Hàm số và các bài toán liên quan

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm sốĐể xét chiều biến thiên của hàm số y f x  , ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số.. Tìm các điểm mà tại đó y� 0 hoặc y

Định lý 1: Cho hàm số y f x ( ) có đạo hàm trên K

a) Nếu hàm số ( )f x đồng biến trên K thì '( ) 0 f x � với mọi x�K

b) Nếu hàm số ( )f x nghịch biến trên K thì '( ) 0 f x � với mọi x�K

 [ ( )f x đồng biến trên K ] � [ '( ) 0 f x � với mọi x�K ]

 [ ( )f x nghịch biến trên K ] � [ '( ) 0 f x � với mọi x�K ]

[f x'   với mọi x�K ] � [ ( )0 f x không đổi trên K ]

Định lý 2: Cho hàm số y f x ( ) có đạo hàm trên K

a) Nếu f x'   với mọi x�K thì hàm số ( )0 f x đồng biến trên K

b) Nếu f x'   với mọi x�K thì hàm số ( )0 f x nghịch biến trên K

c) Nếu f x'   với mọi x�K thì hàm số ( )0 f x không đổi trên K

 [f x'   với mọi x�K ] � [ ( )0 f x đồng biến trên K ]

 [f x'   với mọi x�K ] � [ ( )0 f x nghịch biến trên K ]

Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y f x ( ) có đạo hàm trên K

a) Nếu '( ) 0f x � với mọi x�K và f x'   chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K0

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y f x  , ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số.

– Tính y Tìm các điểm mà tại đó y� 0 hoặc y� không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)

– Lập bảng xét dấu y� (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số y f x m ( , ), m là tham số, có tập xác định D

 Hàm số f đồng biến trên D ۳ �y�0, x D

 Hàm số f nghịch biến trên D ۣۣ�y�0, x D

Từ đó suy ra điều kiện của m.

00

a b c

00

a b c

 Nếu  0 thì g x luôn cùng dấu với a. 

 Nếu  0thì g x luôn cùng dấu với a (trừ  

2

b x

 Sử dụng định lí Viet đưa  2 thành phương trình theo m.

 Giải phương trình, so với điều kiện  1 để chọn nghiệm.

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

 Chuyển bất đẳng thức về dạng ( ) 0 f x  (hoặc  � �, , ) Xét hàm

số y f x ( ) trên tập xác định do đề bài chỉ định.

 Xét dấu f x'  Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.

 Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f x'  thì ta đặt

  ' 

h x  f x và quay lại tiếp tục xét dấu h x … cho đến khi nào xét' 

dấu được thì thôi.

2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f a    f b

Xét tính đơn điệu của hàm số ( ) f x trong khoảng  a b;

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f x   g x (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

 Chọn được nghiệm x của phương trình.0

 Xét các hàm số y f x ( )  C và y = g(x) 1  C2 Ta cần chứng minh

một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến Khi đó  C1 và

 C2 giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x Đó chính là0nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y C  thì kết luận trên vẫn đúng.

Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc 1

Giả sử hàm số y f x ( ) liên tục trên khoảng  a b chứa điểm ; x và có đạo hàm0

trên các khoảng a x và ; 0 x b Khi đó0; 

a) Nếu '( ) 0f x  với mọi x�a x; 0 và '( ) 0f x  với mọi x�x0;b

thì hàm số ( )f x đạt cực tiểu tại điểm x 0

b) Nếu '( ) 0f x  với mọi x�a x; 0 và '( ) 0f x  với mọi x�x0;b

thì hàm số ( )f x đạt cực đại tại điểm x 0

Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc 2

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  a b chứa điểm ; x , 0 f x�( ) 00  và f có đạohàm cấp hai khác không tại điểm x Khi đó0

a) Nếu f� x0  thì hàm số ( )0 f x đạt cực đại tại điểm x 0

b) Nếu f� x0  thì hàm số ( )0 f x đạt cực tiểu tại điểm x 0

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1.

 Tìm f x� 

 Tìm các điểm x i i 1,2 , � mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không

có đạo hàm.

 Xét dấu f x�  Nếu f x�  đổi dấu khi x đi qua x thì hàm số đạt cực i trị tại x i

Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1 Nếu hàm số y f x ( ) đạt cực trị tại điểm x thì 0 f x� 0  hoặc tại 0 x0không có đạo hàm.

2 Để hàm số y f x ( ) đạt cực trị tại điểm x thì 0 f x�  đổi dấu khi x đi

qua x 0

Chú ý:

 Hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d  có cực trị � Phương trình y�0

có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị

 Hàm số 2 ( )  

' ' ( ) ' 0

ax bx c P x y

a x b Q x aa

 

 � có cực trị � Phương trình y�0

có hai nghiệm phân biệt khác '

'

b a

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba y f x ( )ax3bx2cx d 

 Chia f x  cho f x � ta được:   f x     Q x f x � Ax B

 Khi đó, giả sử x y1 1;  , x y2 2;  là các điểm cực trị thì:

 Các điểm x y1 1;  , x y2 2;  nằm trên đường thẳng y Ax B

2) Hàm số phân thức ( ) ( ) 2

P x y

P x ax b y

d

Q x



 Xét dấu f x � và lập bảng biến thiên. 

 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên

Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số

 Chứng minh một bất đẳng thức.

 Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng

thức vừa tìm được trở thành đẳng thức.

Một số kiến thức thường dùng:

a)

2 2

Dấu "=" xảy ra khi a b

Với ba số a, b, c khơng âm a b c � ta luơn cĩ: , , 0 3 33

Gọi y là một giá trị tuỳ ý của 0 f x trên D , thì hệ phương trình 

(ẩn x) sau có nghiệm:

Vì y 0 là một giá trị bất kì của f x nên từ (3) ta suy ra được:  

2) Hệ bất phương trình �� ��x D f x( )� có nghiệm ۳ M 

3) Hệ bất phương trình �� ��x D f x( )� có nghiệm  m 

4) Bất phương trình f x  � đúng với mọi x ۳ m 

5) Bất phương trình f x  � đúng với mọi x   M 

  là hàm số phân thức hữu tỷ.

 Nếu Q x   có nghiệm 0 x thì đồ thị có tiệm cận đứng 0 x x 0

 Nếu bậc P x � bậc    Q x thì đồ thị có tiệm cận ngang.  

 Nếu bậc P x    bậc Q x    thì đồ thị có tiệm cận xiên.1

b) Để xác định các hệ số , a b trong phương trình của tiệm cận

xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau:

( )lim ; lim ( )

5 KH O SÁT S BI N THIÊN VÀ VẼ Đ TH HÀM S Ả Ự Ế Ồ Ị Ố

5 KH O SÁT S BI N THIÊN VÀ VẼ Đ TH HÀM S Ả Ự Ế Ồ Ị Ố

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định.+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận(nếu có)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biếnthiên, cực trị của hàm số

 Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm củađồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt cáctrục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏqua) Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chínhxác hơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếucó) của đồ thị

6 S T Ự ƯƠ NG GIAO C A Đ TH HÀM S Ủ Ồ Ị Ố

6 S T Ự ƯƠ NG GIAO C A Đ TH HÀM S Ủ Ồ Ị Ố

Bài toán tổng quát

Trong mp Oxy  Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số: 1

2

( ) : ( )( ) : ( )

7 TI P TUY N C A Đ TH HÀM S Ế Ế Ủ Ồ Ị Ố

7 TI P TUY N C A Đ TH HÀM S Ế Ế Ủ Ồ Ị Ố

Chú ý 1 :

*  1 vô nghiệm   C và 1  C2 không có điểm điểm chung

*  1 có n nghiệm   C và 1  C2 có n điểm chung

  C :y f(x)  bi t ti p tuy n có h s góc ế ế ế ệ ố k cho tr ướ c

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Gọi M x y( ; ) ( )0 0 �C là tiếp điểm của tiếp tuyến với  C

Bước 2: Tìm x bằng cách giải phương trình : 0 f x� 0  , từ đó suy rak

0 ( ) ?0

y f x

Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào phương trình: y y 0k x x  0 ta sẽ đượcphương trình tiếp tuyến cần tìm.

Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp

như : tiếp tuyến song songtiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng

cho trước

Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:

Định lý 1: Nếu đường thẳng   có phương trình dạng: y ax b  thì hệ sốgóc của   là:

Phương pháp : Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến  d với  C tại điểm M x y0 0; 0�( )C

( ) :d y f x'( )(0 x x 0) f x( )0  *

Bước 2: Định x để 0  d đi qua điểm A x y Ta có: A; A

 d đi qua điểm A x y A; A � y A  f x x'( )(0 Ax0) f x( )0

 1

Bước 3: Giải phương trình  1 tìm x Thay 0 x tìm được vào 0  * ta sẽ đượcphương trình tiếp tuyến cần tìm

8 BI N LU N S NGHI M C A PH Ệ Ậ Ố Ệ Ủ ƯƠ NG TRÌNH B NG Đ Ằ Ồ THỊ

8 BI N LU N S NGHI M C A PH Ệ Ậ Ố Ệ Ủ ƯƠ NG TRÌNH B NG Đ Ằ Ồ THỊ

Cơ sở của phương pháp

)

;0

)(C2

Bước 2: Vẽ  C và   lên cùng một hệ trục tọa độ

Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của   và  C

Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình  *

Minh họa:

Dạng: f x( )=g m( ) giải tương tự

9 TÌM ĐI M THU C Đ TH TH A ĐI U KI N CHO Ể Ộ Ồ Ị Ỏ Ề Ệ

TR ƯỚ C

9 TÌM ĐI M THU C Đ TH TH A ĐI U KI N CHO Ể Ộ Ồ Ị Ỏ Ề Ệ

TR ƯỚ C

Định nghĩa: Cho hàm số y f x( ) xác định trên tập D

Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy , tập hợp )  C tất cả các điểm cĩ toạ độ x f x với; ( )

x D� được gọi là đồ thị của hàm số y f x( )

Từ định nghĩa ta cĩ: (C)M /M(x;y)vớixDvà yf(x)

D x C y

x

M( 0; 0)( ) 0 và y 0 f(x0)

Phương pháp chung

Đặt M x y( 0, 0) ( )�C với y0 = f x là điểm cần tìm;( )0

Từ điều kiện cho trước ta tìm một phương trình chứa x ; 0

Giải phương trình tìm x , suy ra 0 y0=f x( )0 �M x y( 0; 0)