MỜI CÁC BẠN ĐẾN VỚI CÂU LẠC BỘ TOÁN THCS HỌC violet.vn/phamngocnam87 NƠI GIAO LƯU – TRAO ĐỔI VỀ CHUYấN MễN TOÁN THCS NƠI CUNG CẤP CÁC TÀI LỆU VỀ TOÁN TỪ A ĐẾN Z Giải bài toán về số và ch
Trang 1MỜI CÁC BẠN ĐẾN VỚI CÂU LẠC BỘ
TOÁN THCS HỌC
(violet.vn/phamngocnam87)
NƠI GIAO LƯU – TRAO ĐỔI VỀ CHUYấN
MễN TOÁN THCS NƠI CUNG CẤP CÁC TÀI LỆU VỀ TOÁN TỪ
A ĐẾN Z
Giải bài toán
về số và chữ số
nh thế nào ?
PHẠM NGỌC NAM
(Gv: Trường Trung Tiểu Học Pộ Trus
Ký-TX.TDM-Bỡnh Dương)
* * * * * * * * * * *
Bài toán về số và chữ số viết trong hệ thập phân
thờng gặp từ cuối cấp tiểu học đến cấp trung học
và có tác dụng lớn trong việc rèn luyện t duy cho
học sinh Việc lựa chọn cách giải tuỳ thuộc vào giả
thiết của từng bài toán và kiến thức của từng lớp
Dới đây xin trình bày một số cách giải đối với
các bài toán dạng này
1 Phơng pháp xét chữ số tận cùng
Ví dụ Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp
9 lần chữ số hàng đơn vị.
Giải : Gọi số phải tìm là ab (a ≠ 0 ; a, b < 10)
Theo bài ra ta có : ab = b x 9
Vì a ≠ 0 nên b ≠ 0 Vì b x 9 có tận cùng là b (khác
0) nên b = 5
Do đó : ab = 5 x 9 = 45
2 Phơng pháp sử dụng tính chẵn - lẻ
Ví dụ Có một số gồm hai chữ số mà hai lần
chữ số hàng chục thì bằng 5 lần chữ số hàng
đơn vị Tìm số đó.
Giải : Gọi số phải tìm là ab (a ≠ 0 ; a, b < 10)
Theo bài ra ta có : a x 2 = b x 5
- Vì a x 2 là số chẵn nên b x 5 cũng phải là số chẵn
; mà 5 là số lẻ nên b phải là số chẵn
- Vì giá trị lớn nhất của a là 9 nên a x 2 có giá trị
lớn nhất là 9 x 2 = 18 ; do đó giá trị lớn nhất của b
x 5 cũng chỉ là 18 Vì thế giá trị lớn nhất của b
cũng chỉ là 3 (vì nếu b = 4 thì 4 x 5 = 20 > 18),
mà b là số chẵn nên b = 2 và a x 2 = 2 x 5
Suy ra : a = 5 Số cần tìm là 52
3 Phơng pháp thử – chọn
Ví dụ Tìm tất cả các số có ba chữ số khác nhau abc sao cho:
a
1
+
b
1
+
c
1
= 1
Giải : Giả sử a < b < c, suy ra
c
1
<
b
1
<
a
1
Do đó ta có :
a
1
+
b
1
+
c
1
<
a
1
+
a
1
+
a
1
Hay : 1 <
a
1
x 3 nên suy ra a < 3 Mà a lớn hơn 1, vậy a = 2 Với a = 2 thì
2
1
+
b
1
+
c
1
= 1 Suy ra :
b
1
+
c
1
=
2
1
Suy ra b và c phải lớn hơn 2
Hơn nữa :
2
1
=
b
1
+
c
1
<
b
1
+
b
1
=
b
1
x 2 Suy ra
b < 4 Vậy b = 3 Khi đó ta có :
3
1
+
c
1
=
2
1
Suy
ra : c = 6 Nhng a, b, c bình đẳng với nhau nên các số phải tìm là : 236, 263, 326, 362, 632, 623
4 Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết
Ví dụ Tìm số abc biết rằng :
7
ac
=
3 2
Giải : Ta có : b7 < 100 và 7 chia hết cho 3
Do đó b = 2 ; 5 ; 8
- Với b = 2 thì 27 : 3 = 9 Suy ra ac = 2 x 9 = 18 Vậy abc = 128
- Với b = 5 thì 57 : 3 = 19 Suy ra ac = 2 x 19 =
38 Vậy abc = 358
- Với b = 8 thì 87 : 3 = 29 Suy ra ac = 2 x 29 =
58 Vậy abc = 588 Vậy có ba số thoả mãn điều kiện bài toán là abc = 128 ; 358 ; 588
5 Phơng pháp sử dụng chặn trên, chặn dới
Ví dụ Tìm các số tự nhiên a và b sao cho :
a
4
+
3
b
=
6 5
Trang 2Giải: Vì
a
4
+
3
b
=
6
5
mà
6
5
< 1 nên
3
b
< 1 (vì
a
4
≠ 0) Do đó : b < 3 Vì
a
4
+
3
b
=
6
5
nên
a
4
=
6
5
-
3
b
Nếu b = 0 thì
a
4
=
6
5
Không có giá trị tự nhiên nào của a để có
a
4
=
6
5
Nếu b = 1 thì
a
4
=
6
5
-
3
1
Ta tìm đợc a = 8
Nếu b = 2 thì
a
4
=
6
5
-
3
2
Ta tìm đợc a = 24
Vậy ta tìm đợc a = 8, b = 1 và a = 24, b = 2
6 Phơng pháp sử dụng
kỹ thuật thực hiện phép tính
Ví dụ Tìm số có bốn chữ số, biết rằng nếu số
đó nhân với 9 thì đợc một số có bốn chữ số nhng
đợc viết theo thứ tự ngợc lại với số phải tìm.
Giải: Gọi số phải tìm là abcd (a ≠ 0 ; a, b, c, d <
10), số viết theo thứ tự ngợc lại là dcba Theo bài
ra ta có :
abcd
x 9
dcba
Vì tích là số có 4 chữ số (dcba)
nên a = 1 và d = 9
Khi đó ta có :
9
1bc
x 9
1
9cb
Khi nhân chữ số hàng trăm của số bị
nhân (b) với 9 thì phép nhân này không
nhớ sang hàng nghìn (vì nếu có nhớ sang
hàng nghìn thì tích sẽ là số có 5 chữ số)
Do đó b = 0 hoặc b = 1
Nếu b = 0 thì ta có
9
10c
x 9
01
9c
Khi đó 9 x 9 = 81, viết 1 nhớ 8
c x 9 + 8 = 0 hay c x 9 có tận cùng là 2
Do đó c = 8 để 8 x 9 = 72 Thử : 1089 x
9 = 9801 (đúng với đầu bài)
Nếu b = 1 thì ta có :
9
11c
x 9
11
9c
Khi đó 9 x 9 = 81, viết 1 nhớ 8
c x 9 + 8 = 1 hay c x 9 phải có tận cùng
là 3 Do đó c = 7 để 7 x 9 = 63
Thử : 1179 x 9 = 10611, trái với bài ra
vì tích có 5 chữ số
Vậy số cần tìm là 1089
7 Phơng pháp phối hợp nhiều cách giải
Ví dụ Tìm số gồm ba chữ số có hàng trăm là
1 và số đó bằng 17 lần tổng các chữ số của nó.
Giải: Gọi số phải tìm là 1ab (a, b < 10)
Theo bài ra ta có : (1 + a + b) x 17 = 1ab 17+ a x 17 + b x 17 = 1ab(một tổng nhân một số)
a x 17+ b x 17 = 1ab - 17(tìm 1 số hạng của tổng)
a x 17 + b x 17 = 100 + a x 10 + b – 17
a x 7 + b x 16 = 83
Vì tổng là số lẻ (83), b x 16 là số chẵn nên a x 7 phải là số lẻ, do đó a phải là số lẻ Xét các trờng hợp của a, ta có :
*) Nếu a = 1 thì b x 16 = 83 – 1 x 7 = 76
(b = 76 : 16 đây là phép chia có d nên loại)
*) Nếu a = 3 thì b x 16 = 83 – 3 x 7 = 62
(b = 62 : 16 đây là phép chia có d nên loại)
*) Nếu a = 5 thì b x 16 = 83 – 5 x 7 = 48
b = 48 : 16 = 3
Thử : (1 + 5 + 3) x 17 = 153 Đúng với yêu cầu
*) Nếu a = 7 thì b x 16 = 83 – 7 x 7 = 34
(b = 34 : 16 đây là phép chia có d nên loại)
*) Nếu a = 9 thì b x 16 = 83 – 9 x 7 = 20
(b = 20 : 16 đây là phép chia có d nên loại) Vậy số phải tìm là 153
Để làm quen với các phơng pháp trên, các bạn hãy giải các bài toán sau nhé :
Bài 1 Tìm abcd biết :
dcba + dcb + dc + d = 4321
Đáp số : 1983
Bài 2 Tìm các số tự nhiên a và b sao cho :
3
a
-
b
4
=
5 1
Đáp số : a = 3 và b = 5
Bài 3 Cho phân số
b
a
có giá trị bằng
4
3
Nếu giảm mẫu số đi 12 và giữ nguyên tử số thì đợc phân số mới có giá trị bằng
7
6
Tìm phân số
b
a
Đáp số :
96 72
Bài 4 Hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất N gồm chín
chữ số là N = abc deg hik, biết rằng : ab chia hết cho 2 ; abc chia hết cho 3 ; abcd chia hết cho 4 ;
abcde chia hết cho 5 ; abcdeg chia hết cho 6 ;
h abc deg chia hết cho 7 ; abc deg hi chia hết cho
8 và abc deg hik chia hết cho 9
Đáp số : 102000564
Trang 3Bài 1: Tìm một số có 4 chữ số, biết rằng tích hai
chữ số ngoài cùng là 40, tích 2 số giữa là 28,
chữ số hàng nghìn nhỏ hơn cưữ số hàng đơn vị,
chữ số hàng trăm nhỏ hơn chữ số hàng chục.
Bài 2: Cho 1 số có 4 chữ số là số tự nhiên liên
tiếp Số này tăng lên bao nhiêu nếu các chữ số
của nó được xếp theo thứ tự ngược lại
Bài 3: Tìm các chữ số a,b,c biết: abcd + abc + ab
+ a = 1111
Bài 4: Khi xóa đi chữ số hàng trăm của số tự
nhiên có 3 chữ số thì số đó giảm đi 7 lần Tìm số
có 3 chữ số đó.
Hướng dẫn một vài bài :
Bài 2:
Gọi số đó là abcd ( có gạch trên).
b= a+1
c= a+2
d= a+3
Ta có:
abcd = 1000*a + 100*b + 10*c + d
= 1000*a + 100*(a+1) + 10*(a+2) + a+3
= 1000*a + 100*a + 100 + 10*a + 20 +
a+3
= 1111*a + 123
dcba = 1000*d + 100*c + 10*b + a
= 1000*(a+3) + 100*(a+2) + 10*(a+1) +
a
= 1000*a + 3000 + 100*a + 200 + 10*a +
10 + a
= 1111*a + 3210
abcd – dcba = 1111*a + 3210 - (1111*a +
123)
= 3210 - 123
= 3087
Bài 3:
Gọi số đó là abcd (có gạch trên)
điều kiện a khác 0, ( ko nói gì tới b,c,d nên
có thể không khác nhau)
abcd + abc + ab+a= 1111
<=> (a*1000+b*100+c*10+d) +
(a*100+b*10+c) + (a*10+b) + a = 1111
<=> a*1111 + b*111+c*11+d = 1111
=> a = 1 để thoả mãn điều kiện số có 4
chữ số
=> b=c=d=0
số cần tìm là 1000
Bài 5 : Tìm số tự nhiên bé nhất sao cho số đó chia cho 3 dư 2,cho 4 dư 3 cho 5 dư 4 và cho 7
dư 6.
chia X cho 3, 4, 5 và 7 ta đều được số dư lớn nhất
Vậy ta có X+1 chia hết cho 3,4,5 và 7 suy
ra X +1 chia hết cho tích 3*4*5*7=420
X là số tự nhiên bé nhất nên X+1 = 420 suy ra X = 420 -1 = 419
Bài 6 : Lan nói một số có 4 chữ số bất kì sẽ bằng 1/5 số viết theo thứ tự ngược lại Đố bạn biết Lan nói đúng hay sai ?
HD : Gọi số đó là (a > 0 ; a, b, c, d
< 10) Số viết theo thứ tự ngược lại
là Theo đầu bài ta có :
Nhưng d x 5 có tận cùng là 0 hoặc 5 (khác 1) nên không tìm được giá trị của
a hoặc d Vậy bạn Lan nói sai.