2 mu va logarit

Nhận xét: Trong lời giải trên:  Ở câu a, chúng ta đã sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để chuyểnphương trình về dạng tích.. D¹ng to¸n 2: Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trì

CHƯƠNG 2 - HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

Định nghĩa 2: ( Căn bậc n): Với n nguyên dương căn bậc n của số thực a là số thực b (nếu có) sao cho bn =

a

Ta thừa nhận hai khẳng định sau đây:

Định nghĩa 3: ( Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ): Cho a là số thực dương và r là một số hữu tỉ Giả sử r = m

Định lí 1: Cho m, n là những số nguyên Khi đó:

Hệ quả: Khi a > 1 thì logab > 0  b > 1

Hệ quả: Khi 0 < a < 1 thì logab > 0  b < 1

Các quy tắc tính lôgarit

Định lí 2: Với a dương khác 1 và các số dương b, c, ta có:

b

c ,

trường hợp chỉ có bc > 0 thì logab

Hệ quả: Với n nguyên dương thì

nlogab

Đổi cơ số của lôgarit

Định lí 3: Với a, b dương khác 1 và số dương c, ta có:

a

log clog b hay logab.logbc = logac

Hệ quả: Ta có:

a log

c Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J thì với mọi x  J, ta có

IV HÀM SỐ LOGARIT

Định nghĩa: Hàm số logarit cơ số a (0 < a  1) có dạng y = logax

Đạo hàm của hàm số mũ: Ta ghi nhận các kết quả sau:

2 Sự biến thiên: Hàm số đơn điệu với mọi x.

3 Đồ thị của hàm số có 2k, k dạng và:

V HÀM SỐ LUỸ THỪA

Định nghĩa: Hàm số lũy thừa là hàm số xác định bởi công thức y = x, với  là hằng số tùy ý

Tập xác định là (0; +), trừ các trường hợp sau:

Đạo hàm của hàm số lũy thừa: Ta ghi nhận các kết quả sau:

b Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm và u(x) > 0 trên J thì:

Chú ý: 1 Với n là số nguyên tùy ý, ta có (xn)' = n.xn  1 với mọi x  0; và nếu u = u(x) là hàm số có đạo

hàm và u(x)  0 trên J thì (un)' = n.u'.un  1, với mọi x  J

2k, k Ta có:

(nx)' = n1n 1

n x  , với mọi x > 0 nếu n chẵn, với mọi x  0 nếu n lẻ

3 Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J và thỏa mãn điều kiện u(x) > 0 với mọi x thuộc Jkhi n chẵn, u(x)  0 với mọi x thuộc J khi n lẻ thì:

(nu)' = nu 'n 1

n u 

VI CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

1 Phương trình mũ cơ bản có dạng ax = m, trong đó a > 0 và m là số đã cho

Khi đó:

Ta có các kết quả:

2 Phương trình lôgarit cơ bản có dạng logax = m, trong đó m là số đã cho

Ta phải có điều kiện x > 0 và 0 < a  1

Ta có các kết quả:

3 Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

a Phương pháp đưa về cùng cơ số

b Phương pháp đặt ẩn phụ

c Phương pháp lôgarit hóa: Ta có thể giải một phương trình có hai vế luôn dương bằng cách lấy

lôgarit hai vế theo cùng một cơ số thích hợp

d Phương pháp sử dụng tính chất đồng biến hay nghịch biến của hàm số

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN







chúng ta thực hiện nhómnhân tử chung e2k, k

 Ở câu b), chúng ta tách giới hạn ban đầu thành hai giới hạn cơ bản bằng việc thêmbớt 1

2 3x 2

x 0

e elim

x 0

5 2k, k lim

limx

D¹ng to¸n 2: Tập xác định của hàm số mũ và lôgarit

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1Khẳng định rằng hàm số xác định tại điểm x0, tính f(x0)

Vậy, với a = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài.

D¹ng to¸n 4: Tính đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, mũ, lôgarit và hàm số hợp của chúng



2 2 x 2x

2x

2x e2x e 1

a Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số (C).

b Biện luận theo a số nghiệm của phương trình xe-2k, k x = a

c Tìm b để phương trình sinx.e-2k, k sinx = b có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng [0;

(2) Sự biến thiên của hàm số:

Vậy, điều kiện là đường thẳng y = b cắt đồ thị (C) phần [0; 1] tại đúng một điểm:

y' ≥ 0 với mọi x   mx + 1 ≥ 0 với mọi x   m = 0

b Hàm số có cực trị khi:

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất  m  0

c Hàm số có cực tiểu khi (1) có nghiệm duy nhất và qua đó y' đổi dấu từ  sang +, tức m > 0

Vậy, phương trình có nghiệm là x = 6

Nhận xét: Trong lời giải trên:

 Với phương trình af(x) = bg(x) ta cần chọn phần tử trung gian c để biến đổi phươngtrình về dạng:

(c)f(x) = (c)g(x)  cf(x) = cg(x)  f(x) = g(x),

 Với phương trình ax3 + bx2k, k + cx + d = 0 ta sử dụng kết quả “Nếu a, b, c, d nguyên

và phương trình có nghiệm hữu tỷ p

q thì p, q theo thứ tự là ước của d và a" để đoán

Vậy, phương trình có nghiệm là x = 1

Vậy, phương trình có nghiệm là x = 4

Nhận xét: Trong lời giải trên ở câu a), chúng ta đã sử dụng kết quả trong chú ý ở cuối dạng 1 để tránh

phải kiểm tra điều kiện x3  4x2k, k + 2k, k x + 6 > 0

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:

2k, k log3[1 + log2k, k (1 + 3log2k, k x)]} = 2k, k  log3[1 + log2k, k (1 + 3log2k, k x)] = 1

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2k, k

Nhận xét: Trong lời giải trên:

 Ở câu a), chúng ta đã sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để chuyểnphương trình về dạng tích Và từ đó, nhận được hai phương trình mũ dạng 2k, k

 Ở câu b), chúng ta đã sử dụng phương pháp biến đổi dần để loại bỏ được lôgarit.Cách thực hiện này giúp chúng ta tránh được phải đặt điểu kiện có nghĩa chophương trình

D¹ng to¸n 2: Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình mũ và lôgarit

Phương pháp

Phương pháp dùng ẩn phụ là việc sử dụng một (hoặc nhiều) ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu

thành một phương trình hoặc hệ phương trình với một (hoặc nhiều) ẩn phụ

Dạng 2: Phương trình 1ax + 2k, k bx + 3 = 0, với a.b = 1

ab

 

 

  + 2k, k

ab

 

 

  + 3 = 0Đặt t =

xab

 

 

Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử a2k, k f, b2k, k f, (a.b)f , ta thực hiện theo các

bước sau:

- Đặt t =

fab

 

 

Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t > 0 cho trường hợp đặt t = af(x) vì:

 Nếu đặt t = ax thì t > 0 là điều kiện đúng

 Nếu đặt t = x 2 1

2  thì t > 0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều kiện cho t phải là t 2k, k Điều này đặc biệt quan trong cho lớp các bài toán có chứa tham số

Dạng 1: Nếu đặt t = logax với x > 0 thì k

alog x = tk, logxa = 1

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

x

1 2

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 2k, k

Nhận xét: Như vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã được làm quen với hai dạng đặt ẩn phụ cơ bản

Rồi thực tập bằng cách giải phương trình:

 

 

Vậy, phương trình có nghiệm x = 0

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:

Nhận xét: Như vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã được làm quen với dạng đặt ẩn phụ cơ bản của

 Với câu b), chúng ta cần sử dụng công thức đổi cơ số để làm xuất hiện ẩn phụ

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau:

a 2 8

4 16

log x log 4xlog 2x log 8x b 3

1log 4xlog x 3

3 log x log x log x

3 12 2.8  3 log x 2 2 log x 2 3 log x 2

 



 

Vậy, phương trình có nghiệm là x = 1

Nhận xét: Với câu b) các em học sinh có thể giảm bớt một lần đặt ẩn phụ bằng cách chia hai vế của

phương trình (*) cho 23 log x 2

Ví dụ 5 Giải phương trình lg2k, k x - lgx.log2k, k (4x) + 2k, k log2k, k x = 0

t2k, k - (2k, k + log2k, k x).t + 2k, k log2k, k x = 0

ta có:

 = (2k, k + log2k, k x)2k, k - 8x log2k, k x = (2k, k - log2k, k x)2k, k

suy ra phương trình có nghiệm:

Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 100 và x = 1

Chú ý: Một mở rộng khá tự nhiên của phương pháp đặt ẩn phụ kiểu này là chúng ta có thể sử dụng

ngay các hằng số hoặc các tham số trong phương trình để làm ẩn phụ, phương pháp này có

tên gọi là "Phương pháp hằng số biến thiên".

D¹ng to¸n 3: Phương pháp lôgarit hóa giải phương trình mũ và lôgarit

Phương pháp

Ta có thể giải một phương trình có hai vế luôn dương bằng cách lấy lôgarit hai vế theo cùng một cơ sốthích hợp

Cụ thể:

af(x) = bg(x)  logaaf(x) = logabg(x)  f(x) = g(x).loga b

Chú ý: Phương pháp logarit hoá tỏ ra rất hiệu lực khi hai vế phương trình có dạng tích các luỹ thừa.

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

a Ta trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Lấy logarit cơ số 3 hai vế của phương trình, ta được:

2log 23

3log 32

2log log 3

b Điều kiện x  0 Tới đây, ta trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Lấy logarit cơ số 5 hai vế của phương trình, ta được:

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:



= 53.2k, k 2k, k  5x - 3 x 3

x2



x 3x

Nhận xét: Như vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã được làm quen với phương pháp lôgarit hóa Và

ở đó:

 Với câu a) đã trình bày các cách lấy lôgarit hóa hai vế của một phương trình

 Với câu b) các em học sinh sẽ nhận thấy tính linh hoạt trong việc sử dụng các phépbiến đổi đại số trước khi thực hiện phép lôgarit hóa hai vế của một phương trình đểgiảm thiểu tính phức tạp

Ví dụ 2k, k Giải các phương trình sau:

D¹ng to¸n 4: Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số để giải phương trình mũ và lôgarit

Phương pháp

Ta sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1 Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a, b) thì phương trình f(x) = k có không quá một

nghiệm trong khoảng (a, b)

Phương pháp áp dụng: ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1Chuyển phương trình về dạng f(x) = k

Bước 2Xét hàm số y = f(x)

Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu ( giả sử đồng biến)

Bước 3Nhận xét:

Bước 4Vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Tính chất 2 Nếu hàm f tăng trong khoảng (a; b) và hàm g là hàm hằng hoặc là một hàm giảm trong khoảng

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

a 2k, k x + 3x = 5 b log2k, k (x + 2k, k ) + log3(x + 3) = 2k, k

a Nhận xét rằng:

Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

b Điều kiện x ≥ 2k, k Nhận xét rằng:

Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Ví dụ 2k, k Giải các phương trình sau:

a Nhận xét rằng:

Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 1 là nghiệm của phương trình vì:

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

b Nhận xét rằng:

Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 3 là nghiệm của phương trình vì:

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Ví dụ 3 Giải phương trình 31  x  log2k, k x  1 = 0

Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 1 là nghiệm của phương trình vì:

1 1

2

1

log 1 13

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Chú ý: 1 Đối với phương trình logarit có một dạng rất đặc biệt, đó là:

sax + b = clogs(dx + e) + x + với d = ac +  và e = bc +  (*)Với dạng phương trình này, ta thực hiện như sau:

Xét hàm số f(t) = sat + b + act là hàm đơn điệu trên R

Khi đó (3) được viết lại dưới dạng:

f(x) = f(y)  x = y

Khi đó (2k, k ) có dạng:

Dùng phương pháp hàm số để xác định nghiệm của (4)

2k, k Để sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu vềdạng thoả mãn điều kiện (*)

Khi đó (3) được viết lại dưới dạng:

Vậy theo định lý Rôn phương trình g(x) = 0 có không quá 2k, k nghiệm trên D.

Nhận xét rằng g(0) = g(1) = 0

Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1

Chú ý: Ta xét dạng phương trình lặp:

f[f(x)] = x, trong đó f(x) là hàm đồng biến trên tập xác định D

A(x) = A(y)  x = y

Khi đó (1) có dạng:

f(x) = x (4)Dùng phương pháp hàm số để xác định nghiệm của (4)

Ví dụ sau sẽ minh hoạ cụ thể dạng phương trình kiểu này

Ví dụ 5 Giải phương trình log2k, k [3log2k, k (3x - 1) - 1] = x

Cộng theo vế hai phương trình của (I), ta được:

1 32k, k 13

Suy ra hàm số đồng biến trên D

Khi đó (3) được viết lại dưới dạng:

g'(x) = 2k, k x.ln2k, k - 3, g''(x) = 2k, k x.ln2k, k 2k, k > 0, x  D

 g'(x) là hàm đồng biến trên D

Vậy theo định lý Rôn phương trình g(x) = 0 có không quá 2k, k nghiệm trên D.

log x

142k, k y3

2k, k x y 1

y3

Vậy, hệ phương trình có một cặp nghiệm (1; 3)

Nhận xét: Trong lời giải trên:

 Ở câu a), chúng ta sử dụng ngay phép thế y = x3 vào phương trình thứ nhất của hệ

 Ở câu b), để tường minh chúng ta có thể trình bày theo cách:

Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng:

2k, k x y 12k, k 2k, k 

  2k, k x y 1  y 2k, k x 1.  (1)

Biến đổi phương trình thứ hai của hệ về dạng:

3

1log x2k, k y3

3

1 log x 2k, k y3

Ví dụ 1 Giải các hệ phương trình:

a

x y 20log x log y 1 log 9

Vậy, hệ phương trình có nghiệm là (2k, k ; 18x ) hoặc (18x ; 2k, k )

b Biến đổi hệ phương trình về dạng:

161

Nhận xét: Trong lời giải trên:

 Ở câu a), bằng việc sử dụng công thức biến đổi tổng của hai logarit cùng cơ số(trong đó 1 = log44) chúng ta nhận được dạng Viét cho hai ẩn x, y

Ngoài ra, cũng có thể sử dụng phương pháp thế như sau:

Rút y = 2k, k 0  x từ phương trình thứ nhất của hệ thay vào phương trình thứ hai, tađược:

 Ở câu b), chúng ta đã sử dụng phép mũ hoá để nhận được tích của hai toán tử 42k, k x và

cần lưu ý cho hai dạng hệ phương trình ở a) và b)

Ngoài ra, cũng có thể sử dụng phương pháp thế như sau:

Rút y = 1  x từ phương trình thứ nhất của hệ thay vào phương trình thứ hai, tađược:

x y

x y 12k, k 2k, k 2k, k

log x log 7.log y 1 log 2

3 log y (1 3log x) log 5

log x log y 1 log 2

3 log y log 5 3log 5.log x

log x log y log 10

3 log x log y 3 log 5

y 32y

12x

Ví dụ 2k, k Giải các hệ phương trình sau:

a

2k, k 2k, k

lg x lg y 1x

lg 1y

v = v2k, k  v + 1  v2k, k + 1 = 0, vô nghiệm.

Vậy, hệ có nghiệm duy nhất (10; 10)

Chú ý: Với các em học sinh đã có kinh nghiệm trong việc giải toán thì:

 Ở câu a), chúng ta có thể trình bày (với điều kiện x > 0, y > 0) theo cách:

Vậy, hệ có hai cặp nghiệm (1; 1) và (3; 3)

Ví dụ 2k, k (ĐHQG Hà Nội  1995): Giải hệ phương trình:

Vậy, phương trình (3) được viết dưới dạng:

Vậy, hệ phương trình có 2k, k cặp nghiệm (1; 1) và (-1; -1)

Ví dụ 3 (ĐHQG Hà Nội  1995): Giải hệ phương trình:

2k, k 2k, k

log (x 1) y 1log y x

log2k, k (x + 1) + x = log2k, k y + y - 1  log2k, k (x + 1) + x + 1 = log2k, k y + y

Phương pháp

D ng 1:ạng 1: Với bất phương trình:

af(x)  ag(x) 

a 1f(x) g(x)

a 1

0 a 1f(x) g(x)

Cách 1: Bất phương trình được biến đổi về dạng:

Nhận xét: Như vậy, để thực hiện bài toán trên ở cả hai cách chúng ta đều thực hiện một công việc là

đưa bất phương trình về dạng có cùng cơ số, tuy nhiên:

 Trong cách 1, với việc sử dụng cơ số a < 1 nên dấu bất đẳng thức phải đổi chiều và đây

 Trong cách 2, với việc sử dụng cơ số a > 1 nên dấu bất đẳng thức không đổi chiều.Trong những trường hợp tương tự các em học hãy lựa chọn theo hướng này

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (3; 1)

Nhận xét: Như vậy, để thực hiện bài toán trên ở cả hai cách chúng ta đều thực hiện một công việc là

đưa bất phương trình về dạng có cùng cơ số, tuy nhiên:

 Trong cách 1, chúng ta đã tìm cách biến đổi 5 2 6 theo 3 2 và ở đây các em

 Trong cách 2, chúng ta đã sử dụng ý tưởng về cơ số trung gian đã biết trong phần

phương trình mũ

x2k, k  1 < log32k, k  x2k, k < 1 + log32k, k tham số x2k, k < log36  x  log 63

D¹ng to¸n 2: Phương pháp biến đổi tương đương cho bất phương trình lôgarit

Kết hợp với điều kiện (*) ta nhận được tập nghiệm của bất phương trình là (1; 4)

Cách 2: Bất phương trình biến đổi tương đương về dạng:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (1; 4)

Yêu cầu: Các em học sinh hãy so sánh hai cách giải trên và hãy trả lời câu hỏi "Có thể sử dụng cách 2

cho bất phương trình trong câu b) hay không ?".

Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng:

log5(x2k, k  6x + 18x ) + 2k, k log5(x  4) < 0  log5(x  4)2k, k < log5(x2k, k  6x + 18x )

 x2k, k  8x x + 16 < x2k, k  6x + 18x  2k, k x > 2k, k  x > 1 (**)

Kết hợp (*) và (**) ta được nghiệm của bất phương trình là x > 4

D¹ng to¸n 3: Phương pháp đặt ẩn phụ giải bất phương trình mũ và lôgarit