Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

Tài liệu hệ thống các phương pháp giải các dạng toán trong chuong 1lớp 12. Nội dung thích hợp với kiểu kiểm tra toán trắc nghiệmCó bài tập mẫubài tập rèn luyện sau mỗi bài. Giúp học sinh tự học ở nhà. Giáo viên có thể sử dụng tài liệu để hướng dẫn các em tự học

Trang 1

12

CHỦ ĐỀ 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Xét sự biến thiên của hàm số y = f(x). Phương pháp: B1: Tìm tập xác định D của hàm số; B2: Tính đạo hàm f x'( ) ; B3: Giải phương trình f x'( ) 0= , ( tìm các giá trị xj mà f’(xj) không tồn tại) B4: Lập bảng biến thiên của hàm số; B5: Kết luận. Bài tập mẫu 1: Xét chiều biến thiên của hàm số sau: 1 3 2 2 3 1 3 y= x − x + x+ Giải: B1: Tập xác định D = R; B2: Tính đạo hàm f x'( )= x2−4x+3; B3: Giải phương trình 2 4 3 0 1; 3 '( ) 0 x x x f x = ⇔x − + = ⇔ = = ; B4: Bảng biến thiên B5: Kết luận: Hàm số tăng trên các khoảng (−∞;1);(3;+∞); hàm số giảm trên khoảng (1;3) Bài tập mẫu 2: Xét chiều biến thiên của hàm số sau: y = 1 3 3 2 5 2 3x − x + x+ Giải: B1: Tập xác định D = ……

B2: Tính đạo hàm f x'( ) =

B3: Giải phương trình f x'( ) 0 = ⇔ …………

………

B4: Bảng biến thiên ………

………

……….………

B5: Kết luận: ………

………

Bài tập mẫu 3: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch

biến của hàm số sau: y = 3x2 – 8x3

Bài tập rèn luyện: Xét sự biến thiên của các hàm số:

1 y = 1 + 4x –x2 2 y = 2x2 -3x -13 y = 1 3 2

2

x y x

−

= +

5

2

y

x

− +

=

2 2

y

− +

= + − 7 y = − + x 2 x2+ 4 8 y = x

4 + 8x2 + 5

9 y = 25 − x2 10 3 4 5

8 5

1 7

y = x − + + x x 12 y = x2+ 2 x + 3

Dạng 2: Xác định m để hàm số y = f(x, m) đồng biến ( hay nghịch biến) trên khoảng I.

Loại 1: Xác định m để hàm số y ax= 3+bx2+ +cx d a ( ≠0) đồng biến (hay nghịch biến) trên R Phương pháp:

B1: Tính đạo hàm f x'( ) 3= ax2+2bx c+ ;

B2: Hàm số đồng biến trên R '( ) 0, 0

0

a

f x x  >

⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤



¡ ; (hàm số nghịch biến trên R 0

0

a<



⇔ ∆ ≤

 ).

Bài tập mẫu 1: Tìm m để hàm số

1

( 1) 2 3

y= x −x + m− x+ đồng biến trên R

Giải: B1: f x'( )=x2−2x m+ −1

B2: Hàm số đồng biến trên R 0

0

a>



⇔ ∆ ≤



1 0( )

4 4( 1) 0 4 4 4 0

4 4( 1) 0

8 4 0 8 4 2

true

m

>



⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + ≤

⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

Trang 2

1

3

y= m− x − m− x − +x nghịch biến trên R

Giải: B1: f x'( ) = ………

B2: Hàm số nghịch biến trên R⇔ f x'( ) 0,≤ ∀ ∈x ¡ ⇔……

………

Bài tập rèn luyện: 1 Tìm m sao cho hàm số y = -1 3x 3 + 2x2 + (2m + 1)x - 3m + 2 nghịch biến trên tập xác định 1 Cho hàm số 1 3 2 ( 3) 2 3 y = m + x − x + mx a Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên R; b Tìm m để hàm số luôn nghịch biến trên R 2 Tìm m sao cho hàm số 1 3 2 3 y = − mx + mx − x luôn nghịch biến trên R Loại 2: Xác định m để hàm số y ax b cx d + = + , 2 ax bx c y dx e + + = + đồng biến (hay nghịch biến) trên từng khoảng mà nó xác định Phương pháp: Đối với hàm y ax b cx d + = + B1: Tập xác định D R= \{−d c/ } ; B2: Tính đạo hàm '( ) 2 ( ) ad bc f x cx d − = + ; B3: Hàm số đồng biến trên từng khoảng  ad – bc > 0; ( hàm số nghịch biến trên từng khoảng  ad – bc < 0) Đối với hàm 2 ax bx c y dx e + + = + B1: Tập xác định D R= \{−e d/ }; B2: Tính đạo hàm có dạng 2 ' 2 ( ) ( ) Ax Bx C f x dx e + + = + ; B3: Hàm số đồng biến trên từng khoảng 0 0 A>  ⇔ ∆ ≤  ; ( hàm số nghịch biến trên từng khoảng 0 0 A<  ⇔ ∆ ≤  ). Bài tập mẫu 1: Tìm m để hàm số 2 1 mx y x + = + đồng biến trên từng khoảng mà nó xác định Giải: B1: Tập xác định D R= \{ }−1 ; B2: Tính đạo hàm ' 2 2 ( ) ( 1) m f x x − = + ; B3: Hàm số đồng biến trên từng khoảng  m – 2 > 0 m>2 Bài tập mẫu 2: Tìm m để hàm số y mx 4 x m + = + nghịch biến trên từng khoảng mà nó xác định Giải: B1: Tập xác định D = ………

B2: Tính đạo hàm f x'( )=…………

B3: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng  …………

………

Bài tập mẫu 3: Tìm m để hs 2 2 x x m y x + + = − tăng trên từng khoảng mà nó xác định Giải: ………

………

……

………

Bài tập rèn luyện: Tìm m sao cho hàm số:

3

mx

y

x m

−

=

+ − luôn nghịch biến trên từng khoảng mà nó xác định.

2

1

y

x

+ + −

=

+ luôn tăng trên từng khoảng xác định của nó.

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Trang 3

12

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x). Phương pháp: B1: Tìm tập xác định của hàm số; B2: Tính đạo hàm f x'( ); B3: Giải phương trình f x'( ) 0= , ( tìm các giá trị xj mà f’(xj) không tồn tại) B4: Lập bảng biến thiên của hàm số; B5: Kết luận. Bài tập mẫu 1: Tìm cực trị của hàm số sau: 1 3 2 2 3 1 3 y= x − x + x+ Giải: B1: Tập xác định D = R ; B2: Tính đạo hàm f x'( )= x2− 4x+ 3; B3: Giải phương trình 2 4 3 0 1; 3 '( ) 0 x x x f x = ⇔x − + = ⇔ = = ; B4: Bảng biến thiên x −∞ 1 3 +∞

y’ + 0 - 0 +

y

f(1) f(3) B5: Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại f(1) = 7/3 ( 1 3 2 (1) 3 2.3 3.3 1 7 / 3 3 f = − + + = ); Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, giá trị cực tiểu f(3) = 1 Bài tập mẫu 2: Tìm cực trị của hàm số sau: y = 1 3 3 2 5 2 3x − x + x+ Giải: B1: Tập xác định D = ……

………

B4: Bảng biến thiên ………

………

B5: Kết luận:………

………

Bài tập mẫu 3: Tìm cực trị của của hàm số sau: y = 3x2 – 8x3 Bài tập rèn luyện: Tìm cực trị của các hàm số cho ở chủ đề 1. Dạng 2: Xác định m để hàm số y = f(x, m) đạt cực đại (hay cực tiểu) tại điểm x = x0 Phương pháp 1: B1: Tính đạo hàm f x ;'( ) B2: Giải PT ẩn m: ' 0 ( ) 0 f x = , tìm giá trị m; B3: Thử lại xem giá trị m vừa tìm được có thoả mãn không và kết luận. Bài tập mẫu 1: Tìm m để hàm số 3 2 1 ( 1) 2 3 y= x −x + m− x+ đạt cực tiểu tại x = 2 Giải: B1: f x'( )=x2−2x m+ −1 B2: Giải PT: ' ' 2 0 ( ) 0 (2) 0 2 2.2 1 0 f x = ⇔ f = ⇔ − + − =m ⇔ − = ⇔ =m 1 0 m 1 B3: Thử lại: Thế m = 1 vao hàm số ban đầu ta có hs 3 2 1 2 3 y= x −x + Ta có BBT của hàm số trên như sau: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 Kết luận: m = 1 Bài tập mẫu 2: Tìm m để hàm số 3 2 1 ( 1) 2 3 y= mx − m− x + +x đạt cực đại tại x = -1 Giải: B1: f x'( ) =

B2: Giải PT: ' ' 0 ( ) 0 ( 1) 0 f x = ⇔ f − = ⇔………

………

B3: Thử lại: Thế m = ……… vào hàm số ban đầu ta có y=……… Ta có BBT của hàm số trên như sau: ………

………

Kết luận:……… Phương pháp 2:

B1: Tính đạo hàm f x , '( ) f x ;''( )

Trang 4

B2: Hàm số đạt cực đại tại

' 0 0

0

( ) 0 ''( ) 0

f x

x x

f x



= ⇔  <

 (I); (hàm số đạt cực tiểu tại

' 0 0

0

( ) 0 ''( ) 0

f x

x x

f x



= ⇔  >

 (II));

B3: Giải hệ BPT (I), (II) ẩn m, tìm giá trị m.

Bài tập mẫu 1: Tìm m để hs

1

( 1) 2 3

y= x −x + m− x+ đạt cực tiểu tại x = 2

Giải: B1: f x'( )=x2−2x m+ −1; f x''( ) 2= x−2;

B2: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2:

0 0

( ) 0 (2) 0 2 2.2 1 0 ''( ) 0 ''(2) 0 2.2 2 0( )



> > − >



2

2 2.2 m 1 0 m 1 0 m 1

⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ =

1

3

y= mx − m− x + +x đạt cực đại tại x = -1

Giải: B1: f x'( ) = ……

f x''( )=………

B2: Hàm số đạt cực đại tại x = -1

'( 1) 0 ''( 1) 0 f f  − = ⇔  − <  ……

………

Bài tập rèn luyện:

1 Tìm m để hàm số 1 3 2

3

y= x − x + mx− đạt cực đại tại x = 1

2 Xác định giá trị của tham số m để hàm số y x = −3 2 x2+ mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1 (TN 2011)

3 Tìm m để hàm số y x= 4−3mx2+1 đạt cực tiểu tại x = -2

4 Tìm a, b để hàm số y ax= 3+x2−5x b+ đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu f(1) = 2

5 Tìm a, b để hàm số y x= 3−2x2+ax b+ đạt cực đại tại x = 1/3 và giá trị cực đại f(1/3) = -4

Dạng 3: Định m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ( Đối với HS bậc ba y ax = 3+ bx2+ + cx d)

* Đạo hàm y’ = 3 ax2+ 2 bx c +

* Hàm số có cực đại, cực tiểu  pt :y ' 0 = có 2 nghiệm

phân biệt

'

0 0

y

a ≠



∆ >



Ví dụ: Định m để hàm số y x = +3 ( m − 1) x2+ − x 2 có cực đại, cực tiểu

Giải

Đạo hàm: y ' 3 = x2 + 2( m − 1) x + 1

Để hàm số có cực đại và cực tiểu  pt :y ' 0 = có 2 nghiệm phân biệt∆ = ' m2− 2 m − > 2 0

⇔ < − m 1 3 or m > + 1 3

1 Cho hàm số 1 3 2 2

3

y = x + m − x + m − m + x m + Xác định m để :

a Hàm số có cực đại và cực tiểu; (Đáp số: 0< <m 1)

b Hàm số luôn đồng biến trên ¡ (Đáp số: m ≤ 0hoặc m ≥ 1)

2 Cho hàm số : y = ( m + 2) x3+ 3 x2+ mx − 5 Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu

3 Cho hàm số : y mx = 3− 3 x2+ (2 m − 2) x − 2 Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu

4 Cho hàm số : y x = 4− 2( m − 1) x2+ m Xác định m để hàm số có 3 cực trị

CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b].

Phương pháp:

B1: Hs liên tục trên [a;b] Tính đạo hàm f x'( );

B2: Giải phương trình f x'( ) 0= trên khoảng (a ; b), giả

sử có các nghiệm x1, x2, …, xn;

B3: Tính các giá trị f(a); f(b) và f(xi);

B4: Kết luận: Giá trị nào lớn nhất trong các giá trị trên là

gtln; giá trị nào nhỏ nhất là gtnn

Trang 5

12

Bài tập mẫu 1: Tìm gtln, gtnn của hàm số sau trên đoạn [2; 5]: 1 3 2 2 3 1 3 y= x − x + x+ Giải: B1: Hs liên tục trên [2;5] và f x'( )=x2− 4x+ 3; B2: Giải phương trình 2 4 3 0 1( ); 3( ) '( ) 0 x x l x n f x = ⇔x − + = ⇔ = = ; B3: Tính các giá trị 3 2 3 2 3 2 1 5 (2) 2 2.2 3.2 1 3 3 1 23 (5) 5 2.5 3.5 1 3 3 1 (3) 3 2.3 3.3 1 1 3 f f f = − + + = = − + + = = − + + = B4: Kl: Gtln bằng 23/3 khi x = 5; gtnn bằng 1 khi x = 3. Bài tập mẫu 2: Tìm gtln, gtnn của hàm số sau: y = 1 3 3 2 5 2 3x − x + x+ trên đoạn [-1 ; 3] Giải: B1: Hs liên tục trên [-1;3] và đạo hàm f x'( ) =

………

B3: Tính các giá trị f(-1) = ………

f(3) = ………

………

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nếu có của hàm số y = f(x) trên miền D ( D là tập xác định hoặc D là một khoảng hoặc D là một nửa khoảng) Phương pháp: B1: Xác định D; B2: Tính đạo hàm f x'( ); B3: Giải phương trình f x'( ) 0= ; B4: Lập BBT trên miền D; B5: Dựa vào BBT kết luận gtln, gtnn nếu có. Bài tập mẫu 1: Tìm gtln, gtnn nếu có của hàm số sau trên đoạn [2; 5): 1 3 2 2 3 1 3 y= x − x + x+ Giải: B1: D = [2 ; 5); B2: Tính đạo hàm f x'( )= x2− 4x+ 3 ; B3: Giải phương trình (trên D) 2 4 3 0 1( ); 3( ) '( ) 0 x x l x n f x = ⇔x − + = ⇔ = = ; B4: Bảng biến thiên ( trên D) 3 2 3 2 1 5 (2) 2 2.2 3.2 1 3 3 1 (3) 3 2.3 3.3 1 1 3 f f = − + + = = − + + = B5: Kết luận: Giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 3; không có giá trị lớn nhất ( vì f(2) < f(5)=23/3) Bài tập mẫu 2: Tìm gtln, gtnn nếu có hàm số: y = 1 3 3 2 5 2 3x − x + x+ trên đoạn (-1 ; 3] Giải: B1: D = …

………

……… ……

B4: BBT ………

………

Bài tập mẫu 3: Tìm gtln, gtnn nếu có của hàm số: 2 4 y= −x Giải: ………

………

……

………

Trang 6

1 Tìm GTLN, GTNN của hàm sốy x = −3 3 x2+ 1 trên đoạn [ ] 0; 2 (TN THPT 2007).

2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số 1 3

2

x y

x

−

= + trên đoạn [0 ; 1].

3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số

2

1 3 2

x x y

x

− −

=

− trên đoạn [-1 ; 1].

4 Tìm GTLN, GTNN nếu có của hàm số 1 3

2

x y

x

−

=

− nửa khoảng (-1 ; 1].

5 Tìm GTLN, GTNN của hàm sốy x = 4− 2 x2+ 1 trên đoạn [ ] 0; 2 (TN THPT 2008 – lần 1).

6 Tìm GTLN, GTNN nếu có của hàm số y= − +x4 8x2+2 nửa khoảng [-3 ; 3)

7 Tìm GTLN, GTNN nếu có của hàm số y=2sin2x+2sinx−1

8 Tìm GTLN, GTNN nếu có của hàm số y=2cos 2x+2sinx

9 Tìm các giá trị m để GTNN của hàm số

2

( )

1

f x

x

− +

= + trên đoạn [ ] 0;1 bằng − 2 (TN THPT 2012).

10 Tìm GTLN, GTNN của hàm số f x ( ) = x2− 2 x + 5 trên đoạn [ ] 0;3 (TN BT năm 2012).

( )

x

= + trên đoạn [ ] 1;3 (THPT Quốc Gia-2015).

2

y x

x

= +

+ trên đoạn [ − 1; 2 ] (TN Bổ túc 2013).

13* Tìm GTLN, GTNN của hàm sốy x = 2− ln(1 2x) − trên đoạn [ − 2;0 ](TN THPT 2009).

14* Tìm GTLN, GTNN của hàm sốy = − (3 x e ) x trên đoạn [ − 3;3 ]

15* Tìm GTLN, GTNN của hàm sốy x e = − 2x trên đoạn [ − 1;0 ]

16* Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x2+ − 3 x ln x trên đoạn [ ] 1; 2 (TN THPT 2013).

CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ

Bài toán: Tìm tiệm cận của hàm số y = f(x).

Phương pháp:

B1: Tìm tập xác định của hàm số;

B2: * Nếu

0

lim ( )

f x

→ = +∞ hoặc

0

lim ( )

x x

f x

0

lim ( )

x x

f x

+

→ = +∞ …, thì đường thẳng x = x

0 là tiệm cận

đứng (TCĐ) của đồ thị;

* Nếu lim ( ) 0

x

f x y

→+∞ = hoặc lim ( ) 0

x

f x y

→−∞ = thì đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang (TCN);

* Nếu lim[ ( ) ( )] 0

lim ( ) ( ) 0

→−∞ − + = thì đường thẳng y = ax + b là

tiệm cận xiên (TCX) của đồ thị.

Dạng cơ bản: Tìm tiệm cận của hàm số ( )

( )

P x y

Q x

= , trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức.

Phương pháp:

B1: Tìm TXĐ: D R= \{ }x i , xi là các nghiệm của Q(x);

B2: Tìm TCĐ: Tính các giới hạn lim ( )

i

x x

f x

lim ( )

i

x x

f x

→ = −∞ hoặc lim ( )

i

x x

f x

+

→ = +∞ … Từ đó suy ra đường thẳng x = xi là tiệm cận đứng của đồ thị;

B3: Tìm TCN và TCX:

* Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) thì tính lim ( ) 0

x

f x

=> đường thẳng y = 0 là TCN của đồ thị;

* Nếu bậc của P(x) = bậc Q(x) thì tính lim ( ) 0

x

f x y

=> đường thẳng y = y0 là TCN của đồ thị;

* Nếu bậc của P(x) > bậc Q(x) một bậc thì thực hiện phép chia hai đa thức để viết được ( ) ( )

( )

R x

f x ax b

Q x

Tính lim[ ( ) ( )] lim ( ) 0

( )

R x

f x ax b

Q x

=> đường thẳng y = ax + b là TCX của đồ thị

Trang 7

12

Bài tập mẫu 1: Tìm tiệm cận của hàm số 2 1 3 x y x − = − . Giải: B1: TXĐ: D R= \ 3{ } ; B2: Tìm TCĐ: 3 3 2 1 lim ( ) lim 3 x x x f x x + + → → − = = +∞ − và

3 lim ( ) x f x − → = −∞ => đường thẳng x = 3 là TCĐ của đồ thị; B3: Tìm TCN: (do bậc của P(x) = bậc Q(x) = 1 nên chỉ có TCN mà không có tiệm cận xiên) lim ( ) lim 2 1 2 3 x x x f x x →±∞ →±∞ − = = − => đường thẳng y = 2 là TCN của đồ thị Bài tập mẫu 2: Tìm tiệm cận của hàm số 2 1 3 2 x y x x + = − + . Giải: B1: D R= \ 1 ; 2 ,{ } vì x = 1; x = 2 là nghiệm của mẫu; B2: Tìm TCĐ: 2 1 1 1 lim ( ) lim 3 2 x x x f x x x + + → → + = = − + ……

………

1 lim ( ) x f x − → = ………

=> đường thẳng x = 1 là TCĐ của đồ thị; 2 lim ( ) x f x + → =………

………

2 lim ( ) x f x − → =………

……….………

=> đường thẳng x = 2 là TCĐ của đồ thị; B3: Tìm TCN: (do bậc của P(x) < bậc Q(x) nên chỉ có TCN mà không có tiệm cận xiên) lim ( ) x f x →±∞ = ………

……….………

=> đường thẳng y = ………… là TCN của đồ thị Bài tập mẫu 3: Tìm tiệm cận của hàm số 2 3 3 1 2 1 1 x x y x x x − + = = − + − − . Giải:………

……

………

Bài tập rèn luyện: Tìm tiệm cận của các hàm số sau:

1 3 2

1

x

y

x

−

=

2

x x y

x

− +

=

2

6 5

x y

x x

−

=

− +

CHỦ ĐỀ 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f(x).

Phương pháp:

B1: Tìm tập xác định D của hàm số;

B2: Tính giới hạn và tìm tiệm cận;

B3: Xét sự biến thiên;

B4: Tìm cực trị của hàm số;

B5: Điểm đặc biệt;

B6: Vẽ đồ thị.

Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+ +cx d

Phương pháp:

B1: TXĐ: D = R;

B2: Giới hạn:

0; lim ; lim 0; lim ; lim

> = +∞ = −∞

< = −∞ = +∞

Đồ thị không có tiệm cận;

B3: Xét sự biến thiên

Tính y’, giải PT y’ = 0; lập BBT; nêu các khoảng đồng

biến, nghịch biến;

B4: Dựa vào BBT nêu cực trị;

B5: Điểm đặc biệt: - Tìm giao với Ox: cho y = 0 =>x=…

- Tìm giao với Oy: cho x = 0 =>y = d

- Cho thêm một đến hai điểm Nêu các điểm đồ thị đi qua;

B6: Vẽ đồ thị và nhận xét đồ thị nhận điểm uốn làm tâm

đối xứng

Bài tập mẫu 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của

hàm số sau: 1 3 2 2 3 1

3

y= x − x + x+

Giải:

B1: Tập xác định: D = R;

B2: Giới hạn: a>0; limx→+∞y= +∞; limx→−∞y= −∞

B3: Sự biến thiên: f x'( )=x2− 4x+ 3;

Giải phương trình

B4: Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại f(1) = 7/3; Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, giá trị cực tiểu f(3) = 1

B5: Điểm đặc biệt: x = 0 => y = 1

x = 4 => y = 7/3 Các điểm đi qua A(0 ; 1), B(4 ; 7/3)

B6: Vẽ đồ thị:

Trang 8

2 4 3 0 1; 3

f x = ⇔x − + = ⇔ = = ;

Bảng biến thiên

Hàm số tăng trên các khoảng (−∞;1);(3;+∞); hàm số

giảm trên khoảng (1;3) ;

Đồ thị nhận điểm uốn I( 2;5/3) làm tâm đối xứng

Bài tập mẫu 2: Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

y = 1 3 3 2 5 2

3x − x + x+ Giải:

B1: Tập xác định D = ……… ;

B2: Giới hạn: lim x→+∞y= ; limx→−∞y=

B3: Sự biến thiên:………

………

……

Hàm số tăng trên các khoảng……… ;

Hàm số giảm trên các khoảng………;

B4: Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại ……., giá trị cực đại ……… ;

Hàm số đạt cực tiểu tại ……., giá trị cực tiểu…… ….;

B5: Điểm đặc biệt: x = 0 => y = ………

………

Các điểm đi qua ………

B6: Vẽ đồ thị: Đồ thị nhận điểm uốn I( ….;….) làm tâm đối xứng Bài tập rèn luyện: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1 y x= 3+3x2−4 2 1 3 2 5 3 3 3 y= x −x − x− 3 y= − +x3 3x2−1 4 y x= 3−3x+1 Dạng 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số nhất biến y ax b cx d + = + Phương pháp: B1: TXĐ: D R= \{−d c/ } ; B2: Giới hạn và tiệm cận: lim x a a y y c c →±∞ = ⇒ = là TCN ( / ) ( / ) lim or ; lim or x d c y x d c y + − → − = +∞ − ∞ → − = +∞ − ∞ / x d c ⇒ = − là TCĐ; B3: Xét sự biến thiên Tính y’, xét dấu y’; lập BBT; nêu các khoảng đồng biến (nghịch biến); B4: Không có cực trị; B5: Điểm đặc biệt: - Tìm giao với Ox: cho y = 0, tìm x = -b/a; - Tìm giao với Oy: cho x = 0 =>y = b/d; Các điểm đi qua A(-b/a ; 0), B(0 ; b/d); B6: Vẽ đồ thị và nhận xét đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng Bài tập mẫu 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau: 2 2 1 x y x + = − . Giải: B1: Tập xác định: D R= \ 1{ }; B2: Giới hạn và tiệm cận:

lim 2; lim 2

→+∞ = →−∞ = => đường thẳng y = 2 là TCN

B5: Điểm đặc biệt: x = 0 => y = -2

y = 0 => x = -1 Các điểm đi qua A(0 ; -2), B(-1 ; 0);

Trang 9

12

lim ; lim

→ = +∞ → = −∞ => đường thẳng x = 1 là TCĐ;

B3: Sự biến thiên: 42 0,

( 1)

x

f x − < ∀ ∈

−

Hàm số giảm trên các khoảng (−∞;1); (1;+∞);

B4: Hàm số không có cực trị;

Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận I(1 ; 2) làm tâm đối xứng.

hàm số: 2 1

2

x

y

x

+

=

− . Giải:

B1: Tập xác định: D= ;

B2: Giới hạn và tiệm cận:

lim ; lim

→+∞ = →−∞ = => đt y = …… là TCN

lim ; lim

→ = → = => đt x = …… là TCĐ;

B3: Sự biến thiên: f x'( ) = …

………

Hàm số ……… trên các khoảng……….;

B4: Hàm số không có cực trị;

B5: Điểm đặc biệt: x = 0 => y = ………

……… y = 0 => x = ……… Các điểm đi qua ………

Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận I(….; …)

làm tâm đối xứng.

Bài tập rèn luyện: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1

x

y

x

+

=

− 2

1 2

x y x

+

=

− 3

2 1 2

x y

x

+

=

− 4

3 1

x y x

− +

= + .

Dạng 3: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương y ax= 4+bx2+c

Phương pháp:

B1: TXĐ: D R= ;

B2: Giới hạn: a>0; limx→±∞y= +∞, a<0; limx→±∞y= −∞;

B3: Xét sự biến thiên

Tính y’, xét dấu y’; lập BBT; nêu các khoảng đồng biến

(nghịch biến);

B4: Nêu cực trị;

B5: Điểm đặc biệt:

- Tìm giao với Oy: cho x = 0 =>y = c; (bỏ vì điểm này trùng với điểm cực trị)

- Tìm giao với Ox: cho y = 0, tìm x = ; Các điểm đi qua A(0 ; c),……….;

B6: Vẽ đồ thị và nhận xét đồ thị nhận trục Oy làm TĐX.

hàm số sau: y x= 4−2x2−1

Giải:

B1: Tập xác định: D R= ;

B2: Giới hạn: lim x→±∞y= +∞;

B5: Điểm đặc biệt: y = 0 => x4−2x2− =1 0 ⇔ =x 1+ 2 ,x= − +1 2 Điểm đi qua B( 1+ 2 ; 0), C(− +1 2 ;0);

Trang 10

B3: Sự biến thiên: f x'( ) 4= x3−4x;

f x = ⇔ x − = ⇔ x − = ⇔ x x − =

x y x

 =  = ⇒ =−

  =± ⇒ =−

 = 

Hàm số giảm trên các khoảng (−∞ −; 1), (0;1); và tăng

trên các khoảng ( 1;0), (1;− +∞);

B4: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, f(0) = -1; hàm số đạt

cực tiểu tại x = -1, x = 1, f(-1) = -2, f(1) = -2; Nhận xét: Đồ thị nhận trục Oy làm TĐX.

hàm số sau: y= − +x4 2x2+1

Giải:

B1: Tập xác định D= ;

B2: Giới hạn: lim x→±∞y= ;

B3: Sự biến thiên: f x'( ) =

'( ) 0

f x = ⇔ ………

………

Bảng biến thiên ………

………

Hàm số giảm trên các khoảng……….;

và tăng trên các khoảng………

B5: Điểm đặc biệt: x = 0 => y = …………

y = 0 => ………

………

Điểm đi qua………

B6: Vẽ đồ thị: Nhận xét:………

Bài tập rèn luyện: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1 y x= 4−3x2+2 2 y= − +x4 2x2−2 3 y= − −x4 2x2+3 4 y x= 4−4x2+3

CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Dạng 1: Viết PTTT với đồ thị của hàm số y = f(x) tại điểm M0 (x 0 ; y 0 ).

Phương pháp:

B1: Xác định x0, y0;

B2: Tính đạo hàm f x'( ); B3: Tính k= f x'( )0 ;

B4: PTTT có dạng: y = k(x – x0) + y0

Bài tập mẫu 1: Viết PTTT với đồ thị của hàm số

1 3 2 2 3 1

3

y= x − x + x+ tại điểm M0(0 ; 1)

Giải:

B1: x0 = 0, y0 = 1;

B3: Tính k= f x'( )0 = f'(0) 0= 2− 4.0 3 + = 3;

B4: PTTT có dạng:

y = k(x – x0) + y0 = 3(x – 0) + 1 = 3x + 1;

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	4,22 MB