TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY QUANH OX

Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hoành.. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục hoành.. Tính thể tích khối t

Trang 1

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG III CHỦ ĐỀ 3.3 Thể tích vật thể tròn xoay quay quanh Ox.

MỨC ĐỘ 3

Câu 1 [2D3-3.3-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng

giới hạn bởi các đường 2

x

y e= x, x=1,x=2 và y=0 quanh trục Ox là:

A π(e2 −e) B πe2 C π(e2 +e) D πe

Hướng dẫn giải

Chọn B.

2

1

x

1 ( x e x e x) e

Câu 2 [2D3-3.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường

ln , 0,

y x= x y = x e= Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( )H quanh

trục hoành

A (5 3 2)

27

e

= B (5 3 2)

18

e

= C (5 3 2)

27

e

= D (5 2 2)

18

e

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y x= ln ;x y =0 là: x=1

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là ( )2

1 ln

e

V =π∫ x x dx

Đặt

2

3 2

2ln ln

3

x du

dx x

dv x dx v

 =



 =

=



1

e

I =∫ x x dx= − ∫x xdx − I

3

dx du

v

 =



=

⇒



Ta có

e

Vậy (5 3 2)

27

e

Câu 3 [2D3-3.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Cho hình thang

3 : 0 1

=



 =



 =



 =



y x S

x x

Tính thể tích vật thể

tròn xoay khi nó xoay quanh Ox

3

π

2 8 3

π .

Chọn B.

Giải: Xét hình thang giới hạn bởi các đường: y=3 ;x y x= ; x=0; x=1.

Trang 2

Ta có: 1( )2 1( )2

8 3

3

Câu 4 [2D3-3.3-3] [BTN 164] Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường

tan

y= x, y=0, x=0,

3

x π

= quay quanh trục Ox tạo thành là:

3

π − . D (3 3 )

3

π −π

Chọn D.

Áp dụng công thức để tính 2d

b x a

V =π∫y x theo đó thể tích cần tìm là:

0

3

x

π π

3

x

V =π −π

(đvdt)

Câu 5 [2D3-3.3-3] [BTN 163] Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x x− 2 và Ox

Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H xung quanh trục hoành.

A 16

15

V = π

15

V = π

Chọn B.

PTHĐGĐ: 2x x− 2 = ⇔ = ∪ =0 x 0 x 2

V =π x x− x=π − +x  = π

Câu 6 [2D3-3.3-3] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2] Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình

phẳng giới hạn bởi 12 2

x

y x e= , x=1, x=2, y=0 quanh trục Ox là V =π(a be+ 2) (đvtt)

Tính giá trị biểu thức a b+

Chọn D.

Ta có:

2

1 dx

V =π∫x e x

1 1 d

V =π xe − e x÷

 ∫  ( ( ) 2 2) 2

1 1

Vậy a=0;b=1 nên a b+ =1

Câu 7 [2D3-3.3-3] [BTN 173] Ký hiệu ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

1

y= x − , trục hoành và đường thẳng x=3 Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình

Trang 3

A 22

3

V = π

3

V = π

3

V =

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm

2

x − = ⇔ = ±x Khi đó

2

20 1

x

V =π x − dx=π −x = π

Câu 8 [2D3-3.3-3] [TT Hiếu Học Minh Châu] Cho hàm bậc hai y= f x( ) có đồ thị như hình bên

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

( )

y= f x và Ox quanh Ox

A 16

15

π

B 12

15

3

π

D 16

5

π

Chọn A.

Căn cứ vào đồ thị ta xác định được f x( ) = − +x2 2x

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y= f x( ) và trục Ox là x=0 và x=2

Thể tích khối tròn xoay là 2( 2 )2

0

16

2 d

15

V =π x − x x= π

Câu 9 [2D3-3.3-3] [Chuyên ĐH Vinh] Cho hàm bậc hai y= f x( ) có đồ thị như hình bên Tính thể

tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ) và Ox quanh Ox

Trang 4

A 12

15

π

15

π

5

π

3

π

Chọn B.

Hoành độ giao điểm của f x và Ox là ( ) x=0 và x=2

0

16

15

V =π x − x x= π

Câu 10 [2D3-3.3-3] [THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT] Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình

phẳng giới hạn bởi các đường 2

1

y x= + ,

0

x= và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x= 2+1 tại điểm A( )1; 2 xung quanh trục Ox là.

A

2

π

5

π

15

π

Chọn C.

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2

1

y x= + tại điểm A( )1; 2 là y=2x

 Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

V =π x + − x x=π x − x + x=π x − x + x=π − +x = π

Câu 11 [2D3-3.3-3] [THPT CHUYÊN VINH]Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình

phẳng giới hạn bởi các đường y=0, y x= ln(x+1) và x=1 xung quanh trục Ox

18

V = π

18

C (12ln 2 5)

6

V = π

Chọn B.

Giải phương trình: x ln(x+ = ⇒ =1) 0 x 0

18

Trang 5

Câu 12 [2D3-3.3-3] [SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH L2] Tích phân

3

2 2

2 (4 x ) dx

π∫ − dùng để tính một trong bốn đại lượng sau, đó là đại lượng nào?

A Thể tích khối tròn xoay khi quay hình ( )H giới hạn bởi các đường y 4= −x2; y 0;= x=3 quanh trục Ox

B Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 2

y (4= −x ) ;x=2;x=3

C Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 2

y (4= −x ) ;x=3;y=0

D Thể tích khối tròn xoay khi quay hình ( )H giới hạn bởi các đường

2

y 4= −x ; y 0;= x=3;x=2; quanh trục Ox

Chọn D.

Câu 13 [2D3-3.3-3] [SỞ GD ĐT HÀ TĨNH] Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=tanx, trục

hoành và hai đường thẳngx=0,x a= với a (0; )

2

π

∈ Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay

hình phẳng này xung quanh trục Ox là.

A −π(a tana− ) B −πln(cos )a C π −(a tana) D ln(cos )π a

Chọn A.

2

1

a

cos x

Câu 14 [2D3-3.3-3] [THPT LƯƠNG TÀI 2] Kí hiệu ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

4 2.ln

y= x+ x , trục hoành và đường thẳng x e= Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H xung quanh trục Ox

A V =(e2+ −2e 5)π B (e2+ −6e 5)π C e2+ −6e 5 D e2+ −2e 5

Chọn A.

4x+2.lnx= ⇔ =0 x 1, ( )2 ( ) 2

V =π∫ x+ x x=π∫ x+ x x

Trang 6

đặt

1

2ln

.dv 4 2 d

e e

x



1 2

1

ln

2

e e

 =



=



1

V = −π e+π x + x =π e + −e .

Câu 15 [2D3-3.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 04] Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường

1

y= x− , trục hoành và x= 4 Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H

quanh trục Ox là:

A 7

6

π

6

3

π

Chọn A.

PTHĐGĐ: x− = ⇔ = 1 0 x 1(x≥ 0)

4

3

H

x

Câu 16 [2D3-3.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 03] Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường x,

y e=

– x

y e= và x = 1 Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành là.

e e p

2 2

e e p

-

C

2 2

e e p

2 2

e e p

Chọn B.

Hoành độ giao điểm của y e= x và y e= – x là x=0

0( x x)

V =π ∫ e −e− dx 2 2 1

0

Câu 17 [2D3-3.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 01] Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi các đường

2 1

y x= + và y=4x−2 Khi đó thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng ( )H

quanh trục Ox là:

A 224

3

π

3

π

15

π

Chọn A.

3

x

=

 + = − ⇔ − + = ⇔  = 3( ( ) ( ) )

2

1

224

15

V =π∫ x− − x + x= π.

Trang 7

Câu 18 [2D3-3.3-3] [TT Tân Hồng Phong] Cho ( )H là hình phẳng giới hạn bởi các đường

( )C1 :y= x, ( )d :y= −2 x và trục hoành Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi

cho ( )H quay quanh Ox

A 11

6

V = π

6

V = π

3

V = π

6

V = π

Chọn A.

Xét phương trình:

2 2

2

1

x x

x

≤



≤



= − ⇔ ⇔ =



Thể tích của khối tròn xoay cần tìm là 1 ( )2 1 2

ox

V =π∫ −x −x x=π∫ x − x+ x

1

0

ox

Câu 19 [2D3-3.3-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng

giới hạn bởi các đường 2

x

y e= x, x=1,x=2 và y=0 quanh trục Ox là:

A π(e2 −e) B πe2 C π(e2 +e) D πe

Chọn B.

2

1

x

1 ( x x)

Câu 20 [2D3-3.3-3] [THPT Hoàng Văn Thụ - Khánh Hòa] Tính thể tích V của vật thể tròn xoay

sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x= lnx, trục hoành và đường thẳng

x e= quay quanh Ox .

A 2 3 1

9

e

V = + π B 2 3 1

9

e

V = − π C 2 3 1

3

e

V = + π D 2 3 1

3

e

V = − π

Chọn A.

Xét phương trình

ln 0

x x = (đk: x≥1)

1

x

⇔ =

V =π∫ x x x=π∫x x x

2

1

3

x x

v x x v

 = ⇒ =





 = ⇒ =



Vậy

2

V =π x x x=π x− x÷÷= + π

Trang 8

Câu 21 [2D3-3.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường

ln , 0,

y x= x y = x e= Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( )H quanh

trục hoành

27

e

18

e

27

e

18

e

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y x= ln ;x y =0 là: x=1

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là ( )2

1 ln

e

V =π∫ x x dx

Đặt

2

3 2

2ln ln

3

x du

dx x

dv x dx

v

 =



 =

=



1

e

I =∫ x x dx= − ∫x xdx − I

3

dx du

v

 =



=

⇒



Ta có

e

Vậy (5 3 2)

27

e

Câu 22 [2D3-3.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Cho hình thang

3 : 0 1

=



 =



 =



 =



y x S

x x

Tính thể tích vật thể

tròn xoay khi nó xoay quanh Ox

A 2

3

π

2 8 3

π .

Chọn B.

Giải: Xét hình thang giới hạn bởi các đường: y=3 ;x y x= ; x=0; x=1.

Ta có: 1( )2 1( )2

8 3

3

Câu 23 [2D3-3.3-3] [THPT Ng.T.Minh Khai(K.H)] Kí hiệu ( )H là hình phẳng giới hạn bởi các đồ

thị hàm số y x= lnx , trục hoành, x e= Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H quanh trục hoành:

A ( 3 3)

27

e

= B ( 3 1)

3

e

= C ( 3 1)

2

e

= D (5 3 2)

27

e

Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm xlnx= ⇔ =0 x 1 nên

Trang 9

( )2 2 2

V =π∫ x x x=π∫x x x

Đặt

2

3 2

2ln

ln

3

x

 =



 =

=



nên

1

e

V =π  − x x x=π − x x x

1

ln

3

v

 =



=

⇒



nên

2

1

d

=  −  − ÷=  −  − ÷=  −  − ÷=

Câu 24 [2D3-3.3-3] [BTN 165] Khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng D giới

hạn bởi đồ thị ( )P y: =2x x và trục Ox sẽ có thể tích là:− 2

A 12

15

V = π

15

V = π

15

V = π

15

V = π

Chọn B.

Xét phương trình 2 2 0 2

0

=



− = ⇔  =x

x x

x .

Vậy thể tích cần tìm 2( 2)2 2( 2 3 4)

Ox

2 5

3 4

0

π

=  − + ÷ =

x

Câu 25 [2D3-3.3-3] [BTN 165] Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y= x y, = −x và x=4

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( )H quanh trục hoành nhận giá trị nào sau

đây:

A 41

3

V = π

2

V = π

3

V = π

3

V = π

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm: x x x 20 x 0

x x

− ≥



= − ⇔ = ⇔ = Thể tích khối tròn xoay cần tìm là

4 2

0

Ox

V =π∫ x −x dx Xét phương trình 2 0 0

1

x

x x

x

=



− = ⇔  =

Ox

V =π∫ x −x dx+π∫ x −x dx=π∫ − +x x dx+π∫ x −x dx

Trang 10

1 4

41

= − + ÷ +  − ÷ =

Câu 26 [2D3-3.3-3] [BTN 164] Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường

tan

y= x, y=0, x=0,

3

x π

= quay quanh trục Ox tạo thành là:

3

π − . D (3 3 )

3

π −π

Chọn D.

Áp dụng công thức để tính 2d

b x a

V =π∫y x theo đó thể tích cần tìm là:

0

3

x

π π

3

x

V =π −π

(đvdt)

Câu 27 [2D3-3.3-3] [BTN 163] Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x x− 2 và Ox

Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H xung quanh trục hoành.

A 16

15

V = π

15

V = π

Chọn B.

PTHĐGĐ: 2x x− 2 = ⇔ = ∪ =0 x 0 x 2

V =π x x− x=π − +x  = π

Câu 28 [2D3-3.3-3] [BTN 162] Kí hiệu ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=3 x x− và

đường thẳng 1

2

y= x Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H xung

quanh trục Ox

A 13

2

5

C 25

4

5

Chọn B.

2

x x− = x⇔ = ∨ =x x Khi đó 4 ( )2

2 0

Ox

V =  x x− − x  x =

Câu 29 [2D3-3.3-3] [BTN 161] Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= − +e x 4x, trục

hoành và hai đường thẳng x=1; x=2 Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay

hình ( )H xung quanh trục hoành.

Trang 11

A V = − +6 e2 e. B V =π(6− +e2 e). C V =π(6− −e2 e). D V = − −6 e2 e.

Chọn B.

1 1

V =π∫ x e− x=π x −e =π − +e e

Câu 30 [2D3-3.3-3] [THPT Thanh Thủy] Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30 cm, thiết

diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là 1600π( )cm2 , chiều dài của trống là

1m Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường Parabol Hỏi thể

tích của cái trống là bao nhiêu?

A 425, 2(lít). B 425162 (lít) C 212, 6(lít). D 212581(lít)

Chọn A.

Ta có chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

Thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là hình tròn

có bán kính r có diện tích là ( )2

1600π cm , nên

r π = π ⇒ =r cm

Ta có: Parabol có đỉnh I(0;40) và qua A(50;30).

Nên có phương trình 1 2

40 250

y= − x + Thể tích của trống là

2 50

50

−

y

x

Trang 12

Câu 31. [2D3-3.3-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

ln ,

y x x= y=0, x e= quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng

(be3 2)

a

Tìm a và b.

A a=26; b=6 B a=27; b=5 C a=24; b=5 D a=27; b=6

Chọn B.

> >

= ⇔ ⇔ ⇔ =

1

27

e

V =π x x x= e − π

Theo giả thiết V (be3 2)

a

π

5

a b

=



 =

Câu 32. [2D3-3.3-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho

hình Elip

2 2

2 1 3

b

A 4 3 2

3 πb

2

2 3

3 πb . D 4 bπ .

Chọn C.

2 2

y b b

+ = ⇔ =  − ÷

 .

Vậy thể tích khối tròn xoay là :

2

3

x

−

3

−

=  − ÷ =  − ÷÷=

Câu 33 [2D3-3.3-3] [Chuyên ĐH Vinh] Cho hàm bậc hai y= f x( ) có đồ thị như hình bên Tính thể

tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ) và Ox quanh Ox

Trang 13

A 12

15

π

15

π

5

π

3

π

Chọn B.

Hoành độ giao điểm của f x và Ox là ( ) x=0 và x=2

0

16

15

V =π x − x x= π

Câu 34 [2D3-3.3-3] [BTN 173] Ký hiệu ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x2−1,

trục hoành và đường thẳng x=3 Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình

( )H xung quanh trục Ox

A 22

3

V = π

3

V = π

3

V =

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm

x − = ⇔ = ±x Khi đó

2

20 1

x

= − =  − ÷ =

Câu 35 [2D3-3.3-3] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Ký hiệu ( )H là hình phẳng giới hạn bởi các

đường y= (x- 1)e x2 - 2x, y= 0, x= 2. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay

Trang 14

A (2 3)

2

e V

e

p

2

e V

e

p

2

e V

e

p

2

e V

e

p

Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm ( ) 2 2 ( ) 2 2

x− e − = ⇔ x− e − = ⇔ − = ⇔ =x x Thể tích cần tính là 2 ( ) 2 2

2

1

1 x x

V =π  x− e −  dx

1

1 1

π

 

Câu 36 [2D3-3.3-3] [THPT Chuyên Bình Long] Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai

mặt phẳng x=0 và x=3, biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Ox tại điểm có hoành độ x ( 0≤ ≤x 3 ) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và

2

2 9 x−

2

0

V = π∫ −x x

C

3

2

0

2

0

V = ∫ x+ −x x

Chọn C.

Diện tích của hình chữ nhật là ( ) 2

.2 9

S x =x −x Thể tích vật thể là

3

2

0

V =∫ x −x x

Câu 37 [2D3-3.3-3] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Cho hình H giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x,

2

y= − +x và trục hoành Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình H quay quanh

trục hoành được tính theo công thức nào?

0

V =π ∫ x+ −x  x B 2 2( )2

V =π x x+ − +x x

0

V =π ∫ x = −x  x

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm giữa y= x, y= − +x 2 là: x = − + ⇔ =x 2 x 1

Phương trình hoành độ giao điểm giữa y= x, y=0 là x = ⇔ =0 x 0

Phương trình hoành độ giao điểm giữa y= − +x 2, y=0 là − + = ⇔ =x 2 0 x 2

Khi đó: Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường y= x, y= − +x 2, y=0 là:

V =π x x+ − +x x

Trang 15

Câu 38 [2D3-3.3-3] [THPT Hai Bà Trưng- Huế] Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y=x2

và y= x Khối tròn xoay tạo ra khi ( )H quay quanh Ox có thể tích là.

1 4 0

vtt d

1

4 0

vtt d

1

2 0

vtt d

1 2 0

vtt d

Chọn B.

Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 0

1

x

é = ê

= Û ê =ê

V =pò x - x x=pòx - x x=pò x x- x

Câu 39 [2D3-3.3-3] [THPT Ngô Quyền] Gọi V là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay

quanh trục Ox một Elip có phương trình

2 2

1

x + y = V có giá trị gần nhất với giá trị nào sau

đây?

Chọn B.

V là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox phần hình phẳng giới hạn

bởi 36 4 2

3

x

y= − và trục hoành.

Ta có

3

36 4

50, 24 9

x

−

Câu 40 [2D3-3.3-3] [BTN 170] Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x= ln ,x y=0,x e= Tính

thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trụcOx

A

3

27

e

V = π − ÷

 . B

3 2 27

e

V = π − ÷

3

27

e

V = π − ÷

 .

Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm: xlnx=0(x> ⇒0) lnx= ⇔ =0 x 1

Thể tích của khối tròn xoay là: 2 2

1

ln d

e

V =π∫x x x

Đặt

2

3 2

2ln

ln

3

x

 =



 =

=



Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,34 MB