LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC của góc (CUNG) LƯỢNG GIÁC (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

5 DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC.. 8 DẠNG TOÁN 2 : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁ

1

§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC 2

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 2

1 Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác 2

a) Đường tròn lượng giác: 2

b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác 2

d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: 2

e) Tính chất: 3

f) Dấu của các giá trị lượng giác: 3

g) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 3

2 Các hệ thức lượng giác cơ bản 4

3 Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt 4

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 5

DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC 5

1 Phương pháp giải 5

2 Các ví dụ minh họa 6

3 Bài tập luyện tập 8

DẠNG TOÁN 2 : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC 10

1 Phương pháp giải 10

2 Các ví dụ minh họa 10

3 Bài tập luyện tập: 13

2

DẠNG TOÁN 3 : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH

BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC GÓC x , ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC 19

1 Phương pháp giải 19

2 Các ví dụ minh họa 19

3 Bài tập luyên tập 24

DẠNG TOÁN 4 : TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 29

1 Phương pháp giải 29

2 Các ví dụ minh họa 29

3 Bài tập luyện tập 34

§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác

a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn

đơn vị, định hướng và trên đó chọn điểm A làm gốc

b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng

giác

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA OM, )= a gọi

là điểm xác định bởi số a (hay bởi cung a , hay bởi góc a )

Điểm M còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu

diễn cung(góc) lượng giác có số đo a

Nhận xét: Ứng với mỗi số thực a có một điểm nằm trên đường

tròn lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số

Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số

thực Các số thực có dạng là a+ k2 ,p k ZÎ

d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ gắn với đường tròn

lượng giác Với mỗi góc lượng giác (Ou Ov, ) có số đo a , xác định điểm M x y( ; ) trên

x

s S

T B

M(x;y)

K H

Ý nghĩa hình học: Gọi ,K H lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox Oy Vẽ trục số ,

At gốc A cùng hướng với trục Oy và vẽ trục số Bs gốc B cùng hướng với trục Ox ,

gọi ,T S lần lượt là giao điểm của đường thẳng OM cắt với các trục sô At Bs Khi đó ta ,có:

sina = OH, cosa = OK,tana = AT,cota = BS

e) Tính chất:

• sin ,cosa a xác định với mọi giá trị của a và - £1 sina£ 1, 1 cos- £ a£ 1

• tan a được xác định khi

p

a ¹ + p, cot a xác định khia¹ k p

• sina = sin(a+ k2p),cosa = cos(a+ k2p)

tana = tan(a+ k p),cota = cot(a+ k p)

f) Dấu của các giá trị lượng giác:

Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác

Bảng xét dấu

Phần tư Giá trị lượng giác

32

1

12

3 Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt

Góc đối nhau (a và - a ) Góc bù nhau(a và p- a)

Góc phụ nhau(a và

2

p a

Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo hơn kém

p tang côtang, hơn kém

2

p

chéo sin" Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

1 Phương pháp giải

Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử dụng các kết quả sau

• Góc a và góc a+ k2 ,p k ZÎ có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác

• Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng k2

360= 3 Ta chia đường tròn thành ba phần bằng nhau

Khi đó điểm M2 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 120 0

360= 8 Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm )

Khi đó điểm M3(điểm chính giữa cung nhỏ AB¼') là điểm biểu diễn bởi góc có số đo

0

765

Ví dụ 2 : Trên đường tròn lượng giác gốc A Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau

(với k là số nguyên tùy ý)

x y

B' A'

B

A O

M1

M2

M3

x = p do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x1= kp

Với k= Þ0 x1= 0 được biểu diễn bởi điêm A

3

k= Þ x = p được biểu diễn bởi M4

• Do các góc lượng giác x x x1, 2, 3 được biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều

360= 8 Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau

Khi đó điểm M2 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo - 450

d) Ta có 7650= 450+ 2.3600 do đó điểm biểu diễn bởi góc 765 trùng với góc 0 45 0

360= 8 Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau

Khi đó điểm M3(điểm chính giữa cung nhỏ AB» ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo

9

x y

k= Þ x= p được biểu diễn bởi M4

Vậy góc lượng giác có số đo là

x= p+ k p được biểu diễn bởi đỉnh của hình vuông

M M M M

Bài 6.8: Trên đường tròn lượng giác gốc A Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau

(với k là số nguyên tùy ý)

Bài 6.8: Các góc lượng giác x1= kp được biểu diễn bởi hai điểm là A và A' trên đường

tròn lượng giác Các góc lượng giác 2

2

x = p + k p được biểu diễn bởi hai điểm là B và B'

trên đường tròn lượng giác

1 Phương pháp giải

• Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác

• Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt

• Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt

• Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) sin7 cos 9 tan( 5 ) cot7

tan 8 360 2 cos 90 8 2.360 cos 90 8

B

-

c) Vì 250+650= 900Þ sin650= cos 250 do đó

Các bài tập sau đây đều không sử dụng máy tính bỏ túi

Bài 6.9: Tính giá trị các biểu thức sau:

Bài 6.10: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 5sin2 151 3cos2 85 4 tan2193 7 cot2 37

16

Bài 6.11: a) A = sin 50 cos( 3600 - 0+ 60 )0 = sin 50 cos 600 0> 0

b) sin 180( 0 35 tan 30) sin 35 tan0 0

< < Xét dấu của các biểu thức sau:

Bài 6.14: Cho tam giác ABC có góc A tù Xét dấu của các biểu thức sau:

a) M= sinA+sinB+sinC

A M > 0 B M £ 0 C M ³ 0 D M < 0

b) N= cos cos cosA B C

19

DẠNG TOÁN 3 : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU

1 Phương pháp giải

Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng tính

chất của giá trị lượng giác để biến đổi

+ Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng khác

+ Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc x hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm

xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu

để rút gọn cho nhau

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) cos4x+ 2sin2x= 1 sin+ 4x

b) sin 3cos cot3 cot2 cot 1

20

x

VT= x+ + x x+ = cot3x+cot2x+cotx+ =1 VP ĐPCM

Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

A p x æç p xö÷ æç p xö÷ p x

= - - ççè + ÷÷ø+ ççè - ÷÷ø+

cot(3p - x)= cot - x = - cotx

Suy ra A= - cosx- -( cosx)+ cotx+ -( cotx)= 0

2 cos1

21

-Vậy B không phụ thuộc vào x

c) C= (1 cos- 2x)2+ 6 cos2x+ 3cos4x+ (1 sin- 2x)2+ 6 sin2x+ 3sin4x

Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa

Bài 6.15: Rút gọn các biểu thức sau:

2

A= æççp + xö÷÷+ p- x + p+ x

÷

çè ø

A sinx- B cos x C 1 D 2cos x-

b) 2 cos 3 cos( ) 5 sin 7 cot 3

Bài 6.15: a) A= - sinx+cosx- cosx= - sinx

b) B= 2cosx+3cosx- 5cosx+tanx= tanx

c) C= 2cosx+ sinx- cosx- sinx= cosx

25

d)

2sin sin tan

tancos cos tan

-Bài 6.16: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) tan2x- sin2x= tan2x.sin2x

tan x.cos x tan x.sin x tan x sin x

-Bài 6.18: Rút gọn biểu thức sau:

a) (tana+ cot )a 2- (tana- cot )a 2

A sinx- B 4 C - tan x2 D 2cos x-

b) 2(sin6a + cos6a) 3(sin- 4a+ cos4a)

A sinx- B -1 C - tan x2 D 2cos x-

c) cot 30 (sin2 0 8a- cos8a)+ 4 cos 60 (cos0 6a- sin6a) sin (90- 6 0- a) tan( 2a- 1)3

A.0 B cos x C - tan x2 D 2cos x-

28

d) (sin4a+ cos4a- 1)(tan2a + cot2a+ 2)

Lời giải :

(tana+ cot )a - (tana- cot )a = 4

b) 2(sin6a + cos6a) 3(sin- 4a+ cos4a)= 2 1 3sin( - 2 x.cos2x)- 3 1 2 sin( - 2x.cos2x)= - 1

c) cot 30 (sin2 0 8a- cos8a)+ 4 cos 60 (cos0 6a- sin6a) sin (90- 6 0- a) tan( 2a- 1)3

d) (sin4a+ cos4a- 1)(tan2a+ cot2a+ 2)= - 2

Bài 6.19: Cho tam giác ABC Hãy rút gọn

• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại sô

Vì tan a , cot a cùng dấu và tana+ cota< 0 nên tana< 0, cota< 0

Do đó cota = - 2 6 Ta lại có tan 1 1

b) Cho tana = 3 Tính 3 sin 3cos

33

a) Ta có

2 2

2

11

++

+

++

sinx+ cosx = sin x+ 2 sin cosx x+ cos x= 1 2 sin cos+ x x (*)

Mặt khác sinx+cosx= m nên m2= 1 2sin cos+ a a hay

B

C sin 2 , tan 2, cot 1

25

D sin 2 , tan 2, cot 1

25