SKKN Bài toán dãy số và giới hạn

- Nội dung chi tiết sáng kiến kinh nghiệm: 6 phương pháp chung giải bài toán giới hạn và bài tập rèn luyện.. Trong chương trình của các lớp chuyên toán và kì thi học sinh giỏi quốc gia t

MỤC LỤC

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3

- Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho các em theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề - Luôn hướng dẫn học sinh thực hiện tương tự hóa để tìm lời giải cho bài toán mới - Rèn luyện cho học sinh thực hiện phân chia ra thành các công đoạn để dễ thực hiện giải toán - Luôn linh hoạt trong giải toán, kết hợp thành thục giữa các phương pháp - Nội dung chi tiết sáng kiến kinh nghiệm: 6 phương pháp chung giải bài toán giới hạn và bài tập rèn luyện 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 14

3 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 15

3.2 Kiến nghị 15

Tài liệu tham khảo 16

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài.

Trong chương trình của các lớp chuyên toán và kì thi học sinh giỏi quốc gia trung học phổ thông, bài toán về giới hạn dãy số thực đóng một vai trò quan trọng Để giải được bài toán về giới hạn dãy số, đòi hỏi các em bước đầu có tư duy về giải tích; biết vận dụng các kiến thức về hàm liên tục, đạo hàm Hơn nữa, chúng ta mong mỏi

là tạo ra sự hứng thú trong học tập, đồng thời giúp các em rèn luyện phương pháp

xử lí những bài về giới hạn mà còn vận dụng thành thạo tư duy đó cho các loại bài

tập khác Trong khuôn khổ đề tài “Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi phần dãy số và giới hạn”, tác giả chỉ nêu một số phương pháp thường dùng để các em

giải quyết bài toán một cách khoa học hơn, có cơ sở và có tính sáng tạo hơn Từ đó giúp các em củng cố kiến thức, rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học, trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho kỳ thi Học sinh giỏi năm học 2018-2019

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là tìm ra các phương pháp giúp học sinh tiếp cận và có nền tảng kiến thức cơ bản để xử lí bài toán dãy số, rèn luyện khả năng suy nghĩ độc lập, tìm tòi, và phát hiện vấn đề

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là các đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Trường THPT chuyên Lam Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về Dãy số, Giới han, Phương pháp dạy học môn Toán, có liên quan đến đề tài Sáng kiến kinh nghiệm

Quan sát: Quan sát thực trạng Dạy - Học của các lớp chuyên Toán 10,11 nói chung

và đội tuyển HSG môn Toán nói riêng phần Dãy số-Giới hạn ở Trường THPT chuyên lam Sơn

Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của việc vận dụng dạy học một số nội dung trong phần Dãy số-Giới han vào dạy các lớp chuyên Toán 10,11 và đội tuyển học sinh giỏi Toán ở Trường THPT chuyên Lam Sơn

2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

1 Định lí Weierstrass Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì có giới hạn hữu hạn (hội tụ)

2 Định lí Lagrange Cho hàm f : [a; b] → R, có đạo hàm trên tập xác định, khi đó tồn tại c ∈ (a; b) sao cho

f (b) − f (a) = f0(c)(b − a)

3 Nguyên lí kẹp.Nếu 3 dãy (an), (bn), (cn)thỏa mãn an≤ bn ≤ cnvà lim an = lim cn = b hữu hạn thì (bn)cũng hội tụ, hơn nữa lim bn= b

4 Định lí Stolz-Cesaro.Cho 2 dãy số thực (an), (bn) Giả sử rằng dãy (bn) đơn điệu, không hội tụ (tức là bn→ ±∞) và

liman+1− an

bn+1− bn = k

Thế thì liman

bn = k.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Học sinh các lớp chuyên và đội tuyển thường gặp khó khăn khi gặp bài toán dãy

số Các tài liệu chưa đưa ra hệ thống các bài tập, phương pháp hiệu quả để giải bài toán dãy số

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

- Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho các em theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề

- Luôn hướng dẫn học sinh thực hiện tương tự hóa để tìm lời giải cho bài toán mới

- Rèn luyện cho học sinh thực hiện phân chia ra thành các công đoạn để dễ thực hiện giải toán

- Luôn linh hoạt trong giải toán, kết hợp thành thục giữa các phương pháp

- Nêu ra 6 phương pháp chung để giả bài toán dãy số với hệ thống bài tập và các ví

dụ mẫu mực

- Đưa ra các phân tích tư duy, tại sao và thế nào, cách nghĩ chung nhất để phát hiện lời giải

Sau đây là phần nội dung chi tiết sáng kiến kinh nghiệm

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: BÀI TOÁN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN

BÀI TOÁN Đối với một dãy số (an), người ta quan tâm đến sự tồn tại giới hạn (hội tụ) của dãy và nếu có giới hạn thì lim an =?

Trường hợp 1 Dãy (an)cho dưới dạng công thức tổng quát

Ví dụ 1 an = n + 1

2n + 3 thì (an)có giới hạn và lim an =

1

2. Trường hợp 2 Dãy (an)cho dưới dạng công thức truy hồi

Ví dụ 2

a) a1 = 1, an+1 = 2an+ 3, ∀n ≥ 1

b) a1 = 2, an+1 =√

2an+ 3, ∀n ≥ 1

Ở trường hợp 1 việc tìm giới hạn hay chứng minh một tính chất gì đó của dãy sẽ thuận lợi vì ta đã có sẵn công thức của an Với dãy số được xác định như ở trường hợp 2 thì trong nhiều bài toán, việc chứng minh sự tồn tại giới hạn và tính giới hạn

đó sẽ phức tạp hơn Sau đây chúng ta đưa ra vài phương pháp hay sử dụng để giải quyết vấn đề này cho trường hợp 2

Một vài phương pháp tìm giới hạn dãy số.

Phương pháp 1 Đưa dãy về công thức tổng quát

Bài tập 1 Cho dãy (an)được xác định như ở Ví dụ 2a) Tìm liman

2n

Giải Đặt bn= an+ 3thì bn+1 = 2bn, b1 = 4 Ta có bn= 2n+1, suy ra an = 2n+1− 3

Từ đó liman

2n = 2

Bài tập 2 Cho dãy (un)được xác định như sau :

u1 = 1

5, un+1 =

2016un 2015un+ 1, ∀n ≥ 1.

Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên, từ đó tìm giới hạn lim un

Giải Đặt xn= 1

un

thì ta thu được x1 = 5, xn+1= 2015

2016+

xn

2016, ∀n ≥ 1 Và sau đó ta có

xn+1− 1 = 1

2016(xn− 1) = = 1

2016n(x1− 1) = 4

2016n

Từ đó xn= 1 + 4

2016n−1 và như vậy un = 2016

n−1

4 + 2016n−1, ∀n ≥ 1

4

Suy ra lim un= 1.

Hai bài tập ở trên chúng ta tính toán trực tiếp để tìm ra công thức tổng quát của dãy rồi tìm giới han Ở bài tập sau đây chúng ta sẽ tìm giới hạn gián tiếp - tìm công thức tổng quát của một dãy khác, phụ thuộc dãy ban đầu rồi tìm giới hạn Công cụ với dạng bài tập này là chúng ta đưa ra một công thức sai phân rồi sau đó cộng tổng

để rút gọn

Bài tập 3 Cho dãy số thực xn xác định bởi

x1 = 1

2, xn =

px2 n−1+ 4xn−1+ xn−1

Với mỗi số nguyên dương n đặt yn=Pn

i=1

1

x2 i

CMR dãy số yn có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Giải Từ giả thiết ta có xn > 0, ∀n ≥ 1

+) xn− xn−1= 2xn−1

px2 n−1+ 4xn−1+ xn−1 > 0, ∀n ≥ 2, Suy ra (xn)là dãy tăng

+) Nếu dãy (xn)bị chặn thì lim xn = ahữu hạn, lấy giới hạn 2 vế của phương trình dãy suy ra a = 0, điều này không thể xảy ra Do đó lim xn= +∞

+) Cũng từ phương trình dãy suy ra x2

n = (xn+ 1)xn−1, và ta có 1

x2 n

xn−1 − 1

xn Do

đó yn = 1

x2

1

+ 1

x1 − 1

xn = 6 −

1

xn. +) Do xn −→ +∞ nên suy ra lim yn= 6.

Bài tập 4 Cho dãy xn xác định bởi:

x1 = 2019, xn+1 = 1

2018x

2

n+2017

2018xn, ∀n ≥ 1.

Đặt un = x1

x2− 1 +

x2

x3− 1 + +

xn

xn+1− 1, ∀n ≥ 1 Tìm lim un.

Giải.

+) Ta cũng chứng minh được dãy xn tăng ngặt và xn −→ +∞ khi n → +∞

+) Hơn nữa xn

xn+1− 1 = 2018

 1

xn− 1 −

1

xn+1− 1

 , ∀n ≥ 1

+) Từ đó un= 2018

 1

x1− 1 −

1

xn+1− 1

 , ∀n ≥ 1

+) Suy ra lim un = 1.

Phương pháp 2 Chứng minh dãy đơn điệu và bị chặn

Đây là phương pháp rất cơ bản để chứng minh một dãy hội tụ Khi gặp bất kì bài

toán giới hạn nào, ý tưởng đầu tiên chúng ta nghĩ ngay đến là kiểm tra xem dãy có đơn điệu không, ước lượng dãy bị chặn bởi số nào Đây cũng là phương pháp dùng

để giải quyết các bài toán khó hơn như đánh giá nghiệm, kiểm tra tốc độ hội tụ nghiệm trong nhiều công trình về tối ưu hay phương trình đạo hàm riêng

Nhắc lại Nếu một dãy (an)đơn điệu và bị chặn thì dãy đó có giới hạn hữu hạn

Từ đó để chứng minh dãy có giới hạn ta chỉ ra dãy tăng và bị chặn trên hoặc dãy giảm và bị chặn dưới

Trở lại Ví dụ 2b), bằng quy nạp ta có

+) 2 ≤ an < 3, ∀n

+) an< an+1, ∀n( tức là dãy tăng)

Từ đó ∃ lim an = b(2 < b ≤ 3) Lấy giới hạn 2 vế phương trình dãy ta được b =√

2b + 3 Suy ra b = 3

Bài tập 5 Cho dãy (xn)xác định bởi x0 = 1, 2xn+1− 2xn+ x2

n= 0

Chứng minh dãy hội tụ và tìm lim xn

Giải.

+) Từ công thức xác định dãy ta có xn+1 = xn− x

2 n

2 ≤ xn, suy ra (xn)là dãy giảm +) Chứng minh bằng quy nạp ta được 0 ≤ xn ≤ 1

+) Suy ra dãy hội tụ và ta tìm được lim xn= 0.

Ta xét một bài tập khó hơn như sau.

Bài tập 6.(VMO 1998) Cho dãy (xn)xác định bởi

x1 = a ≥ 1, xn+1 = 1 + lnxn(x

2

n+ 3)

1 + 3x2 n

Chứng minh (xn)hội tụ và tìm lim xn

Giải

• Nếu xn≥ 1 thì xn+1 = 1 + ln(1 +(xn− 1)3

1 + 3x2 n

) ≥ 1 + ln 1 = 1 Mà x1 = a ≥ 1nên ta suy

ra xn ≥ 1 ∀n, tức là dãy bị chặn dưới

• (xn)là dãy giảm Thật vậy

xn+1 = 1 + ln(1 +(xn− 1)3

1 + 3x2 n

) ≤ 1 + (xn− 1)3

1 + 3x2 n

= xn(x

2

n+ 3)

1 + 3x2 n

≤ xn

(sử dụng ln(1 + x) ≤ x với ∀x ≥ 0 và xn ≥ 1) Suy ra ∃ lim xn= b Thay vào phương trình dãy rồi giải ta tìm được b = 1.

Một phương pháp chúng ta cũng hay sử dụng và khá hiệu quả là dùng đánh giá kiểu Lipschitz Phương pháp này đặc biệt có tác dụng với những dãy mà chúng ta

6

không kiểm soát được dãy tăng hay giảm, bị chặn hay không Cụ thể như sau:

Phương pháp 3 Dùng hàm số kiểu Lipschitz

Ý tưởng: Ta chỉ ra tồn tại hằng số K ∈ (0, 1) sao cho |an− b| ≤ Kn−1|a1 − b| Suy ra lim an = b

Bài tập 7(VMO 2018) Cho dãy số (xn)xác định bởi

x1 = 2, xn+1 =√

xn+ 8 −√

xn+ 3

Chứng minh dãy (xn)hội tụ và tìm lim xn

Giải.

Từ công thức xác định dãy ta có nhận xét: nếu dãy (xn) có giới hạn thì giới hạn đó bằng 1

Dễ thấy xn > 0,∀n ≥ 1 Ta có

|xn+1− 1| = |√xn+ 8 − 3 − (√

xn+ 3 − 2)| = |xn− 1|

1

√

xn+ 8 + 3 −√ 1

xn+ 3 + 2

< |xn− 1||1

3+

1

2| = 5

6|xn− 1| < < 5

6

n

|x1− 1|, ∀n ≥ 1

Từ đó lim xn = 1.

Bài tập 8 Xét (an):

a1 = a ∈ R, an+1 = 1

2ln(1 + a

2

n) − 1, ∀n ≥ 1

Chứng minh (an)hội tụ

Giải Ta có

- Hàm số f (x) = 1

2ln(1 + x

2) − 1có |f0(x)| = | x

1 + x2| ≤ 1

2

- Hàm số g(x) = x − f (x) đồng biến vì g0(x) > 0, hơn nữa g(0).g(−1) < 0 nên g(x) có nghiệm duy nhất là x = b

Khi đó |an+1− b| = |f (an) − f (b)| = |f0(c)(an− b)| ≤ 1

2|an− b| ≤ ≤ (1

2)

n|a1− b|

Từ đó lim an= b.

Phương pháp 4 Sử dụng nguyên lí kẹp

Nhắc lại Nếu 3 dãy (an), (bn), (cn)thỏa mãn an ≤ bn ≤ cn và lim an = lim cn = bhữu hạn thì (bn)cũng hội tụ, hơn nữa lim bn= b

Bài tập 9 Xét phương trình xn= x + 1, với n ≥ 2.

a Chứng minh trên khoảng (1, +∞), phương trình có duy nhất nghiệm xn

b Tìm lim xn

Giải.

a Xét f (x) = xn− x − 1 thì f0(x) ≥ 0, ∀x ≥ 1 Suy ra f (x) đồng biến trên [1, +∞)

Mà f (1) < 0, lim

x→+∞f (x) = +∞ nên f (x) có nghiệm duy nhất xn ∈ (0, +∞)

b Lại có (1 + 1

n)

n

> (1 + 1

2)

2 ≥ 1 + (1 + 1

n), ∀n ≥ 4.

Từ đó xn≤ 1 + 1

n, ∀n ≥ 4.

=⇒ 1 < xn ≤ 1 + 1

n Như vậy lim xn= 1.

Bài toán sau cũng có câu hỏi tương tự và xuất hiện trong đề thi VMO 2002

Bài tập 10 Xét phương trình

1

x − 1 +

1 4x − 1 + +

1

n2x − 1 =

1 2

ở đó n là tham số nguyên dương

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, trên khoảng (1; +∞) phương trình

có duy nhất nghiệm, kí hiệu nghiệm đó là xn

b) Chứng minh rằng lim xn = 4

Giải Đặt

fn(x) = 1

x − 1 +

1 4x − 1 + +

1

n2x − 1 thì

+) fn0(x) < 0khi x ∈ (1; +∞), tức là fn(x)nghịch biến trên (1; +∞),

+) limx→1+fn(x) = +∞, limx→+∞fn(x) = 0

Từ đó suy ra, trên khoảng (1; +∞)phương trình fn(x) = 1

2 có duy nhất nghiệm xn. a) được chứng minh

Để chứng minh để ý rằng fn(4) = 1

2(1 −

1 2n + 1) <

1

2, ∀n ≥ 1 Do đó xn< 4, ∀n(1).

Lại có

fn((2−1

n)

2

(1 − 1/n)(3 − 1/n)+

1 (3 − 1/n)(5 − 1/n)+ +

1 (2n − 1 − 1/n)(2n + 1 − 1/n) =

= 1

2(

1

1 − 1/n− 1

2n + 1 − 1/n) >

1

2, ∀n ≥ 2

8

Vì vậy xn > (2 − 1

n)

2, ∀n ≥ 2(2)

Kết hợp (1) và (2) ta suy ra lim xn = 4.

Bài tập 11(VMO 2015) Cho dãy số (un)xác định bởi

u1 = 3, un+1= 1

2un+

n2 4n2 + a

p

u2

n+ 3, ∀n ≥ 1 Chứng minh với mọi a ∈ [0; 1] dãy số có giới hạn hữu hạn

Giải Bài toán này khó ở chỗ là trong công thức truy hồi của dãy có 2 tham số n và

anên việc tìm ra công thức tổng quát là không hề dễ dàng Việc kiểm tra dãy tăng hay giảm phức tạp hơn rất nhiều so với các bài trước Tuy nhiên từ cách cho tập xác định của a của đề bài lại gợi ý cho chúng ta cách tiếp cận giải quyết Đó là ta xét 2 trường hợp đặc biệt khi a = 0, a = 1 Ta sẽ chứng minh dãy hội tụ trong cả 2 trường hợp này, và dùng nguyên lí kẹp ta thu được điều phải chứng minh

Xét 2 dãy số (an), (bn)xác định như sau:

a1 = 3, an+1 = 1

2an+

1 4

p

a2

n+ 3, ∀n ≥ 1,ứng với a=0

b1 = 3, bn+1 = 1

2bn+

n2

4n2+ 1

p

b2

n+ 3, ∀n ≥ 1,ứng với a=1

Dễ có an≥ un≥ bn, ∀n ≥ 1

• Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy (an)giảm, bị chặn dưới nên có giới hạn, và tính được lim an= 1

• Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được bn ≥ 1 − 2

n, ∀n ≥ 2.

Và từ an≥ bn, lim an= lim(1 − 2

n) = 1, suy ra lim bn= 1.

Ta có thể làm cách khác là đánh giá

|bn+1− 1| ≤ (3

4)

n|b1− 1|

để thu được lim bn= 1

• Kết luận lim un= 1.

Bài toán kiểu này còn tiếp tục xuất hiện trong VMO 2017 và gây ra rất nhiều khó khăn cho các thí sinh Chúng ta bắt buộc chặn trên ( hoặc chặn dưới), rồi đánh giá hoặc kẹp dãy đã cho qua một dãy khác phụ thuộc tham số n tương tự như cách làm với dãy (an)ở trên Bạn đọc hãy thử sức với Bài tập 27 ở phần dưới

Phương pháp 5 Sử dụng giới hạn của dãy con

Ý tưởng của phương pháp này là : Nếu các dãy con của dãy ban đầu có cùng giới

hạn và các dãy con có bộ chỉ số rời nhau, hợp của các bộ chỉ số là N thì dãy đã cho

có cùng giới hạn đó Chẳng hạn như sau

• lim x2n = lim x2n+1 = b, suy ra lim xn= b

• lim x3n = lim x3n+1 = lim x3n+2 = b, suy ra lim xn= b

• lim x4n = lim x4n+1 = lim x4n+2 = lim x4n+3 = b, suy ra lim xn= b

và nhiều trường hợp khác

Bài tập 12 Cho (xn) xác định bởi xn+2 = √

xn+1+√

xn,∀n, x0 ≥ 4, x1 ≥ 4 Chứng minh dãy hội tụ và tìm lim xn

Giải Từ giả thiết dễ có xn ≥ 4

Giả sử x1 ≤ x0 Khi đó x2 =√

x1+√

x0 ≤ 2√x0 ≤ x0

x3 =√

x2+√

x1 ≤√x1+√

x0 = x2 Bằng quy nạp, ta chứng minh được

x2n+2 ≤ 2√x2n ≤ x2n, x2n+1 ≤ x2n, ∀n Suy ra (x2n)giảm, bị chặn dưới bởi 4 Như vậy ∃ lim x2n = a Mà a ≤ 2√

anên a = 4 Lại do 4 ≤ x2n+1 ≤ x2n nên lim x2n+1 = 4

Kết hợp lại ta được lim xn= 4.

Bài tập 13(VMO 2008) Cho dãy số thực (xn)được xác định như sau

x1 = 0, x2 = 2, xn+2 = 2−xn +1

2, ∀n ≥ 2 Chứng minh dãy (xn)có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó

Giải Xét hàm số f (x) = 2−x+ 1

2 Ta có xn+4= f (xn+2) = f (f (xn).

• Dễ có 0 ≤ xn≤ 2, ∀n

• Đặt g(x) = f (f (x)) thì do f giảm nên g là hàm số tăng

Suy ra, với mỗi k ∈ {1, 2, 3, 4}, dãy (x4n+k) là dãy đơn điệu Từ đó với mỗi k ∈ {1, 2, 3, 4}, dãy (x4n+k)là dãy hội tụ

• Phương trình g(x) = x chỉ có duy nhất nghiệm x = 1 trên đoạn [0; 2] nên suy ra lim x4n+k= 1, ∀k = 1, 2, 3, 4

• Do đó ta có lim xn= 1.

Phương pháp 6 Sử dụng định lí Stolz-Cesaro

Nhắc lại định lí Cho 2 dãy số thực (an), (bn) Giả sử rằng dãy (bn)đơn điệu, không hội tụ (tức là bn→ ±∞) và

liman+1− an

bn+1− bn

= k

10

Thế thì liman

bn = k.

Các trường hợp riêng của định lí trên là khi bn = f (n), với f (n) là hàm số đơn điệu

và dần ra vô cùng, ví dụ khi f (n) = n, f (n) =√

n,

Bài tập 14 Cho dãy số (xn)xác định bởi x0 = 1

2, xn+1= xn− x2

n, ∀n ≥ 1

Chứng minh rằng lim nxn= 1

Giải +) Ta chứng minh được lim xn = 0

+) Khi đó

1

xn+1 − 1

xn =

xn− xn+1

xnxn+1 =

x2n (xn− x2

n)xn =

1

1 − xn → 1 tức là

lim

1

x n+1 − 1

x n

n + 1 − n = 1,

Áp đụng đính lí Stolz-Cesaro cho an = 1

xn, bn=

1

n ta được

lim

1

xn

n = lim

1

nxn

= 1 Vậy lim nxn= 1 

Ngoài các bài toán trên, còn có lớp bài toán tìm điều kiện của tham số để dãy hội

tụ Lớp bài toán này đòi hỏi học sinh phải vận dụng tổng hợp các kiến thức và các phương pháp đã học, nói chung sẽ khó hơn các bài toán chỉ đơn thuần tìm giới hạn Ở bài toán cụ thể dưới đây thì chúng ta dùng định lí Stolz-Cesaro để giải quyết

Bài tập 15(TST Việt Nam 1993) Cho dãy số (an)xác định bởi

a1 = 1, an+1 = an+ √1

an, ∀n ≥ 1 Tìm tất cả số thực α để dãy số aα

n

n



có giới hạn hữu hạn khác 0

Giải.

• Dễ chứng minh được an → +∞

• Xét hiệu

a

3

2

n+1− a

3

2

n = 1

x

2 n

+ x

1 3 n

3

− 1

xn =

(1 + xn)3/2− 1

x2n+ 3xn+ 3 (1 + xn)3/2+ 1 → 3

2



xn = 1

a3/2n



Từ đó theo định lí Stolz-Cesaro

lima

3/2 n

3 2

Giải Bài tốn khó chỗ cơng thức truy hồi dãy có tham số n và< /i>

anên việc tìm cơng thức tổng qt khơng dễ dàng Việc kiểm tra dãy tăng hay... class="text_page_counter">Trang 10

hạn dãy có số rời nhau, hợp số N dãy cho

có giới hạn Chẳng hạn sau

• lim x2n = lim x2n+1... dãy (an)ở Bạn đọc thử sức với Bài tập 27 phần

Phương pháp Sử dụng giới hạn dãy

Ý tưởng phương pháp : Nếu dãy dãy ban đầu có giới