 1 ( ;( )) 1.3 ( ;( )) 3 ( ;( ))

d M SBC  d A SBC  d G SBC  d G SBC

* Tính d G SBC( ;( )) GH ( Hình vẽ)

2( 3. 3)

AG a a ;

2

a

3

GS SA  AG a

Trong SGI: 1 2 12 12 12 42 132 3 39

a

GH a

GH SG GI  a a  a    Vậy ( ;( )) 3 39

26

a

Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh

bằng a Cạnh bên SA  a 2, SA vuông góc với đáy Gọi G là trọng tâm tam giác SAB Tính theo a

a/ Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD)

b/ Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SAC)

Đáp số: a/ ( ;( )) 6

6

a

b/

6

2 ))

(

; (G SAC a

Bài 2 Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA 3a, 4

BC a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng ( ABC) Biết SB  2a 3

và SBC  30 0 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)

Đáp số:

7

7 6 )) (

; (B SAC a

Bài 3 Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình

chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng ( ABC) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A'C và mặt đáy bằng 60 0.Tính theo a khoảng cách từ điểm

B đến mp(ACC'A')

Đáp số:

13

13 3 )) (

;

A ACC B

2 BÀI TOÁN 2: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT ĐÁY CỦA HÌNH CHÓP

a/Bài toán: Cho hình chópS ABCDcó đường cao SH lấy điểm M bất kỳ thuộc mặt (SBC) sao cho M không trùng với các điểmS,B,C Xác định khoảng cách từ điểmM đến mặt đáy ( ABCD)

b/ Phân tích: Đã biết d S ABCD( ;( )) SH nên để xác định d(M; (ABCD))ta dựa vào d S ABCD( ;( )) SH

c/ Phương pháp:

mà

( ;( ))

S

C

A

D

B H

M

I N

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCDcó cạnh đáy bằng a 2, cạnh bên bằng a 3 Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, tính khoảng cách từ G đến mp

)

( ABCD

Hướng dẫn:

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD Do S ABCD là hình chóp tứ giác đều

nên SO  ( ABCD)

+ Nối SG cắt BC tại N ( N là trung điểm của BC) Vì GN SN

3

1

 nên

+ Ta có: SB a 3, 2 2

Vậy

3

2 ))

(

; (G ABCD a

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB  a, góc giữa đường thẳng A'C và mp( ABC) bằng 45 0 Gọi G là trọng tâm của tam giác

BC

A' Tính khoảng cách từ G đến mp( ABC)

C

G

P N S

45 0

C’

I

G’

C

G

a

Hướng dẫn:

+ Xét thấy ( ABC) là mặt đáy của hình chóp A ' ABC với đường cao A'A + Ta có G thuộc trung tuyến A I' của A BC' và GI A'I

3

1

'

1 ( ;( )

3

+ Tính A A' : Góc giữa A'C và ( ABC) là góc ACA' suy ra ACA ' 45 0

Vì ACA ' 45 0 nên cạnh A'AACABa

Vậy : d(G; (ABC)) a3

Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Tam giác

SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi G là trọng tâm tam giác SCD Tính theo a khoảng cách từ G đến mp( ABCD)

Đáp số: ( ;( )) 3

6

a

Bài 2 Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật, biết diện tích đáy bằng 2a2,AD a ,SAB là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm của SC Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ABCD)

6

a

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Tôi áp dụng phương pháp trên ở 2 nhóm học sinh có học lực môn Toán học tương đương nhau thông qua việc, kiểm tra 15 phút, kiểm tra 1 tiết, kết quả thu được như sau:

- Nhóm không sử dụng phương pháp trên (nhóm đối chứng):

- Nhóm thực nghiệm (có sử dụng phương pháp mới)

Lớp Sĩ số Số lượngĐạt yêu cầu% Số lượng Không đạt yêu cầu%

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:

1 Đề tài đã chỉ ra được cách khắc phục khó khăn trong việc áp dụng kiến thức hình không gian của một lớp đối tượng học sinh vào giải các bài toán về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

2 Đề tài đã chỉ ra hướng đi nhằm đơn giản các đơn vị kiến làm cho học sinh tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng hơn, dễ hiểu hơn

3 Đề tài được dùng trong những tiết luyện tập để nâng cao kết quả hoạt động giáo dục

4 Thông qua việc tìm ra bài toán gốc, việc tổng quát bài toán, việc tạo ra bài toán mới, dần dần hình thành cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần phương pháp mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin, hứng thú khi học tập bộ môn

3.2 Kiến nghị

Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng trong giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinh học tập tốt hơn Xong chắc chắn còn phải tiếp tục được hoàn thiện, bổ sung thêm Vậy tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các đồng nghiệp

Tôi x in chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hoá, ngày 19 tháng 05 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung

của người khác

(Ký và ghi rõ họ tên)

Trần Thị Vân