Một số dạng toán Dãy số và giới hạn ôn thi Học sinh giỏi

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi n dần tới dương vô cực và tìm giới hạn đó.. Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi n dần tới dương vô cực và tìm gi[r]

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN

1 Giới hạn dãy số

1.1 Dãy số

Định nghĩa 1.1 Dãy số (thực) là một hàm số xác định trên tập con của tập số tự nhiên

Với  , thay cho ký hiệu

:

 

n u n

ta thường dùng ký hiệu (u n n) ,{ }u n n , (u n n) hay { }u n n

Định nghĩa 1.2 Cho dãy (u n n) 

 Dãy (u n) được gọi là dãy (đơn điệu) tăng nếu u n u n1  n

 Dãy (u n) được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nếu u n u n1  n

 Dãy (u n) được gọi là dãy (đơn điệu) tăng nghiêm ngặt nếu u n u n1  n  Dãy (u n)

được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nghiêm ngặt nếu u n u n1  n

Nhận xét

 Nếu ( )x n , (y n) thì (x n y n)

 Nếu ( )x n , (y n) thì (x n y n)

 Nếu (x n) thì (x n) Và nếu ( )x n thì (x n)

 Nếu hai dãy dương (x n), (y n) cùng tăng (giảm) thì (x y n n) tăng (giảm)

 Một dãy có thể không tăng, cũng không giảm Ví dụ x n ( 1)n  n

Định nghĩa 1.3 Cho dãy số (x n n) 

 Dãy (x n) được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại hằng số M sao cho x n M n

 Dãy (x n) được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại hằng số m sao cho x n  m n

 Dãy (x n) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn

Định lí 1.1 Dãy (x n) bị chặn khi và chỉ khi tồn tại ghằng số c0sao cho |u n| c n

1.2 Giới hạn của dãy số

Định nghĩa 1.4 Dãy số (u n) được gọi là hội tụ về , ký hiệu lim n

  , nếu với mọi  0 cho trước tùy ý, tìm được chỉ số n0 sao cho với mọi nn0 đều có |u n   |

Ví dụ 1.1 Chứng minh rằng

1 lim

2 lim1 0

nn 

3 lim 1 1

n

n

n







Định lí 1.2 (Tính duy nhất của giới hạn) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất

Định lí 1.3 (Tính thứ tự của dãy hội tụ) Cholim n

n x

  và a Khi đó

 Nếu a thì ( n : n n  a x )

 Nếu a thì ( n0 : n n0 a x n)

Định lí 1.4 (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức) Cho lim n

n x

  và a Khi đó

 Nếu ( n0 : n n0 x n a) thì a

 Nếu ( n0 : n n0 x n a) thì a

Định lí 1.5 (Định lý giới hạn kẹp giữa) Cho ba dãy số (x n), (y n), ( )z n thỏa mãn

  n0 : n n0z n x n  y n

 các dãy (y n), ( )z n cùng hội tụ đến

Khi đó dãy (x n) hội tụ và lim n

n x

Định lí 1.6 (Tính chất đại số của dãy hội tụ) Cho hai dãy hội tụ (x n), (y n)vàlim n ; lim n

    Khi

đó

 Dãy (x n) hội tụ và lim( n)

 Dãy (|x n|) hội tụ và lim | n| | |

 Dãy (x ny n) hội tụ và lim( n n)

 Dãy (x ny n) hội tụ và lim( n n)

 Dãy (kx n) hội tụ và lim( n)

 Dãy ( · )x y n n hội tụ và lim( · )n n

 Với b0 thì dãy 1

n y

 

 

  được xác định từ một chỉ số nào đó, hội tụ và

lim

n n

y b



 









 Với b0 thì dãy n

n

x y

 

 

  được xác định từ một chỉ số nào đó, hội tụ và lim

n n n

x a

y b



 

  

 

Ví dụ 1.2 Tìm các giới hạn sau

 lim 22 3 2

n



 

 

lim

n



 

n

n



  

0

(3 1) lim

(2 3)

n

k n n

k

k k















1.3 Dấu hiệu hội tụ của dãy số

1.3.1 Tiêu chuẩn Weiersstrass

Định lí 1.7 Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ

Cụ thể, một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ, một dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

Ví dụ 1.3 Cho các dãy số (x n), (y n) được xác định như sau

2

x y

Chứng minh rằng các dãy số (x n), (y n) hội tụ vàlimx n limy n

Lời giải Ta xét hai trường hợp sau:

(i) Nếu a b thì bằng quy nạp ta chỉ ra được dãy (x n) là dãy giảm bị chặn dưới bởi a, còn dãy (y n) là dãy tăng bị chặn trên bởi a Do đó theo định lý 1.7 tồn tại limx n, limy n và từ giả thiết chuyển qua giới hạn ta đượclimx n limy n

(ii) Nếu a b tương tự như trường hợp (i)

Ví dụ 1.4 Cho dãy số (x n) được xác định như sau

x  x  x   x   x  n

Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó

Lời giải Dễ thấy bằng quy nạp ta chỉ ra được (x n) là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 4 Do đó theo định

lý 1.7 ta có tồn tại limx n a Từ đẳng thức x n2  x n1  x n chuyển qua giới hạn ta được a2 a

nhưng do a0 nên chỉ lấya4 Vậylima n 4

Bài tập tương tự

Bài tập 1.5 Cho dãy số (x n) xác định bởi x1 2,x n1  2x n n, 1, 2,Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ và tìm lim n

n x

Bài tập 1.6 Cho dãy số thỏa mãn điều kiện

1

1

4

Chứng minh dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn đó

Bài tập 1.7 (Định lý Cantor) Cho hai dãy số thực (a n), ( )b n thỏa mãn các điều kiện sau:

a b a  b  a b với mọi n và limb n a n0

Khi đó tồn tại số thực c sao cho    

0

,

n n n

a b c





 và lima n limb n c

Bài tập 1.8 (VMO 2005) Cho dãy số thực (x n),n1, 2, 3 được xác định bởi:

1

x a và x n13x n37x n25x n với n1, 2,3,

trong đó a là một số thực thuộc đoạn 0,4

3

 

 

 

Chứng minh rằng dãy số (x n) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Bài tập 1.9 (VMO 2002B) Xét phương trình

2x x 1x 4 x k  x n 

trong đó n là tham số nguyên dương

1 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu trên có duy nhất nghiệm trong khoảng  0,1 ; kí hiệu nghiệm đó là x n

2 Chứng minh rằng dãy số x n có giới hạn hữu hạn khi n 

Bài tập 1.10 Cho số thực a Cho dãy số (x n),n , được xác định bởi:

x a và x  x sinx với mọin

Chứng minh rằng dãy số (x n) có giới hạn hữu hạn khi n  và tính giới hạn đó

1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy

Định nghĩa 1.5 Dãy (x n) được gọi là dãy Cauchy nếu thỏa mãn điều kiện

Định lí 1.8 Dãy số (x n) hội tụ khi và chỉ khi (x n) là dãy Cauchy

Ví dụ 1.11 Cho hàm số f :  thỏa mãn điều kiện

   

f x  f y q xy , với mọi x y,  ,

trong đó q 0,1 là hằng số cho trước Với c cho trước và xác định dãy (x n),n0,1, 2,3 như sau:x0 c x, n1 f x( n),n0,1, 2, Chứng minh rằng dãy số (x n) hội tụ và giới hạn của dãy số là nghiệm của phương trình f x( )x

Lời giải Trước hết ta chứng minh dãy (x n) là một dãy Cauchy Thật vậy, với ,m n ,nm ta có:

 1 1  1 1 m 0

Mặt khác ta có

1

1

n n

q

q







Từ đây suy ra x nx0 bị chặn với mọi n Kết hợp với (1) ta thu được với mọi  0 tồn tại

N sao cho với mọi m n, N thì x nx m  Nên dãy (x n) là một dãy Cauchy suy ra nó hội tụ

Từ điều kiện của hàm f dễ dàng chứng minh được f liên tục và do đó từ đẳng thức x n  f x( n1)

chuyển qua giới hạn ta được giới hạn của dãy (x n) là nghiệm của phương trình ( )f x x

Bài tập tương tự

Bài tập 1.12 Cho f :  thỏa mãn điều kiện với mọi  0 đều tồn tại  0 sao cho: nếu

x y

      thì f x( ) f y( )  Xét dãy số xác định như sau:

x  x   f x n Chứng minh rằng dãy (x n) hội tụ

Bài tập 1.13 Cho f :  thỏa mãn điều kiện x f x( ) ( )x ( ( ))f x , trong đó :  là hàm liên tục và bị chặn dưới Lấy x0 và lập dãy x n1 f x( n),n0,1, 2, Chứng minh rằng dãy số

(x n) hội tụ

Bài tập 1.14 Cho f :  thỏa mãn điều kiện f x( ) f y( ) k x  f x( )  y f y( ), với mọi

,

x y , trong đó 1

2

k Xét dãy số xác định như sau:x1 ,x n1 f x( n),n1 Chứng minh rằng dãy

(x n) hội tụ và giới hạn của dãy là nghiệm duy nhất của phương trình f x( )x

Bài tập 1.15 Cho f :  thỏa mãn điều kiện: có số k, 0 k 1 sao cho

f x  f y k xy f x x y f y x y

Xét dãy số xác định như sau:x1 ,x n1  f x( n),n1 Chứng minh rằng dãy (x n) hội tụ và giới hạn của dãy là nghiệm duy nhất của phương trình f x( )x

1.3.3 Nguyên lý kẹp

Định lí 1.9 Cho ba dãy số (a n), ( )b n và ( )c n thỏa mãn:  N sao cho a n b n   c n n N và

lima n limc n a Khi đó limb n a

Ví dụ 1.16 (Canada 1985) Dãy số (x n) thỏa mãn điều kiện 1 x1 2 và

1

1

2

x    x x  n

Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ Tìm lim n

n x



Lời giải Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau: 2 1 , 3

2

x    n Thật vậy ta kiểm tra

được ngay bất đẳng thức đúng với n3 Giả sử bất đẳng thức đúng với n3, tức là 2 1

2

x   Khi

đó ta có

1

1

x





Do đó bất đẳng thức đúng đến n1 Mặt khác do lim 1 0

2n  nên từ bất đẳng thức trên và nguyên lý kẹp

ta có limx n 0

Ví dụ 1.17 Cho dãy các hàm số P x n( ) xác định như sau

2

( )

2

n

x P x

P x  P x P x    n x

Tìm lim n( )

n P x

Lời giải Trước hết ta chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau:0P x n( ) x, n

(1) Thật vậy, với x[0,1] suy rax2 x0 nên 0 1( )

2

x

   Như vậy (1) đúng với n=1 Giả sử (1)

đúng đến $n$ Xét hàm số 1 2

( )

2

f t  t x t vớit[0,1] Dễ thấy hàm số ( )f t đồng biến trên [0,1]

theo giả thiết quy nạp ta có 0P x n( ) x1 với mọi x[0,1]

(2) nên P n1( )x  f P x( n( )) f( x) x với mọi x[0,1] Mặt khác, từ (2) ta có

2

1

x P x  P x P x  Vậy 0P n1( )x  x Do đó (1) đúng đến n1 nên theo nguyên lý quy nạp ta có (1) đúng với mọi n

Tiếp theo ta chứng minh ( ) 2

1

n

x P x

n

 với x[0,1], n (3)

1

( )

2

n

x P x  x P x    

1 1

0

1

2

2

1

n

n

x

x P x

n

n

n



Từ đó ta thu được bất đẳng thức 0 ( ) 2

1

n

x P x

n

 với mọix[0,1] n

Do lim 2 0

1

 nên theo nguyên lý kẹp ta được limP x n( ) x , với mọi x[0,1]

Ví dụ 1.18 Cho a b,  , ( , )a b 1;nab1,ab2,  Kí hiệu r n là số cặp số ( , )u v   sao cho

nau bv Chứng minh rằnglim n 1

n

r

n ab

Lời giải Xét phương trình au bv n  (1) Gọi ( ,u v0 0) là một nghiệm nguyên dương của (1) Giả sử ( , )u v là một nghiệm nguyên dương khác ( ,u v0 0) của (1) Ta có au0bv0 n au bv,  n suy ra

a u u b v v  do đó tồn tại k nguyên dương sao cho uu0kb v,  v0 ka Do v là số nguyên

0

1

a



    (2)

Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên dương cộng với 1

n

r



     

    Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau:

1

n

r

ab b   a ab b  a

Từ đó suy ra

n

abnbna n abnbnan

Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay lim n 1

n

r

n ab

Ví dụ 1.19 Tìm giới hạn của dãy số (x n) biết

n

x      n n

Lời giải 1

Xét hàm số f x( ) 1x 1 (1 x) ta chứng minh 1 ( ) 2( 1)

2

x

Từ đó

2 n(1x) f x( )2 (1n x)

Từ đó, thay x2 được

3·2 n x n 3·2 n Từ đó, theo nguyên lý kẹp, suy ra lim n 3

n x

Lời giải 2 Với1  m n 1, đặt a m  1m 1 (1 m) 1 1 ( n 1) 1n ta có

1







Suy ra

1

m





Lời giải 3 Để ý rằng

n&

3 1 2·4  1 2· 16  1 2 1 3 25   1 2 1 3 1 4 36   bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được

2

1 2 1 3 1   1n (n2) 3

Nhận xét Cho  1 Khi đó 1x  · 1x  x 0

Áp dụng nhận xét trên với xn, n 2 được

2

1n (n2)  n2· n1

Từ đó

1 ( n 1) 1n (n2)  1 n2·(n1)· 1 n n2· 1 ( n 1) 1n

Do đó, bằng quy nạp, thu được

2

3 (n 2) n x n (2)

Từ (1),(2) và nguyên lý kẹp, suy ra lim n 3

n x

Bài tập tương tự

Bài toán 1.20 Cho  , 2, dãy số ( )a n   thỏa mãn điều kiện

a    a a a   n

Chứng minh rằng lima n 0

n 

Bài tập 1.21 Cho dãy số dương (a n) thỏa mãn điều kiện

a     a a a  n

Chứng minh rằng với mọi 1

2

  ta luôn có lima n 0

n 

Bài tập 1.22 (VMO 2002A) Xét phương trình

x  x  k x  n x 

trong đó n là tham số nguyên dương

1 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1; kí hiệu nghiệm đó là x n

2 Chứng minh rằng dãy số x n có giới hạn bằng 4 khi n 

Bài tập 1.23 (Matxcơva 2000) Ký hiệu x n là nghiệm của phương trình

1

x x  x n 

thuộc khoảng (0,1)

1 Chứng minh dãy (x n) hội tụ;

2 Hãy tìm giới hạn đó

Bài tập 1.24 (VMO 2007) Cho số thực a2 và f x n( )a x10 n10x n   x 1

1 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình f x n( )a luôn có đúng một nghiệm dương duy nhất

2 Gọi nghiệm đó là x n, chứng minh rằng dãy (x n) có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng

1.4 Khảo sát sự hội tụ của dãy số dạng x n1  f x( n)

Để khảo sát sự hội tụ của dãy số có dạng x n1  f x( n), ta thường xét hàm số y f x( ) và sử dụng một số kết quả sau

Định lí 1.10 Cho dãy số (x n) xác định như sau:x1a x, n1  f x( n),n1, 2, Khi đó

1 Nếu ( )f x là hàm số đồng biến thì dãy số (x n) đơn điệu

2 Nếu f x là hàm số nghịch biến thì dãy số ( ) (x n) có chứa hai dãy con (x2k), (x2k1) đơn điệu ngược chiều

3 Khi f x là hàm số nghịch biến và dãy ( ) (x n) bị chặn thì lim 2k ,lim 2k 1

đã cho hội tụ khi và chỉ khi a b

Ví dụ 1.25 (VMO 1998A) Cho số thực a1 Xét dãy số (x n),n1, 2, được xác định bởi

2

1 ln

n n

n

x

x a x

x



  với n1, 2,3,

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Lời giải

Xét dãy số (x n) với x1a a( 1) và

2

1 ln

n n

n

x

x





(i) Nếu a1 thì x n  1( n) suy ra lim n 1

(ii) Nếu a1 Ta chứng minh bằng quy nạp x n 1 với mọi n * Giả sử với n sao cho x n 1 Ta

x   x   x  Dễ thấy hàm số 2

f x x   x đồng biến trên [1;) Mặt khác x n 1 suy ra x n11 Vậy x n   1 n 1

Tiếp theo ta chứng minh với x n   1 n 1 thì x n x n1 n 1 Xét hàm số

2

1 ln

x

g x x

x

     

  trên

[1;) Bằng cách khảo sát hàm số này ta chỉ ra được g x( ) đồng biến trên [1;) mà g(1)0, suy ra

g x   x và g x( )  0 x 1 Do đó nếu x n   1 n 1 thì x n x n1 n 1 Do vậy dãy (x n) là dãy

số giảm và bị chặn dưới bởi 1, nên tồn tại lim

 Dễ thấy b1 và từ hệ thức truy hồi chuyển qua giới hạn ta được

Theo kết quả khảo sát của hàm g x( ) ở trên thì g b( )  0 b 1 Vậy lim n 1

Ví dụ 1.26 Cho dãy số (x n) thỏa mãn điều kiện

1 2, 9; 1 3 2 , 1, 2, 3,

1

n n

n

x

x





Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm giới hạn đó

Lời giải

Xét hàm số

2

1

x

f x

x

 với x (1, ) Dễ thấy f x( ) là hàm số nghịch biến trên

(1,)

(i) Ta chứng minh dãy (x n) bị chặn Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp 3 3 3 *

2

n

Thật vậy

Với n1 thì bất đẳng thức trên luôn đúng Giả sử bất đẳng thức trên đúng đến n, tức là

3

2

n

u

   Ta có u n1  f u( n) và f là nghịch biến trên (1,) nên 1 ( 3) 3 3

2

n

Mặt khác do 3u n nên từ hệ thức u n1 f u( n) ta có 3u n1 Vậy (1) được chứng minh

(ii) Từ đó suy ra lim 2n, lim 2n 1

    , trong đó ,a b là nghiệm của hệ phương trình

 

 

a f b

b f a

 







(iii) Xét hàm số g x( ) f f x( ( ))x, với 3 3 3

2

x

   , có g x( ) f x f( ) ( ( )) 1 f x  Do

3

2

f x

2

x

   nên g x( )0 với mọi

3

2

x

   , cùng với ( 3) ( 3) 0

2

g g  suy ra phương trình g x( )0 có nghiệm duy nhất Do đó dãy (x n) hội tụ

Ví dụ 1.27 (VMO 2008) Cho dãy số (x n) xác định như sau

2

1

2

n x n









Chứng minh rằng dãy (x n) hội tụ và tìm lim n

Lời giải 1 Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được 1 3 2

2x n  2  n Xét hàm số

x

f x    x  

  Ta có ( ) 2 ·ln1 0 1 3;

x

f x    x  

   và với mọi 1 3;

2 2

x  

  thì

3

x

ln 2

2

f x   u

Mặt khác, theo định lý Lagrange thì với mọi 1 3

2  x y 2 đều tồn tại t( ; )x y sao cho

2x2y  f t x( )( y) Vậy

2

|

Từ đó

2 2 1 2 1

x x  u x x  n 

Từ đó, theo định lý Cauchy, dãy $(x_n)$ hội tụ về  là nghiệm của phương trình 2 1

2



Giải phương trình này, thu được  1 Vậy, lim n 1

Lời giải 2 Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được 1 3 2

2x n  2  n Xét hàm số ( ) 2 1, 1 3;

x

f x    x  

  Ta có ( ) 2 ·ln1 0 1 3;

x

f x    x  

   Do đó hàm

1 3

2 2

y f x x  

  là hàm giảm Vậy, mỗi dãy   x2k , x2k1 chứa hai dãy con đơn điệu ngược chiều

2x n  2  n suy ra bốn dãy con (x4k), (x4k1), (x4k2), (x4k3) hội tụ theo thứ tự về

, , ,

Xét hệ phương trình

 

 

 

 

f f f f

 













 

 Giải hệ thu được       1 Vậy lim n 1

Lời giải 3 Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được 1 3 2

2x n 2  n Xét hàm số ( ) 2 1 , 1 3;

x

f x    x  

  Ta có ( ) 2 ·ln1 0 1 3;

x

f x    x  

   và với mọi 1 3;

2 2

x  

 

thì

3

x

ln 2

2

f x   u

Mặt khác, theo định lý Lagrange thì với mọi 1 3

2  x y 2 đều tồn tại t( ; )x y sao cho

2x2y  f t x( )( y) Vậy, với mọi , 1 3;

2 2

x y  

  tồn tại

ln 2 (0;1) 2

| ( )f x  f y( ) |u x | y| Suy ra hàm f là hàm co Bởi vậy, hai dãy con (x2k), (x2k1) (đều cho bởi hệ thức truy hồi x n2  f x( n) hội tụ Bằng việc giải phương trình giới hạn, thu được lim n 1

Bài tập tương tự

Bài tập 1.28 Cho dãy số (x n) xác định như sau 0 1, 1 2 , 0

1

n n

n

x

x



 Tìm lim n

n x

Bài tập 1.29 Cho trước a0 Xét dãy số (x n) xác định như sau:

0

2

1

0 1

2

n

x

a

x











