giá trị của một cung lượng giác

LƯỢNG GIÁCCHUYÊN ĐỀ 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG § 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC CUNG LƯỢNG GIÁC A.. Giá trị lượng giác của góccung lượng giác.. a Đường tròn lượng giác: Đường tròn

LƯỢNG GIÁC

CHUYÊN ĐỀ 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1 Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác.

a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng và trên đó chọn

điểm A làm gốc

b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA OM, ) = gọi làa

điểm xác định bởi số a (hay bởi cung a , hay bởi góc a ) Điểm M

còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung(góc)

lượng giác có số đo a

Nhận xét: Ứng với mỗi số thực a có một điểm nằm trên đường tròn

lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số Tuy nhiên,

mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số thực Các số thực

có dạng là a +k2 ,p k � Z

d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ

gắn với đường tròn lượng giác Với mỗi góc lượng giác (Ou Ov có, )

số đo a , xác định điểm M x y trên đường tròn lượng giác sao cho sđ Khi đó ta định nghĩa ( ; )

cosa =x, sina =y

sin

tan

a

�

= �� � + ��

�

cos

cot

a

a

Ý nghĩa hình học: Gọi ,K H lần lượt là hình chiếu của M lên trục , Ox Oy Vẽ trục số At gốc A cùng

hướng với trục Oy và vẽ trục số Bs gốc B cùng hướng với trục Ox , gọi , T S lần lượt là giao điểm của

đường thẳng OM cắt với các trục sô At Bs Khi đó ta có:,

sina =OH, cosa =OK,tana =AT,cota =BS

e) Tính chất:

 sin ,cosa a xác định với mọi giá trị của a và 1 sin- � a � -1, 1�cosa � 1

 tana được xác định khi

2 k

p

a � + p , cota xác định khi a �k p

 sina =sin(a+k2 ,cosp) a =cos(a+k2p)

tana = tan(a +k p),cota = cot(a +k p)

f) Dấu của các giá trị lượng giác:

Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác

Bảng xét dấu Phần tư

6

Chương

cot + – + –

g) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

p

4

p

3

p

2

3

4

2

p

2p

00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600

sina

2

2 2

3

3 2

2

cosa

2

2 2

1

1 2

2

tana

cota

3 3

2 Các hệ thức lượng giác cơ bản

2

2 2

2

1) sin cos 1

1

2 cos

1

sin 4)tan cot 1( )

2

k k k

p

a

a p

3 Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt.

Góc đối nhau ( a và a- ) Góc bù nhau( a và p- a) Góc phụ nhau( a và

2

cos(- a) =cosa sin(p- a) =sina sin cos

2

� - �=

sin(- a)= - sina cos(p- a)= - cosa cos sin

2

� - �=

tan(- a)= - tana tan(p- a)= - tana tan cot

2

p

� - �=

cot(- a)= - cota cot(p- a)= - cota cot tan

2

� - �=

Góc hơn kém p (a và p+ )a Góc hơn kém

2

p

(a và

2

p a

+ )

sin(p+a) = - sina sin cos

2

p

� + �=

cos(p+a)= - cosa cos sin

2

p

� + �=

tan(p+a)=tana tan cot

2

p

� + �=

2

� + �=

Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo hơn kém p tang côtang,

hơn kém

2

p

chéo sin" Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối

6

 là

3

Lời giải Chọn B

6

o

t 6

  ��  �� � �� �     

định

Lời giải Chọn B

Biến đổi tan180otan 0 o180o tan 0o0

2 a

   Kết quả đúng là

A sina , cos0 a B sin0 a , cos0 a 0 C sina ,0 cosa 0 D sina , cos0 a 0

Lời giải Chọn C

Vì

2 a

  

sina0

� , cosa 0

2

   Kết quả đúng là

A tana , cot0 a 0 B tana , cot0 a 0

C tana , cot0 a 0 D tana , cot0 a 0

Lời giải Chọn A

2

   �tana0, cota 0

sin

cos

– sin

– cos

Lời giải Chọn A

1– sin2 .cot2 1– cot2 

A x x x cot2 xcos2x 1 cot2x sin x2

A sin 180 – 0 a – cosa B sin 180 – 0 a  sina

C sin180 –0 a sina D sin180 –0 a cosa.

Lời giải

Chọn C.

Theo công thức



�  �



�  �

C tan cot



�  �



�  �

Lời giải Chọn D.

cos 750 sin 420 sin 330 cos 390

A 3  3 B 2 3 3 C 2 3

3 1 . D

1 3 3



Lời giải Chọn A.

cos30 sin 60 2 3

3 3 sin 30 cos30 1 3

 �  � �  � �  � �  �

Lời giải Chọn A

sin cos sin cos

Lời giải Chọn D

cot1458�cot 4.360� �18 cot18� 5 2 5

A 0,7 B 4

2

Lời giải Chọn A

Vì 1 sin �  � Nên ta chọn A 1

A sin2 cos2  1 B 2

2

1





2

1



2

k k



   �� � � ��

Lời giải Chọn D

D sai vì : tan cot 1 ,

2

k k



   �� � � ��

Câu 13. Cho biết tan 1

2

  Tính cot

A cot  2 B cot 1

4

  C cot 1

2

  D cot  2

Lời giải Chọn A

Ta có : tan cot  1

1 tan

2





�

5

  và

2

    Giá trị của cos là :

A 4

5

5

25

Lời giải Chọn B

Ta có : sin2cos2 1 2 2 9 16

cos =1 sin 1

25 25

�

4 cos

5 4 cos

5





�

� �

�

Vì

2

    cos 4

5

  

5

90   180 Giá trị của biểu thức cot 2 tan

tan 3cot





 là :

A 2

57

57



Lời giải Chọn B

cos =1 sin 1

25 25

�

4 cos

5 4 cos

5





�

� �

�  

�

Vì 900   1800 cos 4

5

  

4

   và cot 4

3

  

2

� �

  � �

   � �� �

� �

sin cos





 là :

3

Lời giải Chọn C

3sin cos 3tan 1

7 sin cos tan 1

A sin 1 và cos 1 B sin 1

2

  và cos 3

2

  

C sin 1

2

  và cos 1

2

   D sin  3 và cos  0

Lời giải Chọn B

B đúng vì:

2 2

  � �� � �� � � �� ���� .

5

  với 0

2





  Tính sin

A sin 1

5

5

   C sin 3

5

5

  �

Lời giải Chọn C

Ta có:

2

sin 1 cos 1

5 25

     � �� �

� �

3 sin

5

 

Do 0

2





  nên sin  Suy ra, 0 sin 3

5

 

A  k k��  B  k2 k�� 



    �� D     k2 k�� 

Lời giải Chọn C

Ta có: cos 1 2

2 k



   

Lời giải Chọn C.

2 cos cos

A sin cos

C sinA B  sinC D cosA B  cosC

Lời giải Chọn D

2



A Acosas ni a B A2sina C Asina–cosa D A 0

Lời giải Chọn D.

2

� � Asinsin  0

Câu 23. Rút gọn biểu thức  0 0

0

sin 234 cos 216

.tan 36 sin144 cos126



Lời giải Chọn C.

0

sin 234 sin126

.tan 36 cos54 cos126

0

2cos180 sin 54

.tan 36 2sin 90 sin 36

�

 

0 0

1.sin 54 sin 36

cos36 1sin 36

�

0

cot 44 tan 226 cos 406

cot 72 cot18 cos316

bằng

2

2

Lời giải Chọn B.

 0 0 0

0

cot 44 tan 46 cos 46

cot 72 tan 72 cos 44

0

2cot 44 cos 46

1 cos 44

13 –12

  và

2

    Giá trị của sin và tan lần lượt là

A 5

13

 ; 2

3; 5 12

13

 ; 5

12 D 5

13; 5 12



Lời giải Chọn D

Do

2

    nên sin 0 Từ đó ta có

2

sin 1 cos 1

13 169

      �� ��

5 sin

13

 

�

tan

cos 12







A 3 5

5

2

Lời giải Chọn A

Do 180o  270o nên sin 0 và cos 0 Từ đó

2

1

1 tan 5

cos

5

 

5

  

sin tan cos 2

     �� �� 

Như vậy, cos sin 2 1 3 5

5

      

cos cot 3cos – cot 2sin

D x x x x x không phụ thuộc x và bằng

A 2 B –2 C 3 D –3

Lời giải Chọn A

cos cot 3cos – cot 2sin

D x x x x x cos2x 2 cot2 xcos2x1

cos x 2 cot sinx x

   cos2x 2 cos2x 2

2

x Giá trị biểu thức 2 2 2

sin sin cos cos

A



Lời giải Chọn C

 2 

2

1

2 1 cot

10

1 1 sin sin cos cos 1 cot cot 1 cot cot 1

2 4

x x

A

� �

 

sin 328 sin 958 cos 508 cos 1022

Lời giải Chọn A

     

 

sin 328 sin 958 cos 508 cos 1022



sin 32 sin 58 cos32 cos58 cot 32 tan 32

�

sin 32 cos32 cos32 sin 32

sin 32 cos 32 1

cot 32 tan 32

2

có kết quả thu gọn bằng :

A sin B sin C cos . D cos

Lời giải Chọn B

cos 26 2sin 7 cos 1,5 cos 2003 cos 1,5 cot 8

2

5

   với 3 2

2    Khi đó :

A sin 4

41

   , cos 5

41

41

  , cos 5

41

  .

C sin 4

41

41

41

  , cos 5

41

   .

Lời giải Chọn C

2

2

1

1 tan

cos





25 cos 

cos  25

cos

41

 

41

 

2 2 25 16

sin 1 cos 1

41 41

41

 

3

2

2   

5 cos 0 cos

41 4 sin 0 sin

41

�

�

�

cos15

2



 Giá trị của tan15 bằng :

2

4



Lời giải

Chọn C

 2

cos 15 2 3

 �tan150  2 3

 

sin 515 cos 475 cot 222 cot 408 cot 415 cot 505 tan197 tan 73



A 1 2 0

sin 25

cos 55

cos 25

sin 65

Lời giải Chọn C

 

sin155 cos115 cot 42 cot 48 cot 55 cot 145 tan17 cot17

sin 25 sin 25 cot 42 tan 42

cot 55 tan 55 1



�



sin 25 1 2

�

cos 25 2

A

sin cos

x x

A

x





A Acosxsinx B Acos – sinx x C Asin – cosx x D A sin – cosx x

Lời giải Chọn B

Ta có 2cos2 1 2cos2 sin2 cos2  cos2 sin2

A

cos sin sin cos

 Như vậy, Acos – sinx x

2 s

    Trong các kết quả sau, kết quả nào sai ?

A sin cos –1

4

2 s

   �

sin cos

8

tan  cot  12

Lời giải Chọn D

Ta có sin co 2

2 s

2 s

  

2

4

   

�

sin cos 1 2sin cos 1 2

        � �

� �

6 sin cos

2

  

� �

2

7

4



�

� �

� �

� � Như vậy, 2 2

tan  cot  12 là kết quả sai

sin cos 3sin cos

A A–1 B A 1 C A 4 D A–4

Lời giải Chọn B

sin cos 3sin cos sin cos 3sin cos

sin2x cos2x3 3sin cos2x 2xsin2x cos2x 3sin2 xcos2x 1

4 tan 4sin cos

x



4



Lời giải Chọn B

4 tan 4sin cos 4 tan 4 tan cos

�

�



 2  2 2  2 2  2 2 2



2

2

4 tan

1

4 tan

x x



cos sin

cot cot sin sin



  không phụ thuộc vào , x y và bằng

Lời giải Chọn D

Ta có

cot cot

 

cos 1 cos sin cos sin sin sin cos 1

1

2 sin cos sin cos – sin cos

C x x x x x x có giá trị không đổi

và bằng

Lời giải Chọn C

2 sin cos sin cos – sin cos

 2 2  2

4

2 sin� x cos x sin xcos x� �– sin x cos x 2sin xcos x�

 2

2

2 1 sin� xcos x�– sin� x cos x 2sin xcos x� 2sin xcos x



2 2

2 1 sin� xcos x� �– 2 xcos x� 2sin xcos x

 2 2 4 4   2 2 4 4  4 4

1

A tan tan tan tan

cot cot

2

2

1 sin 1 sin

4 tan

1 sin 1 sin

a

C

2

2

cos sin cos sin 1 cot



sin cos 2 cos

1 cos sin cos 1

Lời giải Chọn D

A đúng vì

tan tan

tan tan

tan tany

x





B đúng vì

2

1 sin 1 sin

C đúng vì sin22 cos22 sin22 cos22 1 cot22

cos sin sin cos 1 cot

3sin 2cos

81

x x thì giá trị biểu thức A2sin4x3cos4x bằng

A 101

81 hay 601

504 B 103

81 hay 603

405 C 105

81 hay 605

504 D 107

81 hay 607

405

Lời giải Chọn D

Ta có 4 4 98

sin cos

81

x x A cos 2 98

81

x A 

�

 4 4  98

5 sin cos

81

1 sin 2

2

cos 2

2

Đặt 98

81

0

5 405

�

13 45 1 9

t t

�

�

� �

�

�

+) 1 107

2

x x thì 3sinx2cosx bằng

A 5 7

4

 hay 5 7

4

7

5 5

4

 .

C 2 3

5

 hay 2 3

5

5

3 2

5

Lời giải Chọn A

4

8

�

Khi đó sin ,cosx x là nghiệm của phương trình 2 1 3

0

1 7 sin

4

1 7 sin

4

x x

�

�

�

�

�

Ta có sin cos 1 2 sin cos  1

2

+) Với sin 1 7

4

3sin 2cos

4

�

+) Với sin 1 7 3sin 2cos 5 7

a c



 Giá trị của biểu thức A a cos2x2 sin cosb x x c sin2x bằng

Lời giải Chọn B

cos 2 sin cos sin

cos

A

�

1 tan2  2 tan tan2

�

A



�

A

�

   

 thì biểu thức

sin cos

A

A  2

1

1

1

1

Lời giải Chọn C



 2 2

a b

�



a b

�

a b

�



a b t 2 22b a b t b    2 0

a b



�



� � � � nhận giá trị bằng :

Lời giải Chọn C

9 cos + cos cos

A��  �� ���� �� ��  �� �� ����

2cos 2cos cos 2cos cos cos

9

10

bằng

Lời giải Chọn A

1 cos 1 cos 1 cos 1 cos

A

     2 12��cos4 cos34 cos54 cos74��

2sin 2550 cos 188 1

tan 368 2cos 638 cos98





Lời giải Chọn D

 

2sin 2550 cos 188 1

tan 368 2 cos 638 cos98



         

2sin 30 7.360 cos 8 180 1

tan 8 360 2cos 82 2.360 cos 90 8

�

1 2sin 30 cos8 tan 8 2cos82 sin 8

�



 

1 2sin 30 cos8 tan 8 2cos 90 8 sin 8

�

1 2sin 30 cos8 tan 8 2sin 8 sin 8

�

 0

0

1.cos8 cot 8 cot 8 cot 8 0

sin 8

 I cos sin

B C  A  II tan tan 1

A B C   III cosA B C – – cos 2C  0 Mệnh đề đúng là :

A Chỉ  I B  II và  III C  I và  II D Chỉ  III

Lời giải Chọn C

+) Ta có: A B C   � B C   A

B C   A

�

 I cos cos sin

� � �  �

� � � � nên I đúng

+) Tương tự ta có:

A B   C

� � tan 2 .tan 2 cot tan2 2 1

� nên  II đúng

+) Ta có

2

A B C    C �cosA B C   cos2C  cos 2 C

�

nên  III sai

2

    Khi đó giá trị tan cot

  

bằng :

A 2 19 B 2 19 C  19 D 19

Lời giải Chọn A

2 2

1

1 cot 1 18 19

sin

19

 

19

 

Vì

2

    �sin 0 sin 1

19

 

�

Suy ra



cot cos



 bằng :

A tan a 6 B cos a 6 C tan a 4 D sin a 6

Lời giải Chọn A

2 2

tan sin

cot cos

A







2

2

6 2

2 2

1

tan tan

sin

a

a

a a

�