Ung dung dao ham 1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Đờng lối tổng quát để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Phơng pháp Ta tiến hành theo các bớc sau: Bớc 1: Tìm tập xác định của hàm số.. Dạng toán 3:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.

a Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng I thì f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ I

b Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng I thì f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ I

2 điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Định lí 1 (Định lí Lagrange): Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và có

đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại một điểm c ∈ (a; b) sao cho:

f(b) − f(a) = f '(c).(b − a) hay f '(c) = f(b) f(a)

thì tồn tại một điểm C của cung AB sao cho tiếp tuyến tại đó song song với cáttuyến AB.

Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.

a Nếu f '(x) > 0, ∀x ∈ I thì f(x) đồng biến trên khoảng I.

b Nếu f '(x) < 0, ∀x ∈ I thì f(x) nghịch biến trên khoảng I.

c Nếu f '(x) = 0, ∀x ∈ I thì f(x) không đổi trên khoảng I.

Ta có mở rộng của định lí 2 nh sau:

Định lí 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.

a Nếu f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ I, và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn

điểm trên khoảng I, thì f(x) đồng biến trên khoảng I.

b Nếu f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ I, và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn

điểm trên khoảng I, thì f(x) nghịch biến trên khoảng I.

Ta tóm tắt định lí 3 trong các bảng biến thiên sau:

∞y'

+y

a x0 gọi là một điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một

khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ∈ D và:

f(x) < f(x0) , với mọi x ∈ (a; b)\{x0}

Khi đó f(x0) đợc gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x).

b x0 gọi là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại

một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ∈ D và:

f(x) > f(x0) , với mọi x ∈ (a; b)\{x0}

Khi đó f(x0) đợc gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x).

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu đợc gọi chung là cực trị.

4 điều kiện cần để hàm số có cực trị

Xét hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và x0 ∈ (a; b)

Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu f(x) có

đạo hàm tại điểm x0 thì f'(x0) = 0

5 điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm x0 và có

đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và (x0; b) Khi đó:

a Nếu f '(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x0) và f '(x) > 0 với mọi x ∈ (x0; b) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0

b Nếu f '(x) > 0 với mọi x ∈ (a; x0) và f '(x) < 0 với mọi x ∈ (x0; b) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x0

Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là một

Từ định lí 2 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây:

Quy tắc 1: Để tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1:Tính f’(x)

Bớc 2:Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ) tại đó đạo hàm của hàm số

bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhng không có đạo hàm

Bớc 3:Xét dấu f'(x) Nếu f'(x) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm

số đạt cực trị tại xi

Định lí 3: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b)

chứa điểm x0,f '(x0) = 0 và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm

x0

a Nếu f''(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

b Nếu f''(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

Từ định lí 3 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây:

Quy tắc 2: Để tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1:Tính f’(x)

Bớc 2:Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, ) của phơng trình f'(x) = 0

Bớc 3:Với mỗi i ta tính f"(xi), khi dó:

 Nếu f''(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

 Nếu f''(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi.III Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

a Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ D sao cho:

f(x) ≤ f(x0) với mọi x∈ D

thì số M = f(x0) đợc gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x)

trên tập D nếu, kí hiệu M = maxf(x)x D∈

b Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ D sao cho:

f(x) ≥ f(x0) với mọi x∈ D

thì số m = f(x0) đợc gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)

trên tập D nếu, kí hiệu m = minf(x)x D∈

IV đồ thị của hàm số và Phép tịnh tiến hệ toạ độ

6 phép tịnh tiến hệ toạ độ và công thức chuyển hệ tọa độ

Cho điểm I(x0; y0) và điểm M(x; y) trong hệ toạ độ Oxy, khi đó trong hệtoạ độ IXY điểm M(X; Y) sẽ có toạ độ:

7 phơng trình đờng cong đối với hệ tọa độ mới

Phơng trình của đờng cong y = f(x) đối với hệ toạ độ IXY có dạng:

Y = f(X + x0) − y0

V đờng tiệm cận của đồ thị hàm số

8 đờng tiệm cận đứng và đờng tiệm cận ngang

tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

xlim

→−∞f(x) = y0 hoặc xlim→+∞f(x) = y0

là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

9 đờng tiệm cận xiên

Định nghĩa 3: Đờng thẳng y = ax + b đợc gọi là đờng tiệm cận xiên (gọi

tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

xlim

→+∞[f(x) − (ax + b)] = 0 hoặc xlim→−∞[f(x) − (ax + b)] = 0

Quy tắc: Giả sử khi x →∞ thì f(x) →∞

VI Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Đờng lối tổng quát để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Phơng pháp

Ta tiến hành theo các bớc sau:

Bớc 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bớc 2: Xét sự biến thiên của hàm số:

a Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số.Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị (nếu có)

b Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:

 Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiềubiến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có)

 Điền các kết quả vào bảng biến thiên:

xy'y

Bớc 3: Vẽ đồ thị hàm số:

a Vẽ các đờng tiệm cận của đồ thị (nếu có)

b Xác định một số điểm đặc biệt của thờng là các giao điểmcủa đồ thị với các trục toạ độ (trong trờng hợp đồ thị không

cắt các trục tọa độ hoặc việc tìm tọa độ giao điểm phức tạpthì bỏ qua phần này).

c Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng và tâm đối xứngcủa đồ thị (nếu có, không yêu cầu chứng minh)



Chú ý: Khi vẽ đồ thị các em học sinh cần lu ý rằng "Dáng của đồ thị

t-ơng ứng với mũi tên trong bảng biến thiên".

B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan

Chú ý: Trong trờng hợp phơng trình f'(x) = 0 vô nghiêm, tức là hàm số luôn

đồng biến hoặc nghịch biến, ta có thể bỏ qua việc lập bảngbiến thiên

Nhận xét: Qua thí dụ trên các em học sinh đã biết cách trình bày dạng

toán "Khảo sát sự biến thiên của hàm số" Và với dạng toán này

các em cần đặc biệt chú ý tới tập xác định của hàm số thìmới chắc chắn nhận đợc một bảng biến thiên đúng

Bảng biến thiên: Dấu của y' phụ thuộc vào dấu của a (a > 0 hay

a < 0) và dấu của ∆' = b2 − 3ac (∆' > 0 hay ∆' ≤ 0), do đó ta cóbốn trờng hợp biến thiên khác nhau

 Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1)

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞)



Do đó, phơng trình y' = 0 hoặc có một nghiệm (a.b ≥ 0) hoặc

có ba nghiệm phân biệt , do đó ta có bốn trờng hợp biến thiênkhác nhau

Bảng biến thiên: Dấu của y' phụ thuộc vào dấu của a (a > 0 hay

a < 0) và dấu của a.b, do đó ta có bốn trờng hợp biến thiên khácnhau

Và bắt dầu từ đây, việc đa ra lời kết luận dựa theo bảngbiến thiên đợc dành cho bạn đọc

(H): y = ax b

cx d

++ , với c ≠ 0, D = ad − bc ≠ 0

Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm

Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên củahàm số, ta thờng lại hàm số dới dạng:

y = f(x) = αx + β +

dx e

γ+ .Miền xác định D = Ă \{−e

d}

§¹o hµm:

y' = α − 2

d(dx e)

γ+ =

2

2

(dx e) d(dx e)

2+ +

+

,B¶ng biÕn thiªn: cã 4 trêng hîp kh¸c nhau vÒ chiÒu biÕn thiªn

 ≥ ∀ ∈



b Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng k

y' 0, x [a-k; a] , dấuđẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm của [a-k; a] và x [a-k; a] không thoả mã n

Chú ý: Để giải các biểu thức điều kiện của y' phơng pháp đợc sử dụng

phổ biến nhất là phơng pháp tam thức bậc hai, tuy nhiên trongnhững trờng hợp riêng biệt có thể sử dụng ngay phơng pháp hàm

Vậy, với m = 3 thỏa mãn điều kiện đầu bài

b Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Cách 1: Hàm số đồng biến trên khoảng [0;+ ∞) khi:

y' ≥ 0, ∀x∈[0;+ ∞) ⇔ f(x) ≥ 0, ∀x∈[0;+ ∞)

(m 3) 0 (m 3) 0

m 3

0 6 m/12 0

Vậy, với m ≥ 0 thỏa mãn điều kiện đầu bài

Cách 3: Hàm số đồng biến trên khoảng [0;+ ∞) khi:

Vậy, với m ≥ 3 thỏa mãn điều kiện đầu bài

d Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi:

y' ≤ 0, trên đoạn có độ dài bằng 1

⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn |x1 − x2| = 1



Nhận xét: Trong lời giải trên:

 Với nội dung câu b), các em có thể thấy rằng phơng pháphàm số thờng đợc u tiên lựa chọn

 Với nội dung câu c), ta nhớ lại rằng phơng trình ax2 + bx + c

= 0 (a ≠ 0) nếu có hai nghiệm x1, x2 thì:

Với giá trị nào của m:

a Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó ?

a Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi:

y' ≤ 0, ∀x∈D và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm

⇔ 1 − m < 0 ⇔ m > 1

Vậy, với m > 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

b Trớc hết là hàm số cần xác định trên (0; +∞), điều kiện là m ≥ 0 (*)Hàm số đồng biến với trên (0; +∞) khi:

y' ≥ 0, ∀x∈(0; +∞) và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm

⇔ 1 − m > 0 ⇔ m < 1 ⇔ ≤ <(*) 0 m 1.

Vậy, với 0 m 1≤ < thoả mãn điều kiện đầu bài



Chú ý: Rất nhiều học sinh khi thực hiện bài toán trên:

a.ở câu a), đã nhận cả nghiệm m = 1, bởi thiết lập điều kiện

là 1 − m ≤ 0 Các em học sinh cần nhớ kỹ nội dung định lí2

b.ở câu b), đã không kiểm tra điều kiện xác định của hàm

số trên khoảng (−∞; 0)

Ngoài ra, các em học sinh cũng cần nhớ rằng hàm phân thứcbậc nhất trên bậc nhất luôn đơn điệu trên miền xác định củanó

x 1 Với giá trị nào của m:

a Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó ?

a Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi:

y' ≥ 0, ∀x∈D và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm

⇔ x2 − 2x + 1 − m2 ≥ 0, ∀x∈D và dấu "=" chỉ xảy ra tại một số hữu hạn

điểm

⇔∆’ ≤ 0 ⇔ m2 ≤ 0 ⇔ m = 0

Vậy, với m = 0 thoả mãn điều kiện đầu bài

b Nhận xét rằng y’ chỉ nhận giá trị âm trong khoảng (x1; x2)\{1}

Từ đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 1) và (2; 4) khi:

Chú ý Để hiểu đợc lập luận trong lời giải câu b) của ví dụ trên các em

học sinh hãy phác thảo bảng biến thiên của hàm số, cụ thể:

Chú ý Để hiểu đợc lập luận trong lời giải trên các em học sinh hãy lựa

chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Nhận thấy đồ thị hàm số f(x) = x2 − m là một Parabolnhận trục Oy làm trục đối xứng và cắt Oy tại điểm S(0; −m)

Cách 2: Sử dụng khái niệm đờng tròn của hình học giải tích

trong mặt phẳng

Dạng toán 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh

đẳng thức, bất đẳng thức

Phơng pháp

Bằng việc xét hàm số f(x) trên đoạn [a; b], ta có:

a Nếu f'(x) = 0, ∀x∈[a; b] ⇔ Hàm số f(x) là hàm hằng trên [a; b]

2

3 không phụ thuộc vào x



Nhận xét: Qua thí dụ trên các em học sinh đã biết cách trình bày dạng

toán "ứng dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh

đẳng thức " Và ở đây, các em cần nhớ rằng cũng có thể sử

dụng các phép biến đổi lợng giác thuần tuý để thực hiệnyêu cầu trên, cụ thể ở đây ta sử dụng các công thức hạ bậc

Thí dụ 2 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a sinx < x với mọi x > 0 b sinx > x với mọi x < 0.

 Giải

⇔ sinx < x với 0 < x <

2

π

b Sử dụng kết quả trên với lập luận:

x < 0 ⇔−x > 0 ⇒ sin(−x) < −x ⇔−sinx < −x ⇔ sinx > x, đpcm



Nhận xét: 1 Qua thí dụ trên các em học sinh đã biết cách trình bày dạng

toán "ứng dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất

đẳng thức" Và ở đây, các em cần nhớ rằng phơng pháp

này thờng đợc áp dụng cho những bất đẳng thức khôngmẫu mực

2 Đôi khi chúng ta không thể khẳng định đợc ngay rằng f'(x)

≥ 0, ∀x∈[a; b] (hoặc f '(x) ≤ 0, ∀x∈[a; b]), trong các trờnghợp nh vậy, một thủ thuật thông thờng đợc áp dụng làchúng ta liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩnx

3 Từ những bất đẳng thức đơn giản trên ngời ta có thểxây dựng ra những bất đẳng thức phức tạp hơn, cụ thể:

Với bất đẳng thức sinx < x chúng ta xây dựng đợc bài toán:

"Chứng minh rằng trong mọi ∆ABC nhọn ta đều có:

sinA + sinB + sinC < π"

Với bất đẳng thức tanx > x chúng ta xây dựng đợc bài toán:

"Chứng minh rằng trong mọi ∆ABC nhọn ta đều có:

tanA + tanB + tanC > π"

Và khi đó, để chứng minh những bất đẳng thức dạngtrên chúng ta cần thực hiện theo các bớc:

Bớc 1:Lựa chọn hàm đặc trng (y = sinx − x hoặc tanx − x)

Bớc 2:Chứng minh hàm số luôn đơn điệu trên D

Bớc 3:áp dụng

Thí dụ 3 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a sinx > x − x63 với mọi x > 0 b sinx < x − x63 với mọi x < 0

f'''(x) = −1 + cosx < 0 với x > 0 ⇔ f''(x) nghịch biến với x > 0

⇒ f''(x) < f''(0) với x > 0 ⇔ f''(x) < 0 với x > 0 ⇔ f'(x) nghịch biến với x >

Chú ý: Ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ một phơng pháp khác, đó là sử dụng

các phép biến đổi đại số để xác định dấu của y’

∈ =  ữ ta có:

cosx + 2

1cos x − 2 > cos2x + 2

1cos x − 2 Côsi≥ 2 − 2 = 0

⇔ sinx + tanx > 2x với mọi x ∈ D.



Chú ý: 1 Bất đẳng thức sát hơn so với bất đẳng thức trên là:

2sinx + tanx > 3x với mọi x ∈ 0;

2 Và từ bất đẳng thức này ngời ta xây dựng đợc:

"Chứng minh rằng trong mọi ∆ABC nhọn ta đều có:

(sin A sin B sin C) (ta n A ta n B ta n C) "

Và để giải bài toán trên ta thực hiện nh sau:

Viết lại bất đẳng thức dới dạng:

2(sin A sin B sin C) (ta n A ta n B ta n C) 3+ + + + + > π(2sin A ta n A 3A) (2sin B tan B 3B)

Bớc 2: Xét các hàm số y = f(x) và y = g(x).

Dùng lập luận khẳng định hàm số y = f(x) là đồng biến cònhàm số y = g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến

Bớc 3: Khi đó, phơng trình (2) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

2

π

≠ + π ∈Â , ta có:

2 2

Nhận xét: Qua thí dụ trên các em học sinh đã biết cách trình bày dạng

toán "ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải phơng

Tíi ®©y ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

C¸ch 1: ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng:

nªn x = 0 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh

C¸ch 3: ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng:

1 x (1 x)− + − = 1 x (1 x) + + + (1)

XÐt hµm sè f (t)= t +t3 trªn trªn D = [0; +∞), ta cã:

21

 − + > ∨ <



+ + < <

Mặt khác ta có f(1) = 0, suy ra bất phơng trình có nghiệm là x > 1



Nhận xét: Qua thí dụ trên các em học sinh đã biết cách trình bày dạng

toán "ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải bất phơng

0m

2 m 2

0m

Ta xét từng trờng hợp của m để giải (2):

sinx + x = siny + y (*)

Xét hàm số f(t) = sint + t trên D, ta có:

f '(t) = cost + 1 > 0 với x D∈ ⇔ Hàm số f(t) đồng biến trên D

Vậy, phơng trình (*) đợc viết dới dạng:

Nhận xét: Qua thí dụ trên các em học sinh đã biết cách trình bày dạng

toán "ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải hệ phơng

Bớc 3: Lựa chọn một trong hai hớng:

Hớng 1: Nếu xét dấu đợc y' thì lập bảng biến thiên rồi đa ra kết

luận dựa vào định lí:

Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trong

khoảng (a; b) và y'(x0) = 0 với x0∈(a; b)

a Nếu qua x0 đạo hàm đổi dấu từ âm sang dơng

b Nếu qua x0 đạo hàm đổi dấu từ dơng sang âm

Hớng 2: Nếu không xét dấu đợc y' thì:

Tìm đạo hàm bậc hai y"

Tính y''(x0) rồi đa ra kết luận dựa vào định lí:

Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trong

khoảng (a; b) và y'(x0) = 0 với x0∈(a; b)

a Nếu y''(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

b Nếu y''(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

Nhận xét: Qua thí dụ trên các em học sinh đã biết hai cách trình bày

dạng toán "Tìm cực trị của hàm số" dựa trên hai quy tắc tơng

ứng Và ở đây, các em cần nhớ rằng quy tắc 2 thờng chỉ đợc

sử dụng khi gặp khó khăn trong việc xét dấu y’ hoặc với bàitoán chứa tham số.

Và bắt dầu từ đây, việc đa ra lời kết luận dựa theo bảngbiến thiên đợc dành cho bạn đọc

Thí dụ 2 Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số:

Bảng biến thiên:

∞

Nhận xét: Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất tổng quát có 2 cực trị

hoặc không có cực trị Các em học sinh cần nhớ rằng giá trịcực trị của hàm phân thức y u(x)

2 0

0

0

u(x )v(x ) = y(x0), đpcm.Kết quả trên đợc sử dụng để:

1 Xác định giá trị cực trị của các hàm phân thức hữu tỉ.

2 Lập phơng trình đờng thẳng, đờng cong đi qua các điểmcực trị của các hàm phân thức hữu tỉ

Ngoài ra, với hàm phân thức hữu tỉ có cực đại và cực tiểuthì yCĐ < yCT , điều này khẳng định sự khác biệt giữakhái niệm về cực đại, cực tiểu và giá trị lớn nhất, nhỏ nhấtcủa hàm số

Để tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ta thựchiện theo các bớc sau:

y’ = 0 ⇒ nghiệm (nếu có)

Bớc 4: Bảng biến thiên, từ đó đa ra lời kết luận.

Chú ý: Các ví dụ 2, 3, 4, 5 đã miêu tả cực trị của ba dạng hàm số cơ bản

trong chơng trình phổ thông Các thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ

việc sử dụng dấu hiệu 2 cho các hàm lợng giác hoặc không mẫumực.

Thí dụ 6 Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của các hàm số:

a y = x − sin2x + 2 b y = 3 − 2cosx − cos2x

y' = 2sinx + 2sin2x, y'' = 2cosx + 4cos2x

y' = 0 ⇔ 2sinx + 2sin2x = 0 ⇔ 2(1 + 2cosx)sinx = 0

y''(kπ) = 2cos(kπ) + 4cos(2kπ) = 2cos(kπ) + 4 > 0

⇒ hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = kπ, k∈Â

Phơng pháp

Để thực hiện các yêu cầu về điều kiện có cực trị của hàm số y = f(x) tathực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Miền xác định

Bớc 2: Tính đạo hàm y'

Bớc 3: Lựa chọn theo một trong hai hớng:

Hớng 1: Nếu xét đợc dấu của y' thì sử dụng dấu hiệu I với lập

luận:

Hàm số có k cực trị

⇔ Phơng trình y' = 0 có k nghiệm phân biệt và

đổi dấu qua các nghiệm đó

Hớng 2: Nếu không xét đợc dấu của y' hoặc bài toán yêu cầu cụ

thể về cực đại hoạc cực tiểu thì sử dụng dấu hiệu II,bằng việc tính thêm y" Khi đó:

1 Hàm số có cực trị ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D

y' 0y'' 0

luôn có cực đại và cực tiểu.

1(x m)− = 0 ⇔ (x − m)2− 1 = 0 ⇔ x1, 2 = m ± 1 ∈ D

Tức là y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt thuộc D và đổi dấu qua hainghiệm này, do đó hàm số luôn có cực đại và cực tiểu



Nhận xét: Qua thí dụ trên các em học sinh đã biết cách trình bày dạng

toán "Chứng minh hàm số luôn có cực trị " dựa trên quy tắc 1 Trong trờng hợp bài toán trên đợc phát biểu dới dạng "Tìm m

để hàm số có cực trị" thì để tăng độ khó cho yêu cầu ngời

ta thờng đòi hỏi thêm nh sau:

a Hoành độ (hoặc tung độ) các điểm cực trị thuộc khoảng

K, khi đó chúng ta chỉ cần thiết lập điều kiện :

m ± 1 ∈ K hoặc y(m ± 1) ∈ K ⇔ [2x − m(m+1)](m ± 1) ∈ K

b Toạ độ các điểm cực trị thoả mãn điều kiện K, khi đó

chúng ta thực hiện:

 Toạ độ các điểm cực trị là:

(m + 1, 2 + m − m2) và (m − 1, −2 + m − m2)

 Thiết lập điều kiện K, từ đó nhận đợc giá trị của m

c Phơng trình đờng thẳng đi qua các điểm cực trị thoả

mãn điều kiện K, khi đó chúng ta thực hiện:

 Phơng trình đờng thẳng đi qua các điểm cực trị là:

Thí dụ 2 Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c

điểm A(1; 0).

 Giải

Đạo hàm f'(x) = 3x2 + 2ax + b và f”(x) = 6x + 2a

Để hàm số đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = −2 và đồ thị của hàm số điqua điểm A(1; 0) điều kiện là:

Nhận xét: Qua thí dụ trên các em học sinh đã biết hai cách trình bày

dạng toán "Tìm điều kiện để hàm số có cực trị tại điểm x0"dựa trên quy tắc 2

Thí dụ 3 Tìm m để các hàm số sau có cực trị:

a 1 3 2 2

y x mx (2m 3m 2)x 83

Vậy, với m 1< thỏa mãn điều kiện đầu bài.



Nhận xét: Qua thí dụ trên các em học sinh đã biết hai cách trình bày

dạng toán "Tìm điều kiện để hàm số có cực trị " dựa trên

hai quy tắc tơng ứng Và ở đây, các em cần nhớ rằng quytắc 2 thờng chỉ đợc sử dụng khi gặp khó khăn trong việcxét dấu y’ hoặc yêu cầu cụ thể về cực đại, cực tiểu của hàmsố

sao cho hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f(0) = 0 và đạt cực

đại tại điểm x = 1, f(1) = 1.