Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 11 giải một số bài tập trắc nghiệm tính giới hạn của dãy số nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy môn toán ở trường THPT quảng xương 4

Vậy làm thế nào để giúp học sinh ngoài những kiến thức đã tích lũy được cùng với việc tiếp cận và làm quen với hình thức thi mới, để các em không ngỡ ngàng khi tiếp xúc với các dạng bài

A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Trắc nghiệm là một hình thức đã và đang được áp dụng vào các kì thi quan trọng của Việt Nam.Việc sử dụng hình thức thi trắc nghiệm trong dạy học và thi

cử được áp dụng ngày càng rộng rãi và có hiệu quả vài năm trở lại đây.Trong năm học 2016- 2017 Bộ GD & ĐT đã triển khai áp dụng hình thức thi trắc nghiệm vào kì thi THPT quốc gia ở hầu hết các môn (trừ môn Văn) Các câu hỏi

và bài tập trắc nghiệm không phải mới mẻ, tuy nhiên đối với môn Toán đây là năm học đầu tiên áp dụng hình thức thi này khiến học sinh không tránh khỏi lúng túng và bỡ ngỡ Thời gian làm bài thi ngắn hơn, lượng kiến thức nhiều và bao quát hơn Học sinh mới tiếp cận, đa số các em đang quen với cách học và cách thi tự luận trước đây chưa có kỹ năng làm bài trắc nghiệm nhanh và chính xác Một bộ phận học sinh cho rằng làm bài trắc nghiệm quá khó, các em bị chi phối thời gian và lượng kiến thức bao quát, một bộ phận cho rằng làm bài trắc nghiệm dễ hơn vì không phải học từng câu chữ chỉ xây dựng biều đồ và học ý chính, một bộ phận các em lại làm bài theo cách may rủi…Tuy nhiên dù gì đi nữa hình thức thi trắc nghiệm ngày càng vận dụng nhiều vào các bài kiểm tra và các kì thi quan trọng đặc biệt là kì thi THPT Quốc Gia Vậy làm thế nào để giúp học sinh ngoài những kiến thức đã tích lũy được cùng với việc tiếp cận và làm quen với hình thức thi mới, để các em không ngỡ ngàng khi tiếp xúc với các dạng bài tập trắc nghiệm giúp các em có thể làm nhanh, chính xác, không trả lời

mò mẫm dựa vào suy đoán nhằm giúp các đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra sắp tới ? Đặc biêt học sinh lớp 11 cũng được triển khai, và lượng kiến thức gồm

cả chương trình 11, và 12 khiến các em lo lắng Vì những lý do trên với thực tế đang dạy một số lớp 11 Trường THPT Quảng Xương 4 tôi chọn đề tài “ Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 11 giải một số bài tập trắc nghiệm tính giới hạn của dãy số nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy ở trường THPT Quảng Xương 4” làm điển hình góp phần phát triển tư duy và hiệu quả học tâp cho học sinh

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở phân tích đánh giá tình hình thực tế việc học và vận dụng làm bài tập trắc nghiệm của học sinh trường THPT Quảng Xương 4, đề xuất một số bước tiến hành làm bài trắc nghiệm cho học sinh qua việc hướng dẫn các em làm một số bài tập tính giới hạn của dãy số ở chương trình 11

3 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu

- Các bài tập trắc nghiệm, các bước làm bài tập trắc nghiệm tính giới hạn của dãy số trong chương trình 11

- Đề tài nghiên cứu được giới hạn ở học sinh khối 11 Trường THPT Quảng Xương 4

B NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

1 Trắc nghiệm là gì?

Trắc nghiệm theo nghĩa rộng là một hoạt động để đo lường năng lực của

các đối tượng nào đó nhằm những mục đích xác định Trong giáo dục trắc nghiệm được tiến hành thường xuyên ở các kì thi, kiểm tra đánh giá kết quả học tập, giảng dạy đối với một phần của môn học, toàn bộ môn học, đối với cả một cấp học, hoặc để tuyển chọn một số người có năng lực nhất vào một khóa học Trong các bài tập trắc nghiệm môn Toán sử dụng trong các kì thi chủ yếu

sử dụng loại câu trắc nghiệm nhiều lựa chọn là loại câu có hai phần, phần đầu là phần dẫn (hay câu dẫn), nêu ra vấn đề cung cấp thông tin cần thiết hoặc nêu một phần câu hỏi, phần sau là các phương án để chọn, thường được đánh dấu là A,

B, C, D hoặc 1, 2, 3, 4 Trong các phương án để chọn chỉ có duy nhất một phương án đúng hoặc một phương án đúng nhất, các phương án còn lại được đưa vào có tác dụng gây nhiễu đối với thí sinh Vì vậy khi làm bài thí sinh phải chọn được phương án đúng nhanh và chính xác để có kết quả cao

2 Giới hạn là khái niệm giải tích mở đầu các em học sinh trung học phổ

thông được làm quen nên còn khá mới mẻ và tương đối khó vớí các em

Trước hết các em phải nắm được các khái niệm cơ bản về dãy số, giới hạn của dãy số

a Dãy số

b Giới hạn của dãy số

II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN NÓI CHUNG VÀ BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ NÓI RIÊNG Ở CÁC TRƯỜNG THPT HIỆN NAY.

Hiện nay bài tập trắc nghiệm đã được triển khai và áp dụng rộng rãi trong các tiết học, bài học tuy nhiên hệ thống các bài tập còn phân tán, chưa có cách giải cụ thể mà chủ yếu vẫn dựa trên việc giải bằng phương pháp tự luận rút ra đáp án, một số học sinh làm theo kiểu đoán mò Một số bấm máy tính thụ động không hiểu bản chất Đặc biệt giới hạn dãy số là kiến thức mới của giải tích nên các em còn khá lúng túng, ngại ngùng khi gặp những bài tập này Dẫn đến kết quả học tập không cao ảnh hưởng đến cả quá trình học tập của các em

III CÁC GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHỐI 11 GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Từ thực tế học và thi hiện nay trắc nghiệm ngày càng được áp dụng rộng rãi và phổ biến để học sinh làm quen và hết tâm lý e dè ngại ngùng khi gặp các bài tập trắc nghiệm đặc biệt là bài tập trắc nghiệm tính giới hạn của dãy số Tôi xin đưa ra một số thao tác hướng dẫn làm một số bài tập trắc nghiệm tính giới hạn của dãy số như sau:

1 Tóm tắt lý thuyết;

2 Bài toán tổng quát: Các bài toán tổng quát và cách giải;

3 Nhận dạng và phân loại : Sau khi đọc đề bài học sinh dựa vào bài toán tổng quát so sánh phân loại để áp dụng; chọn đáp án và so sánh với một số cách giải khác để rút ra cách giải chung và đảm bảo thời gian;

4 Thực hành một số đề kiểm tra

Các thao tác được triển khai cụ thể như sau:

1 Tóm tắt lý thuyết;

a) Một số dãy số có giới hạn 0

lim1 0;lim 1 0;lim n 0( 1)

b) Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân (un): u1; u2; u3; …; un;…,có công bội q 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là:

S= u1+ u2+ u3+ …+ un+ …= 1

1

u q

 c) Một số dãy số có giới hạn vô cực và các qui tắc tính giới hạn vô cực:

lim n = +∞; lim nk = +∞

2 Bài toán tổng quát: Các bài toán tổng quát tính giới hạn của dãy số thường gặp trong chương trình phổ thông.

Bài toán 1: Tính limun , trong đó un là một đa thức và xem n là biến

như vậy giới hạn có dạng :

A= lim(a0+a1n+a2n2+…+aknk) = 0 1 1 1

n  n     n

+ Nếu ak > 0 thì A= +∞

+ Nếu ak > 0 thì A= +∞

Bài toán 2: Tính lim un , trong đó n ( )( )

P n u

Q n

 là một phân thức hữu tỉ và xem n là biến và P(n), Q(n) là các đơn thức hoặc đa thức ẩn n, như vậy bài toán có dạng

tính: B = lim un= lim ( )

( )

P n

Q n

+ Nếu bậc P(n) nhỏ hơn bậc Q(n) thì B = 0 ;

+ Nếu bậc P(n) lớn hơn bậc Q(n) thì un dần đến vô cực ;

+ Nếu bậc P(n) bằng bậc Q(n) thì B a

b

 , trong đó a, b lần lượt là các hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu

Bài toán 3: Áp dụng giới hạn lim qn = 0( nếu q 1)

Đối với một số bài tập nâng cao hơn ta phải tiến hành một số phép biến đổi để đưa về một trong các bài toán trên

3 Một số ví dụ để học sinh nhận dạng và phân loại

Ví dụ 1 : Tính lim

n

1

A 1 B -1 C.0 D 

Đây là một ví dụ đơn giản nhằm kiểm tra lý thuyết, tuy nhiên nếu các em không sử dụng lý thuyết thì có thể áp dụng bài toán 2 vì giới hạn có dạng phân thức với bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên giới hạn dần về 0, ta chọn được đáp án đúng là C Như vậy trong trường hợp các em nhầm lẫn lý thuyết thì vẫn chọn được phương án đúng

Ví dụ 2: Tính lim( 2 2 1 )





A  2 B  C.  D 1

Khi thực hiện ví dụ này theo phương pháp tự luận các em sẽ phải đặt nhân tử chung n2 ra ngoài sau đó lập luận n2 dần đến  và giới hạn còn lại dần đến -2 và áp dụng qui tắc tính giới hạn suy ra đáp án sẽ mất nhiều thời gian và

có thể sai sót khi tiến hành các bước giải, hoặc các em có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập hàm số thay n bằng x và gán cho x một giá trị vô cùng lớn, tuy nhiên có những bài toán nhập hàm mất thời gian và phải biết cách đọc đáp án nếu không cũng dễ mắc sai lầm, vì vậy áp dụng bài toán 1 ta có thể giải nhanh bằng cách kiểm tra số hạng chứa n với số mũ lớn nhất là -2n2 dần đến -∞ nên ta suy ra giới hạn cần tìm cũng dần đến -∞ Các em chọn đáp án C một cách nhanh chóng và hiệu quả hơn

Ví dụ 3: Tính lim2 3 2 33 1

1 2

n

A -1 B -2 C -3 D -4

Cũng tương tự như ví dụ 2 ở ví dụ 3 áp dụng bài toán 2 trong trường hợp bậc tử và bậc mẫu bằng nhau Số hạng chứa n với số mũ lớn nhất của tử là 2n3,

và số hạng chứa n với số mũ lớn nhất của mẫu là -2n3 nên giới hạn cần tìm dần

đến 2 1

2



 nên các em cũng dễ dàng chọn được đáp án đúng là A

Ví dụ 4: Tính lim 3 3 2 2 1

2 1

n



A 1

1 2

Đối với ví dụ 4 nếu thông thường giải theo cách giải tự luận các em sẽ đặt nhân tử chung n3 và đưa ra khỏi căn thức sau đó chia cả tử và mẫu cho n và sử dụng các giới hạn cơ bản tính được đáp số, hoặc sử dụng máy tính, khi nhập hàm này nhập khá phức tạp nên sẽ mất thời gian và phải đọc kết quả chính xác thì mới chọn được phương án phù hợp, nên để đỡ mất thời gian giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng bài toán 2 với trường hợp bậc cao nhất của tử và mẫu bằng nhau nên ta lập tỉ số hai hệ số của bậc cao nhất của tử và mẫu nên giới hạn cần

tìm dần đến 1

2 Như vậy các em sẽ chọn được đáp án đáp đúng một cách nhanh chóng và dễ dàng là đáp án A

Ví dụ 5: Tính lim 2 1 3.51

n n

n n





A 3

3 5

Ví dụ 5 các em viết lại giới hạn của dãy số đã cho dưới dạng:

2 3.5

lim

n n

n n



 = lim 2 3.5

2.2 5.5

n n

n n



 , sau đó các em chia cả tử và mẫu cho 5n và sử dụng giới hạn limqn 0

 ( q 1) các em sẽ có đáp số ngay giới hạn của dãy số bằng 3

5 Vậy đáp án đúng là A

Ví dụ 6: Tính lim 2 23

n

   

    

   

Tương tự ví dụ 5 ở ví dụ 6 sử dụng ngay lý thuyết, đáp án đúng của giới hạn này là 2 Ta chọn phương án A

Ví dụ 7: Tính lim 4 52 2 4

n



A 1

Ở ví dụ 7 nếu các em làm theo phương pháp tự luận sẽ thực hiện

theo trình tự chia cả tử và mẫu cho n4, tử số dần đến 1, mẫu số dần về 0,

khi đó sử dụng qui tắc tính giới hạn cho ta đáp số , hoặc sử dụng máy

tính thì phải nhập hàm chính xác và đọc kết quả đúng thì mới chọn đúng

phương án, nếu học sinh nhận dạng được đây là giới hạn có dạng phân

thức mà bậc của tử lớn hơn bậc mẫu, hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu

đều dương vì vậy giới hạn dần đến dương vô cực Ta chọn được phương

án đúng sẽ nhanh và chính xác hơn đó là phương án D

Ví dụ 8: Tính lim 23 3

2

n n

 



Cũng tương tự như vậy đối với ví dụ 8 bậc của tử bé hơn bậc mẫu nên các

em kết luận ngay giới hạn dần đền 0 Đáp án đúng là D

Ví dụ 9: Tính lim 2n4  3n2  11

Ví dụ 9 cho dưới dạng căn thức nên ta khai triển căn thức và áp dụng bài toán 1 một cách linh hoạt ta tìm giới hạn cho số hạng chứa n với số mũ lớn nhất

n2 với hệ số tương ứng 2 >0 nên giới hạn cần tìm bằng giới hạn 2n2 dần đến +∞.Vậy ta chọn đáp án A

Giáo viên cho học sinh đọc đề suy nghĩ và nhận dạng các ví dụ để áp dụng các bài toán tổng quát: các ví dụ 2, 9 là các dạng của bài toán 1, các ví dụ 1, 3, 4, 7,

8 là các dạng của bài toán 2, các ví dụ còn lại áp dụng giới hạn trong bài toán 3

Sau khi nhận dạng và vận dụng các bài toán tổng quát các em có thể kiểm tra tính chính xác các kết quả trên bằng việc thực hiện đồng thời giải tự luận và

sử dụng máy tính cầm tay, và cho nhận xét về thời gian phương pháp tính nhẩm

và hiệu quả của nó khi thực hiện các bài tập trắc nghiệm tính giới hạn của dãy số

so với các phương pháp khác Rõ ràng khi áp dụng các bài toán tổng quát sẽ nhanh hơn, vì bản thân các bài tập trắc nghiệm không đòi hỏi ta phải trình bày chi tiết lời giải mà chủ yếu tìm bản chất, trên cơ sở đó tôi đưa ra cách hướng dẫn làm bài tập này nhằm giúp các em đỡ băn khoăn, lúng túng và có thể giải quyết được các bài tập trắc nghiệm tính giới hạn dãy số một cách hiệu quả hơn

Như vậy qua các ví dụ trên giúp các em có thể nhận dạng một số dạng bài tập trắc nghiệm tính giới hạn và áp dụng các bài toán tổng quát phù hợp để cho đáp án nhanh và chính xác Tuy nhiên để phát huy được hiệu quả thì điều cơ bản vẫn là nắm vững lý thuyết, và hiểu được cách làm theo phương pháp tự luận truyền thống thì mới nắm được bản chất, hình thành tư duy lôgic để suy luận một cách có cơ sở và ghi nhớ một cách khoa học, từ đó các em có thể tính nhẩm nhanh và chọn đáp án chính xác phù hợp với yêu cầu học tập và thi hiện nay Các em có thể thực hiện thêm các bài kiểm tra thực hành giúp các em thấy các dạng bài tập thường gặp, vì khi triển khai bài toán tổng quát không cụ thể hết được, đối với những bài tập tương tự ngoài việc củng cố và ghi nhớ kiến thức còn giúp các em rút ra thêm kinh nghiệm cho bản thân khi gặp những bài tập này về sau, đồng thời có thể phân loại để áp dụng bài toán tổng quát cho phù hợp Thực hành giải bài tập là cách tốt nhất để các em ghi nhớ kiến thức và phát triển tư duy quy lạ về quen, hiểu bản chất và giải quyết vấn đề nhanh và hiệu quả

Trên đây tôi đã hướng dẫn chi tiết cách làm một số bài tập trắc nghiệm tính giới hạn của dãy số, và sau đây là một số đề kiểm tra giúp các em củng cố

và hệ thống lại kiến thức một cách đầy đủ và khoa học, ghi nhớ lý thuyết hiệu quả

4 Thực hành một số bài kiểm tra

Câu 1: Tính lim 2

1

n n





A 1

Câu2: Tínhlim 2 2 2

n n n

 



2

Câu 3: Tính lim 2 23 1

n n



Câu 4: Tính

2

4 2

lim

1

n n

 

 

Câu 5: lim 2 4

2.3 4

n n

n n





2

Câu 6: Tính lim 2 3 22 1

( 1)(2 1)

n n

 

Câu 7: Tính lim( 1) 2 2 1

3

n n



Câu 8: Tính lim 2 1

2 1

n n n n

  



3

Câu 9: Tính lim 23 1 2 2

n n

 

 

Câu 10: Tính  1

1

n

n







2

Câu 11: Tính lim( 2  n3 n2  3)

Câu 12: Tính lim5 2 3 7

3 2

n



Câu 13: Tính lim 2 4 3

2 3

n

 



Câu14: Tính lim n2   n 1 n

Câu 15: Tính lim 2 3 n n



Câu 16: Tính lim3 1

1 2

n n





Câu 17: Tính lim 2 1

3

n  n

3.

Câu 18: Tính lim 10

2.4 3n



Câu 19: Tính lim2 3 2 33 1

1 2

n



Câu 20: Tính  1

1

n

n







2

Câu 21: Tính

2

4 2

lim

1

n n

 

Câu 22: Tính lim 2 3 22 1

( 1)(2 1)

n n

 

Câu 23: Tính lim( 1) 2 2 1

3

n n



Câu 24: Tính lim( n3  2 )n2

Câu 25: Tính lim 4 52 2 4

n



A 1

IV KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM

1 Một số nhận xét qua các tiết dạy thử nghiệm theo định hướng của đề tài

- Trong các giờ học triển khai các bài kiểm tra nhanh sau khi đã hướng dẫn các

em cách làm bài tập trắc nghiệm thu hút sự chú ý, phát huy tính tích cực của học sinh

- Qua các bài tập nhanh các em đỡ thấy nặng nề và nhàm chán dễ suy luận kết quả cho bài toán hơn

- Phát triển khả năng suy luận logic của các em, khả năng tính toán, so sánh đối chiếu kết quả với các bạn trong lớp tự kiểm tra kết quả tính toán của mình để tiếp cận kiến thức

- Trước khi lên lớp giáo viên phải chuẩn bị đề trắc nghiệm, tìm tòi, phân dạng các loại bài tập để học sinh tiếp cận và làm quen Vì thế giáo viên cần đầu tư thời gian và công sức nhiều hơn

2 Đề kiểm tra sau khi hướng dẫn học sinh làm các bài tập trắc nghiệm tính giới hạn của hàm số:

Câu 1: Tính lim( 2  n3 n2  3)

A  B   C 0 D -2

Câu 2: Tính lim 2n4  3n2  11

Câu 3: Tính lim5 2 3 7

3 2

n

 



Câu 4: Tính lim 2 4 3

n

 



Câu 5: Tính lim 2 1

2 1

n n n n

  



A 0 B 1 C 2 D 1

3

Câu 6: Tính lim 23 1 2 2

n n

 

 

Câu 7: Tính lim 2 4

2.3 4

n n

n n





2

Câu 8: Tính lim 2 2 2

n n n

 



2

Câu 9: Tính lim 8n22 1

n



Câu 10: Tính lim n  1 n n

* Sau khi tiến hành cho 2 lớp thực hiện bài kiểm tra, một là lớp thực nghiệm, một là lớp đối chứng và có kết quả bài kiểm tra như sau:

Điểm kiểm

tra

Số học sinh Tỷ lệ % Số học sinh Tỷ lệ %

% từ trung

bình trở lên

Nhận xét về kết quả thực nghiệm: